精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

上海市上海中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题 1. 函数的定义域是______． 【答案】## 【解析】 【分析】列出使函数有意义的不等式，结合正弦函数性质求解. 【详解】要使函数有意义，需满足被开方数非负，即，整理得， 根据正弦函数的性质，对任意实数，都有恒成立，因此对所有实数都成立. 即函数的定义域为（或） 2. 化简向量运算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算律化简可得结果. 【详解】 故答案为：. 3. 已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量投影的概念计算即可. 【详解】由题可知：向量在向量上的数量投影. 故答案为： 4. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是__． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab， ∴cosC===﹣， ∵C为三角形的内角， ∴C=． 考点：余弦定理 点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 5. 向量的夹角为，则____________. 【答案】 【解析】 【详解】根据题意， ， 所以. 6. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象变换求得，代入求解. 【详解】由题，，所以. 7. 函数的值域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将原函数变形为关于的二次函数，换元后结合的取值范围，利用二次函数的性质求值域. 【详解】由题意得， 令，则，原函数化为， 该二次函数开口向上，对称轴， 所以当时取得最小值，， 因为区间端点较端点距离对称轴远， 所以当时取得最大值，， 所以原函数的值域为. 8. 已知为奇函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由可求出，然后代入计算即可得出的值． 【详解】由奇函数的性质可得，故，所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式及求解函数值，属于基础试题． 9. 函数的单调减区间是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定对数真数大于的定义域，再根据复合函数同增异减，结合外层对数函数为减函数，将原函数的减区间转化为内层余弦函数在真数大于条件下的单调增区间，解不等式得到结果. 【详解】由  解得， 外层函数是减函数（底数），要求的单调减区间，根据同增异减，等价于求内层函数的单调增区间（同时满足）。 的单调增区间为， 由，可得 解得， 即函数的单调递减区间是. 10. 在，内角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换公式，化简得到，得到，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得 可得， 所以，即，可得. 11. 已知的面积为，角，，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 因为，所以， 所以， 即，所以.① 又因为的面积为，角，所以，得. 由余弦定理，得.② 联立①②解，得，所以，即. 12. 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的周期，将方程转化为在上有解，再令分类讨论并结合函数的性质即可求出. 【详解】令，则，故的周期为， 则关于x的方程在上始终有解等价于方程在上有解， 令，， 当时，，， 则 ， 当时，，， 则 ， 当时，，， 则 ， 综上，m的取值范围为. 13. 下面给出的关系式中 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的数乘、数量积的运算法则与性质，逐个判断5个关系式的正误，统计正确关系式的个数得到结果. 【详解】判断(1)：根据数乘向量的定义，实数与任意向量相乘，结果都是零向量，因此正确； 判断(2)：根据数量积的分配律展开：，正确； 判断(3)：，正确； 判断(4)：是实数，左边是与共线的向量； 是实数，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，错误； 判断(5)：由，只能推出，当时，，不能推出，错误； 综上，正确的关系式共个，选C. 14. 设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 因，是两个不共线的向量， 则，， 联立可得：，则. 15. 设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 16. 记不超过的最大整数为，若关于的方程在上恰好有800个解，则的最小值为（ ） A. 1369 B. 1597 C. 1601 D. 1920 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的周期，作图，得到一个周期内解的个数，进而确定的范围即可． 【详解】设， ， 的周期为， 当时，，；当时，，； 当时，，；当时，，； 当时，，； 又的周期为， 则时，函数图像如下： 所以，在一个周期内有个解， ， 又时，有2个解，时，有3个解， 解得，则a的最小值为． 17. 已知向量，满足，，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【小问1详解】 由，，， 得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以. 18. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 19. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在BC边上． （1）若AD为的中线，求的值； （2）若AD为的角平分线，求线段AD长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，再由进行计算； （2）根据，结合三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，由余弦定理知， 即，解得或（舍去）， 因为AD为的中线， 则； 【小问2详解】 因为为的角平分线， 所以， 即，解得. 20. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移动个单位，所得函数为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）若函数的零点是，求的值； （3）若有且仅有1解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）根据求解； （3）令，则问题转化为在有且仅有1解，设，根据函数零点求解. 【小问1详解】 因为相邻对称轴之间的距离是，所以，， 所以，解得，， 将的图象向右移动个单位，可得函数， 因为函数为偶函数， 于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质， 在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以， 又，所以，故. 【小问2详解】 因为函数的零点为， 即， 所以. 【小问3详解】 令， 因为，则，因为正弦函数在上单调递减， 所以，即， 因为有且仅有1解， 即在有且仅有1解， 设， 则或， 即或， 得或， 所以的取值范围为. 21. 函数满足：对任意实数恒成立． （1）求函数的解析式； （2）当时，的最大值为，求的值； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 能作为三角形三边长，外接圆半径为定值，证明： 将向右平移得： ，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得.  ，则，均为正，验证三边关系： ，成立； 同理可证 ，，均成立。 因此可以作为的三边长.  设三边长，对角， 由余弦定理：  得， 由正弦定理​，代入，得​，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简原函数，结合​是最大值点的条件求出参数，从而得到的解析式； （2）结合的周期性，分析长度为的区间上的最值差，根据已知最值差为列三角方程求解，得到的值； （3）根据图象变换规则得到的解析式，通过验证三角形三边不等关系判断能否作为三角形三边长，最后利用正弦定理探究外接圆半径是否为定值. 【小问1详解】 由题意，是的最大值点，对，其中， 代入​得，所以，解得， 利用辅助角公式整理得. 【小问2详解】 周期为，当，令，则，区间长度为​.  的最大值等于区间内的最大值减最小值，由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足， 因此 解得（等价形式）. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市上海中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题 1. 函数的定义域是______． 2. 化简向量运算：____________． 3. 已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影______． 4. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是__． 5. 向量的夹角为，则____________. 6. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为____________． 7. 函数的值域是____________． 8. 已知为奇函数，则__________． 9. 函数的单调减区间是____________． 10. 在，内角的对边分别为，若，则______． 11. 已知的面积为，角，，则_____. 12. 若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为__________. 13. 下面给出的关系式中 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 15. 设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 16. 记不超过的最大整数为，若关于的方程在上恰好有800个解，则的最小值为（ ） A. 1369 B. 1597 C. 1601 D. 1920 17. 已知向量，满足，，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 18. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求. 19. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在BC边上． （1）若AD为的中线，求的值； （2）若AD为的角平分线，求线段AD长． 20. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移动个单位，所得函数为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）若函数的零点是，求的值； （3）若有且仅有1解，求实数的取值范围． 21. 函数满足：对任意实数恒成立． （1）求函数的解析式； （2）当时，的最大值为，求的值； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $