2026年高考数学模拟卷（十一）（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 覆盖集合、统计、函数、立体几何等核心知识点，解答题注重跨模块综合（如函数切线与数列结合）与实际情境应用（如小球抽取概率），适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合（题1）、统计（题2）、函数性质（题3）|多选题（题9）结合三角函数性质与图像变换，考查数学思维的严谨性| |填空题|3题/15分|函数最值（题12）、二项式定理（题13）、双曲线离心率（题14）|题14以渐近线与直线交点为情境，体现用数学眼光分析几何关系| |解答题|5题/77分|数列（题15）、立体几何（题16）、概率（题17）、圆锥曲线（题18）、导数（题19）|题18动圆轨迹与直线过定点证明，综合考查数学语言表达与逻辑推理；题17小球抽取情境，培养用数学思维解决实际问题的能力|

2026年高考数学模拟卷（十一） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（   ） A．81 B．83 C．84 D．85 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·模拟预测）已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（    ） A． B．是的一个对称中心 C．的最小正周期为 D．先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 10．（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 11．（2026·辽宁辽阳·二模）在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角的余弦值是 C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的最大值为，则在上的取值范围是_____. 13．（2026·重庆·模拟预测）已知 的展开式中，只有 的系数最大，则 的系数和为_____． 14．（2026·山西太原·二模）已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广西南宁·三模）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 16．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，且，． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 17．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球． (1)当时，求取出的两个小球标号之和为的概率； (2)当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 18．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为. （i）求（为坐标原点）面积的最小值； （ii）证明：直线必过定点. 19．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设是大于1的正整数，定义在上的函数，且恒成立. (1)求的值； (2)设， （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）设是正实数，其中，且，证明：. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（十一） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据绝对值不等式的解法，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得，则， 由，得，则， 所以. 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（   ） A．81 B．83 C．84 D．85 【答案】B 【分析】根据中位数的概念求解即可. 【详解】由题意可得该组数据的中位数为. 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算即可. 【详解】依题意得，，解得，， 由 得 ，则 . 4．（2026·云南·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示， 将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】解：以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为， 由，所以，两边平方化简整理得： ，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以， 化简得：. 由圆方程可知，，所以， 即. 6．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理、向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 又在中，， 所以. 所以. 8．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个极值点，则有两个异号零点.即令，则，所以直线与的图象有两个交点．利用导数结合图象分析可得实数的取值范围. 【详解】由题意． 有两个极值点，有两个异号零点，即有两个根． 令，则，直线与的图象有两个交点． 若直线与的图象相切，则设切点为． 由于，则切线的斜率为， 切线方程为，即，，解得，． 要使直线与的图象有两个交点，，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·模拟预测）已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（    ） A． B．是的一个对称中心 C．的最小正周期为 D．先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为 【答案】BC 【分析】对于A，根据题意，计算的值；对于B，根据对称中心的概念计算即可；对于C，根据最小正周期公式计算即可；对于D，根据平移变换计算即可. 【详解】对于A，因为对都成立， 则， 则，且， 所以，, 所以，故A错误， 对于B，代入，得， 因此 是的一个对称中心，B正确 对于C，的最小正周期为， 的图象是将在x轴下方的部分翻折x轴上方，最小正周期变为原来的， 故的最小正周期为，C正确， 对于D，向左平移个单位长度得， 横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，则得，故D错误. 10．（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，结合选项，利用复数的模和复数的运算法则，逐项计算判断，即可求解. 【详解】对于A，取，可得，满足，但，所以A错误； 对于B，设 可得，所以， 又由，可得， 所以，所以B正确； 对于C，由， 可得， 又由，可得， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得， 则， ， 可得不一定为，所以D不正确. 11．（2026·辽宁辽阳·二模）在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角的余弦值是 C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是 【答案】BC 【分析】可建立适当空间直角坐标系，则可求出、，再计算即可得A；求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得B；延长、使其交于点，连接，设，可得四边形即为过的平面截该长方体得到的图形，再结合勾股定理与梯形面积公式计算即可得C；将对应平面展开并计算即可得D. 【详解】以为原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 则、，则， 故与不垂直，故A错误； 对B：，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，则； 由轴平面，故平面的法向量可取， 则，由图可知为锐角， 故二面角的余弦值是，故B正确； 对C：延长、使其交于点，连接，设，连接， 则四边形即为过的平面截该长方体得到的图形， 由为中点，故，则，故为中点， 故、分别为与中点，故且， 则四边形为梯形， 则， 故C正确； 对D：如下图，将平面延展开，使得该平面与位于同一平面， 此时； 如下图，将平面延展开，使得该平面与位于同一平面， 此时； 如下图，将平面延展开，使得该平面与位于同一平面， 此时； 综上可得，沿长方体表面从到的最近距离是，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的最大值为，则在上的取值范围是_____. 【答案】 【分析】令，利用三角函数的性质得，从而有，再分和，即可求解. 【详解】令，则， 所以，则， 又，则，所以（表示中取较大者）， 令，解得， 又，当时，， 当时，， 综上所述，在上的取值范围是. 13．（2026·重庆·模拟预测）已知 的展开式中，只有 的系数最大，则 的系数和为_____． 【答案】256 【详解】二项式 展开式的系数与该项的二项式系数相等， 则二项式 展开式中，只有 的二项式系数最大，而含的项是展开式的第5项， 于是该展开式共有9项，即，解得， 所以 的系数和为. 14．（2026·山西太原·二模）已知双曲线C：（，）的两条渐近线分别为，，直线l：（）与，分别交于P，Q两点，若满足，则C的离心率为______ 【答案】 【分析】联立方程求出P，Q两点坐标，利用得到斜率关系，求得，即可求解离心率. 【详解】不妨设：，：． 联立解得故， 同理可得，故线段PQ的中点， 而，故，解得， 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广西南宁·三模）已知函数，，且的图像在点处的切线为．若数列满足，且对任意，点均在切线上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意解得参数的值，再计算在点处切线方程，根据点均在切线上可得，结合递推关系求得通项公式； （2）代入上一问所求结果求得，再结合分组求和和错位相减求得前项和； 【详解】（1）对函数求导得， 因为，即，解得， 因此，又因为的图像过点，所以，解得 因此， 因为，的图像在点处的切线为，即 因为数列满足，且对任意，点均在切线上， 所以，变形可得 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以由等比数列通项，整理得 （2）已知 因此前项和 因为，令， ， 两式相减得：， 即，整理得 因此. 16．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，且，． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得； （2）设，建立恰当的直角坐标系，由线面角的向量方法可得的值. 【详解】（1）设，因为，，，所以，所以． 在与中，因为，，，所以，从而， 又，所以，即． 因为平面，平面，所以， 又，所以平面． （2）以（1）中的O为坐标原点，，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设，因为，，， 所以，则，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得， 解得或（舍去），故． 17．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球． (1)当时，求取出的两个小球标号之和为的概率； (2)当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助组合数公式及概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后，再分别计算出对应概率即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）当时，盒子中共有个小球， 取出的两个小球标号之和为的可能有或或三种可能， 设事件表示取出的两个小球标号之和为， 则； （2）当时，盒子中共有个小球， 的可能取值为、、、， 则， ， ， ， 故的分布列为： 则. 18．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动圆过定点，且被轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知过点的直线与圆心的轨迹交于两点，点关于轴的对称点为. （i）求（为坐标原点）面积的最小值； （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列出等式求轨迹方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线方程联立，求出三角形面积的表达式，进而求最值；（ii）先求出直线的方程，通过分析方程确定所过的定点. 【详解】（1）解：设动圆圆心为， 则， 圆心到轴距离为，动圆被轴截得的半弦长为2， 则， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2） （i）解：设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则， 则的面积为， 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为. （ii）证明：由题得， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令，得 ， 所以直线必过定点. 19．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设是大于1的正整数，定义在上的函数，且恒成立. (1)求的值； (2)设， （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）设是正实数，其中，且，证明：. 【答案】(1)2 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（1） 先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性进而得出最大值，最后结合指对数转化得出参数值； （2）（Ⅰ）根据不等式化简构造新函数，再应用导函数得出函数单调性计算解不等式；（Ⅱ）应用的单调性累加证明不等式. 【详解】（1）的定义域为，， 令，解得. 当时，单调递增， 当时，，单调递减， .     则，得，两边取对数可得，解得， 是大于1的正整数，. （2）（Ⅰ）由（1）知， 要解，即解， ，∴只需解. 令， ， 设，， 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，有最小值， ，，在单调递增.     又， 当时，，；当时，，， 不等式的解集为.     （Ⅱ）对任意，， 由（Ⅰ）知，在单调递增， ，， ， 累加可得 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $