精品解析：吉林省长春市第四十五中学2025- 2026 学年下学期七年级数学期中试题(B卷)

七年级数学学科阶段练习（B） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，且算术平方根本身为非负数， 的算术平方根是． 2. 在下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数．需依据有理数与无理数的概念逐一判断各选项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数． B、0是整数，属于有理数． C、是无限不循环小数，符合无理数的定义，属于无理数． D、是有限小数，属于有理数． 故选：C． 3. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，同底数幂乘、除法及幂的乘方，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、因为与不是同类项，不能合并，所以A选项不合题意； B、因为，所以B选项不符合题意； C、因为，所以C选项不符合题意； D、因为，所以D选项符合题意． 故选：D． 4. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 1，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】计算每个选项中较小的两个数的平方和与最大数的平方，若二者相等，则三个数能构成直角三角形． 【详解】解：A中，不满足勾股定理，故不符合要求； B中，满足勾股定理，故符合要求； C中，不满足勾股定理，故不符合要求； D中，不满足勾股定理，故不符合要求； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键在于正确的计算．常见的直角三角形的三边数为①3,4,5②6,8,10③5,12,13． 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算，再推导的范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 即的值在和之间． 6. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点（即两代数式之和乘以两代数式之差，等于两代数式的平方差）是解决问题的关键． 根据平方差公式解决此题． 【详解】解：A、和，和不分别相同，不符合平方差公式； B、，不符合平方差公式； C、，符合平方差公式； D、，不符合平方差公式． 故本题选：C． 7. 用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答的前提． 用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可． 【详解】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为， 这个长方形是由个部分组成的，这个部分的面积和为， 所以有． 故选：B． 8. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 【答案】A 【解析】 【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解． 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 10. 长方形的面积是，若一边长是，则另一边长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，即计算多项式除以单项式． 【详解】解：另一边长为， 故答案为：． 11. 若代数式是完全平方式，则的值为______． 【答案】 9或 【解析】 【分析】先根据平方项确定出完全平方式中的两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项确定的值． 【详解】解：是完全平方式， ∴， 根据完全平方公式可得， 即， 当时，解得， 当时，解得． 12. 如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 13. 如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出边长和角度，利用中点定义求出和的长，根据折叠性质得出，，，，从而证得三点共线，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形为正方形，边长为6，  ，，  是边的中点，   ， 由折叠的性质可知：，，  ，，，， ，  三点共线，  ，  设，则，，，  在中，由勾股定理得： 即，  整理得：， 解得：， ． 14. 如图，在等边中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，可得是等边三角形，，即可证明，由此可判断①②；由已知条件无法得出，即无法得出，由此可判断；由全等三角形的性质得，再由勾股定理得，由此可判断④． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转得：，， 是等边三角形，， ， ， 故①②正确； 是等边三角形， ， 由已知条件无法得出， 即无法得出， 故不正确； ， ， ∵，， ∴， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值．先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； 【小问1详解】 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴． 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，先将转化为，再代入数据，最后进行有理数的乘方及乘法运算即可．掌握同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴的值为． 19. 在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中画出一个三条边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上； （2）在图2中画一个面积为5的直角三角形，使它的顶点都在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣勾股定理的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握相关的概念并能灵活运用． （1）是直角边分别为1，3的直角三角形的斜边；是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边； （2）首先根据勾股定理画出三角形，利用割补法求三角形的面积画出图形即可． 【小问1详解】 如图所示， ，，， ∴为所求； 【小问2详解】 如图所示， ∵,, ∴ ∴ ∴是直角三角形 ∴的面积为， ∴为所求． 20. 如图，公园有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化的总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）长方形的面积减去2个正方形的面积； （2）计算当，时，代数式的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得绿化的总面积为： ； 【小问2详解】 解：根据（1）可得，绿化的总面积为， 当，时， 原式． 21. 某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为 50m． （1）求BC的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】（1）40 （2）超速 【解析】 【分析】（1）首先结合题目中所给的数据，，，根据勾股定理求出BC的长； （2）求出小汽车的时速与限定时速比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：则根据题意可以得到， 根据勾股定理可得： ， ∴BC的长为40m. 【小问2详解】 解：∵该小汽车的速度为：， ， 这辆小汽车超速了． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键． 22. （1）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形， （1）观察图②，，，之间的等量关系为_______． （2）若，则______． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）29 （3）15 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． （1）小正方形的边长为，也等于边长为的大正方形的面积减去4个长为，列出等式即可； （2）利用（1）的结论，进行计算得到答案即可； （3）利用（1）的结论，进行计算得到答案即可． 【小问1详解】 解：，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， 故答案为：29； 【小问3详解】 解： ． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． （1）______； （2）用含的代数式表示的长； （3）当为何值时，点与顶点的连线平分的周长； （4）直接写出当是直角三角形时，的取值范围为______． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）直接用勾股定理求 ； （2）分两种情况：① 在  上时；②  在  上时； （3）分两种情况 ： 在 上时， 连线将周长分为  和  两部分；  在 上时，连线将周长分为  和  两部分； （4）分两种情况：在 上时，，此时  是斜边  上的高；在 上时，一直成立． 【小问1详解】 解：在  中，，，， ． 【小问2详解】 解：当  在 上时（），，； 当 在 上时（），从 向 运动，． 【小问3详解】 解： 的周长 ，平分即每部分为 ． 情况一： 在 上，连线为 ， 周长被分为  和 两部分， 令 ，即 ，解得 ； 情况二：在  上，连线为 ， 周长被分为  和  两部分， 令 ，即 ，解得 ；  或 ． 【小问4详解】 解：情况一： 是斜边 上的高， ， ∴， 在中，， ， ， 解得：． 情况二： 在  上，走完 用秒，走完 用秒，从到 时， ， 的范围是 ． 综上，的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学科阶段练习（B） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 2. 在下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. 0 C. D. 3. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 1，， D. ，， 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 用如图所示的几何图形的面积可以验证的数学恒等式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（ ） A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 因式分解：______． 10. 长方形的面积是，若一边长是，则另一边长是________． 11. 若代数式是完全平方式，则的值为______． 12. 如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是______． 13. 如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是______． 14. 如图，在等边中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 18. 已知，，求的值． 19. 在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中画出一个三条边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上； （2）在图2中画一个面积为5的直角三角形，使它的顶点都在格点上． 20. 如图，公园有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化的总面积． 21. 某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为 50m． （1）求BC的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 22. （1）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形， （1）观察图②，，，之间的等量关系为_______． （2）若，则______． （3）已知，求的值． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． （1）______； （2）用含的代数式表示的长； （3）当为何值时，点与顶点的连线平分的周长； （4）直接写出当是直角三角形时，的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $