精品解析：浙江温州十校联合体2025-2026学年高一下学期期中学科练习数学试题

高一数学学科练习 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若平面向量满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥平面，，若三棱锥与三棱锥的外接球半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知边长为4的正三角形，点是的中点，交所在的直线于点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果是平面内的一组基底，则下列能作为基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若是方程的两根，则 11. 已知的三边为连续的自然数，则（ ） A. 存在，使得它的一个角为 B. 存在，使得它的一个角为 C. 存在，使得它是钝角三角形 D. 存在，使得最大角是最小角的两倍 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. ___________ 13. 某科技小组利用无人机测量水平地面两个基站之间的距离．无人机在点处悬停，平面（水平平面），测得米．从点观测基站的俯角为，观测基站的俯角为，且．则两个基站之间的距离为___________米． 14. 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别是角所对的边，． （1）求； （2）若，，，求的面积． 16. 在等腰直角三角形中，斜边，已知，动点在线段上，且，设，． （1）用，表示； （2）求的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求角的值； （2）若，且的面积． （i）求； （ii）已知，点分别在边上，且为等边三角形，求的最小值． 19. 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科练习 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2. 下列几何体是棱台的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据棱台定义，上下底面平行且相似，侧棱延长交一点，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意； B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意； D符合棱台的定义. 故选:D. 【点睛】本题考查棱台的判断，注意棱台与棱锥的关系，属于基础题. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积为0求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 若平面向量满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 所以 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 7. 已知四棱锥平面，，若三棱锥与三棱锥的外接球半径分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，则由题意知，，再分别取中点，中点，再说明，分别为三棱锥与三棱锥外接球球心即可求解. 【详解】不妨设，因为， 所以 因为在四边形， 所以， 所以，即， 因为平面，平面， 所以，， 又，，平面， 所以， 又因为，所以 所以，如图，在三棱锥中，取中点， 在中，， 在中，， 所以点为三棱锥外接球球心，半径为； 因为，，，所以 同理，在三棱锥中，取中点， 在中，， 在中，， 所以点为三棱锥外接球球心，半径为； 所以 8. 已知边长为4的正三角形，点是的中点，交所在的直线于点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】向量条件，说明点可以由点表示出来，因此可令点在直线上运动，再用坐标把点写出，最后把化成二次函数求最小值. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 因为是的中点，所以 因为点在直线上，设，则 由得 设，则 ， 则， 解得，故 于是 所以 因为，所以 当时取等号，因此最小值为 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果是平面内的一组基底，则下列能作为基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，假设，则，对比系数得，方程组无解，因此与不共线，可以作为基底； 对于B，假设，则，对比系数得，方程组无解，因此与不共线，可以作为基底； 对于C，假设，则，对比系数得，方程组无解，因此与不共线，可以作为基底； 对于D，因为，所以与共线，不可以作为基底． 10. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若是方程的两根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，应用复数的模的计算公式，复数的乘法运算法则判断A；取，，代入检验判断B；取，判断C；由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】对于A选项，设，， ， 所以 所以，A选项正确； 对于B选项，不妨取，，则， 由，得，显然不成立，故B选项错误； 对于C选项，若，不妨取，， 此时，但不成立，故C选项错误； 对于D选项，若是方程的两根，则根据韦达定理可知，则，故D选项正确． 11. 已知的三边为连续的自然数，则（ ） A. 存在，使得它的一个角为 B. 存在，使得它的一个角为 C. 存在，使得它是钝角三角形 D. 存在，使得最大角是最小角的两倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设中，角所对的三边分别为，，再结合余弦定理，正弦定理内角和定理分别讨论各选项即可求解. 【详解】不妨设中，角所对的三边分别为，， 由于的三边不相等，故， 对于A选项，因为内角和为，所以，， 所以，当时，，不满足内角和定理； 当时，，亦不满足内角和定理， 所以，若存在，使得它的一个角为，则， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在，使得它的一个角为，A选项错误； 对于B选项，存在，使得它的一个角为，则， 此时，整理得，解得或（舍）， 所以，当的边长为时，它的一个角为，故B选项正确； 对于C选项，若存在，使得它是钝角三角形，则为钝角， 所以，即，整理得， 解得，又因为， 所以，当时，的边长分别为时，它是钝角三角形，故C选项正确； 对于D，若存在，使得最大角是最小角的两倍，则， 所以由正弦定理得，整理得， 因为，所以， 将代入得，整理并解方程得. 所以，当的边长分别为时，最大角是最小角的两倍，故D选项正确. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. ___________ 【答案】 【解析】 【详解】 13. 某科技小组利用无人机测量水平地面两个基站之间的距离．无人机在点处悬停，平面（水平平面），测得米．从点观测基站的俯角为，观测基站的俯角为，且．则两个基站之间的距离为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系及余弦定理求解即得. 【详解】依题意，在中，，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得， 所以两个基站之间的距离为米. 14. 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【解析】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别是角所对的边，． （1）求； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦函数性质得，再结合内角和定理即可求得答案； 方法二：根据二倍角公式，内角和定理化简整理得，进而求得答案； （2）由题意知，再结合，面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：方法一：因为，，， 所以或（舍，与内角和定理矛盾）， 所以，又， 所以 方法二：因为，，， 所以，又， 所以，所以 【小问2详解】 解：因为且，所以， 又，由（1）知， 所以． 16. 在等腰直角三角形中，斜边，已知，动点在线段上，且，设，． （1）用，表示； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再利用向量的线性运算即可表示； （2）用，表示出，可得，进而得到， 令，求出的值域即可求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， . 【小问2详解】 ， 则， 因为为等腰直角三角形且斜边，所以，， 所以， 所以， 设， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，即可证明；方法二：取的中点，连接，通过证明平面平面，从而证明平面； （2）方法一：利用等体积法求出点到平面的距离，与平面所成角的正弦值即为；方法二：以分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【小问1详解】 方法一：取中点，连接， 则，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面 平面 所以平面． 方法二：取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为 所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 方法一：设点到平面的距离为， 因为点为中点，所以点到平面的距离为， ， ， 又， 所以，即， 解得， 易得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：以分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则，， 所以， 设与平面所成角的大小为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求角的值； （2）若，且的面积． （i）求； （ii）已知，点分别在边上，且为等边三角形，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，利用两角差的余弦公式即可得解. （2）（i）利用三角形的面积公式及余弦定理得到，计算出的值，从而得到的值.（ii）法1：求出为直角三角形，且，设，求出，设，在中，由正弦定理求出，计算，从而得到．法2： 求出为直角三角形， 求出，设，，过点作垂直交于点，求出，由得到，从而得到，利用二次函数的图像和性质得到的范围． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 （i）， ， 或（舍）， ,. （ii）法1： 为直角三角形，且，设， ， 设， 在中，由正弦定理得 ． 法2： 为直角三角形，且，设 ，设，， 过点作垂直交于点，， ， ， 又的对称轴为， ． 19. 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， 【小问2详解】 ，，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. 【小问3详解】 设 ， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $