6.2 平行四边形的判定 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第六章 平行四边形 北师大版(2024) 6.2 平行四边形的判定 一、教学目标 1.经历从平行四边形的性质逆推、猜想并证明判定方法的过程，理解平行四边形两种判定定理的推导逻辑，掌握其证明方法. 2.能规范运用上述两种判定定理，结合平行四边形的定义，完成平行四边形的判定证明，解决相关几何问题，提升逻辑推理与规范表达能力. 3.体会“性质与判定的互逆关系”，通过观察、猜想、证明的探究过程，提升几何问题的分析与推理能力. 二、教学重点及难点 重点：熟练运用平行四边形的两种判定定理；利用判定定理判定四边形为平行四边形. 难点：理解判定定理证明思路，通过添加对角线辅助线将四边形问题转化为三角形全等问题；灵活选择合适的判定方法解决综合问题. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：上节课我们学习了平行四边形的性质，请从边、角、对角线、对称性四个方面回顾.【学生活动】独立思考，口答补充. 教师板书梳理： 边：平行四边形的对边平行，对边相等； 角：平行四边形的对角相等，邻角互补； 对角线：平行四边形的对角线互相平分； 对称性：平行四边形是中心对称图形. 【探究新知】 探究：从角的关系判定平行四边形. 教师提问：如图，要画出一个以线段 AB、AD 为邻边的平行四边形 ABCD，你有哪些方法？ 【学生活动】独立思考，尝试画图并与同伴交流想法. 教师：根据平行四边形的定义我们知道，两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 教师提问：请大家独立思考，可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ 我们一起来验证一下. 请看这个命题： 已知：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 大家能尝试证明这个命题吗？ 【学生活动】学生独立思考证明思路，尝试在练习本上写出证明过程. 小组内交流讨论，互相启发，完善证明步骤. 教师点拨：可以想一想利用“四边形内角和为 360°”以及“同旁内角互补，两直线平行”的知识点. 答案预设： 证明：∵∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°， 又∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴2∠A＋2∠B＝360°， 即∠A＋∠B＝180°. ∴AD∥BC. 同理得AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 教师讲解： 定义拓展判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【探究新知】 探究：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 教师提问：取四根细木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根细木条首尾顺次相接搭成一个平行四边形？ 说说你的理由，并与同伴交流. 学生猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 教师：那么这个猜想正确吗？请尝试证明. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝CB. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 【师生活动】学生小组讨论，得出思路：连接对角线 BD，构造△ABD 和△CDB，通过证明三角形全等，得到对应角相等，进而推出对边平行，教师带领学生规范书写证明过程． 答案预设： 证明：如图，连接 BD. 在△ABD 和 △CDB 中， ∴△ABD ≌△CDB (SSS). ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴AB∥CD，AD∥CB. ∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）. 教师讲解： 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 【探究新知】 探究：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 教师提问：我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ (1) 取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？ (2) 如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它称为平行四边形？与同伴交流. 学生猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 教师：那么这个猜想正确吗？请尝试证明. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 教师点拨：表示平行且相等，读作“平行且等于”. 【师生活动】学生独立思考，尝试连接对角线 AC，利用 SAS 证明△ABC≌△CDA，从而得到 BC＝DA，再用判定定理证明. 教师引导学生完成证明过程. 答案预设： 证明：连接 AC. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 又AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA (SAS). ∴BC＝DA. ∴四边形 ABCD 是平行四边形.(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 教师提问：你还有其他证法吗？与同伴进行交流. 【学生活动】学生小组思考，由△ABC≌△CDA，得出对应角∠ACB=∠CAD；再利用“内错角相等，两直线平行”的定理，推导出 AD∥BC，从而判定平行四边形. 答案预设： 证明：连接 AC. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 又AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA (SAS). ∴∠ACB＝∠CAD. ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. (平行四边形的定义) 教师归纳： 定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵ABCD（或ADBC）， ∴四边形ABCD是平行四边形. 设计意图：类比对边的探究方法，让学生自主完成“一组对边平行且相等”判定定理的证明，巩固三角形全等的证明方法，同时体会解决问题方法的多样性. 【课堂互动】 教师提问： （1）“一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？”请举反例说明. （2）“两组边相等的四边形一定是平行四边形吗？” 【学生活动】小组讨论，画图举反例（如等腰梯形），理解判定条件的严谨性. 教师强调：判定定理的条件必须是同一组对边平行且相等，“一组对边平行，另一组对边相等” 不能判定平行四边形. 答案预设：（1）不一定，如左图．（2）不一定，如右图． 【典型例题】 例1. 已知：如图，在▱ABCD 中，E，F 分别为 AD 和 CB 的中点. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB (平行四边形的对边相等)， AD∥CB (平行四边形的定义). ∵E，F 分别是 AD 和 CB 的中点， ∴，. ∴ED＝FB，ED∥FB. ∴四边形 BFDE 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 设计意图：通过典型例题，让学生综合运用平行四边形的性质与判定定理进行推理证明，巩固所学知识，提升几何应用能力和规范表达能力. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.从角的关系判定平行四边形：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 2.判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3.判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $