第二章 相交线与平行线 单元综合卷 2025-2026学年 北师大版七年级下册数学

第2章 相交线与平行线 单元综合提优卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．两条直线被第三条直线所截， 若 与 是同位角， 且 ， 则（　　） A． B． C． 或 D． 的度数不能确定 2．如图， 过点 作线段 的平行线， 下列说法中正确的是（　　） A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 3．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．∠BAD＋∠ADC＝180° D．∠3＝∠4 4．下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 5．下列图形中，由能得到的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠4=∠5 D．∠2=∠3 7．如图，直线 ， ， ， ，则 （　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 8．如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，已知，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则　 　． 12．在A、B两地之间要修一条公路（如图），从A地测得公路的走向是北偏东60度．如果A、B两地同时开工，那么在B地公路按∠α＝　 　度施工，能使公路准确接通． 13．如图，一根直尺和一个含的直角三角板按如图方式叠合在一起(三角板的直角顶点在直尺的边上)，若，则的度数是　 　. 14．如图，直线，被所截，则与是　 　填内错角，同位角或同旁内角. 15．已知一个角的余角是35°，那么这个角的度数是　 　。 16．如图所示， 和 互余，则 　 　. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，点D，E分别在的边，上，点F在线段上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求∠1． 18．如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，． （1）求证：． （2）若平分，求证：． 19．已知：如图，. （1）判断FH与CD的位置关系，并说明理由. （2）若求∠2的度数. 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AE∥BC ，过点C作CF∥AB，AE与CF相交于点D. （1）依题意，补全图形； （2）求证：∠ADC与∠ACB互余. 21．如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180° （1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1=60°，求∠EAB的度数． 22．问题情境：如图，已知ABCD．∠1+∠2＝180°． （1）猜想论证：试猜想AD与CE的位置关系，并说明理由； （2）拓展探究：若CE⊥AE于点E．∠2＝145°，请自行给∠ABF或∠ABD一个合适的值，再求∠F的度数． 23．如图，已知线段，射线与的夹角． （1）请用尺规作图法在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）点到的距离是线段　 　的长度，其距离　 　5．（填“大于”“小于”或“等于”） 24．如图，已知，线段与射线交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，，请直接写出，，之间的数量关系． 25．直线，直线l3、l4分别与l1、l2交于点B、F和A、E，点D是直线l3上一动点，交l4于点C． （1）如图1，当点D在l1、l2两线之间运动时，试找出∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系，并说明理由； （2）当点D在l1、l2两线外侧运动时，试探索∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系（点D和B、F不重合），画出图形，直接写出结论． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．两条直线被第三条直线所截， 若 与 是同位角， 且 ， 则（　　） A． B． C． 或 D． 的度数不能确定 【答案】D 【解析】【解答】∵两条直线的关系不明确 ∴∠1和∠2的关系无法确定 ∴∠2的度数不能确定 故答案为D. 【分析】两直线平行同位角相等，但如果两直线位置关系不确定的话，就无法确定同位角是不是相等，所以∠2的度数无法确定. 2．如图， 过点 作线段 的平行线， 下列说法中正确的是（　　） A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 【答案】B 【解析】【解答】解：根据图片，经过C点能且只能作出一条线段与AB平行. 故答案为：B. 【分析】根据“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”可判断. 3．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．∠BAD＋∠ADC＝180° D．∠3＝∠4 【答案】C 【解析】【解答】解：A.由∠1＝∠2可判断AD∥BC，不符合题意； B.∠BAD＝∠BCD不能判定图中直线平行，不符合题意； C.由∠BAD＋∠ADC＝180°可判定AB∥DC，符合题意； D.由∠3＝∠4可判定AD∥BC，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，据此逐项判断即可. 4．下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】C 【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，A错误； B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，C正确； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，D错误. 故答案为：C. 【分析】两点之间，线段最短. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 5．下列图形中，由能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】A.∠1＝∠2，不能判断，故A不符合题意； B.∵∠1＝∠2， ∴（内错角相等，两直线平行），故B符合题意； C.， ，故C不符合题意； D.∠1＝∠2，不能判断，故D不符合题意． 故答案为：B． 【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。 6．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠4=∠5 D．∠2=∠3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠3， ∴a∥b，（内错角相等，两直线平行），故此选项错误； B、∵∠2+∠4=180°， ∴a∥b，（同旁内角互补，两直线平行），故此选项错误； C、∵∠4=∠5， ∴a∥b，（同位角相等，两直线平行），故此选项错误； D、∠2=∠3，无法判定直线a∥b，故此选项正确． 故选：D． 【分析】利用平行线的判定方法分别得出即可． 7．如图，直线 ， ， ， ，则 （　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【解析】【解答】解：过E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠3=∠C=50°，∠DEF=∠2=25°， ∴∠BED=∠3+∠DEF=50°+25°=75°. 故答案为：D. 【分析】过E作EF∥CD，得出AB∥CD∥EF，然后根据平行线的性质求出∠3和∠DEF的度数，即可解答. 8．如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图： 根据图象可得：∠4=180°-∠1-∠3=180°-48°-90°=42°， ∵a//b， ∴∠2=∠4=42°， 故答案为：C. 【分析】先利用角的运算求出∠4的度数，再利用平行线的性质可得∠2=∠4=42°. 9．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】【解答】解：①，由同旁内角互补，可推出平行，符合题意； ②，由同位角相等，可推出平行，符合题意； ③，不能推出，不符合题意； ④，由内错角相等，可推出平行，符合题意； ⑤，不能推出，不符合题意； 共有3个能判断直线， 故答案为：B． 【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。 10．如图，已知，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°， ∴∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°， 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°， 故A，B，C均错误，D正确； 故答案为：D. 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，作答即可判断. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图： ∵∠2+∠4=180°，∠2=145°， ∴∠4=180°-∠2=180°-145°=35°， ∵m//n， ∴∠3+∠1+∠4=180°， ∴∠3=180°-∠1-∠4=180°-20°-35°=125°， 故答案为：125°. 【分析】先利用邻补角求出∠4的度数，再利用平行线的性质求出∠3的度数即可. 12．在A、B两地之间要修一条公路（如图），从A地测得公路的走向是北偏东60度．如果A、B两地同时开工，那么在B地公路按∠α＝　 　度施工，能使公路准确接通． 【答案】120 【解析】【解答】解：如图， ，， . 故答案为：120. 【分析】利用平行线的性质可得和互补，进而求得的度数. 13．如图，一根直尺和一个含的直角三角板按如图方式叠合在一起(三角板的直角顶点在直尺的边上)，若，则的度数是　 　. 【答案】32 【解析】【解答】解：对原图进行标注，如下图： ∵直尺对边平行， ∴∠3=∠1=58°， ∴∠2=180°-90°-58°=32°， 故答案为：32°. 【分析】根据平行线的性质得∠3=∠1=58°，再利用平角的定义即可求得∠2. 14．如图，直线，被所截，则与是　 　填内错角，同位角或同旁内角. 【答案】内错角 【解析】【解答】解：两条直线、被直线所截形成的角中，与都在、直线的之间，并且在直线的两旁，所以与是内错角. 故答案为：内错角. 【分析】两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角； 两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角； 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角. 15．已知一个角的余角是35°，那么这个角的度数是　 　。 【答案】55° 【解析】【解答】解：∵一个角的余角为35°， ∴这个角的度数为：90°-35°=55°. 故答案为：55°. 【分析】利用互余两角之和为90°，列式计算可求出这个角的度数. 16．如图所示， 和 互余，则 　 　. 【答案】129° 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠D=39°. ∵∠C和∠D互余，∠C+∠D-90°， ∴∠C=90°-39°-51°. ∵AB//CD， ∴∠B＋∠C=180°，∴∠B=180-51=129°. 故答案为：129°. 【分析】根据平行线的性质求出∠1的度数，然后根据余角的性质求∠C的度数，最后根据两直线平行同旁内角互补求∠B度数即可. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图，点D，E分别在的边，上，点F在线段上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求∠1． 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， （2）解：∵平分∠ADC， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】【分析】(1)先利用EF||AB证得，再通过等量代换判定DE||BC. (2)先利用角平分线的定义证得，再通过平行线的性质求得的度数，然后由外角的性质得到的度数. 18．如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，． （1）求证：． （2）若平分，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）由题意可得FP⊥EH，由平行线的性质可得∠GHC=∠FPH=30°，∠BFP=∠FPH=30°，然后根据平角的概念进行计算； （2）由角平分线的概念可得∠BFP=∠HFP=30°，∠EFG=∠AFG，则∠GFH=∠GFP-∠HFP=60°，由∠EFH=∠EFG+∠GFH求出∠EFH的度数，据此证明. 19．已知：如图，. （1）判断FH与CD的位置关系，并说明理由. （2）若求∠2的度数. 【答案】（1）解：，理由如下： （2）解：由（1）知， 【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，可证得∠1=∠DCB，利用已知条件可证得∠2+∠DCB=180°，利用同旁内角互补，两直线平行在，可得到FH与CD的位置关系. （2）由（1）可知∠2+∠DCB=180°，利用已知可求出∠BCD的度数，根据∠1=∠DCB，可求出∠1的度数. 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A作AE∥BC ，过点C作CF∥AB，AE与CF相交于点D. （1）依题意，补全图形； （2）求证：∠ADC与∠ACB互余. 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠B+∠BAD=180°，∠ADC+∠BAD=180°. ∴∠B=∠ADC， 在△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， ∴∠ADC +∠ACB=90°，即∠ADC 与∠ACB互余. 【解析】【分析】（1）根据平行线的作法作图即可； （2）由平行线的性质可得∠B+∠BAD=180°，∠ADC+∠BAD=180°，则∠B=∠ADC，根据余角的性质可得∠B+∠ACB=90°，则∠ADC +∠ACB=90°，据此解答. 21．如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180° （1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1=60°，求∠EAB的度数． 【答案】（1）解：AD//EC， 理由是：∵∠1=∠BDC， ∴AB//CD， ∴∠2=∠ADC， 又∵∠2+∠3=180°， ∴∠ADC+∠3=180°， ∴AD//EC． （2）解：∵AB//CD， ∴∠BDC=∠1=60°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC=∠BDC=30°， ∴∠2=∠ADC=30°， ∵CE⊥AE， ∴∠CEG=90°， ∵AD//CE ∴∠EAD=∠CEG=90°， ∴∠EAB=∠EAD+∠2=90°+30°=120°． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出AB//CD，推出∠2=∠ADC，求出∠ADC+∠3=180°，根据平行线的判定推出即可； （2）求出∠ADC的度数，求出∠2=∠ADC=30°，∠EAD=∠CEG=90°，代入求解即可。 22．问题情境：如图，已知ABCD．∠1+∠2＝180°． （1）猜想论证：试猜想AD与CE的位置关系，并说明理由； （2）拓展探究：若CE⊥AE于点E．∠2＝145°，请自行给∠ABF或∠ABD一个合适的值，再求∠F的度数． 【答案】（1）猜想，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ， 由（1）已证：， ， ， ， ， ， 给定， 则． 【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可判断AD与CE的位置关系； （2）根据，得出，再根据平行线的性质得出答案。 23．如图，已知线段，射线与的夹角． （1）请用尺规作图法在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）点到的距离是线段　 　的长度，其距离　 　5．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】（1）解：如图所示： 由作图可得MN垂直平分AC， ∴AB=BC， ∵， ∴， ∴点B即为所求； （2）AB；小于 【解析】【解答】解：（2）由（1）可得， ∴， 所以根据点到直线垂线段最短可得：点 到 的距离是线段 的长度，其距离小于5； 故答案为AB，小于． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据点到直线的距离的定义及垂线段最短可得答案。 24．如图，已知，线段与射线交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）解：过点C作CF∥AB， ∵DE∥AB，CF∥AB， ∴CF∥AB∥DE， 180°，180°， 120°，125°， 60°，55°， 65°； （2）解：同（1）可以求得180°，180°， ∴，=180°， ∴， ∵180°， ∴， ∴. 【解析】【分析】（1）过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得出CF∥AB∥DE，再根据角的运算得出60°，55°，即可得出答案； （2）同（1）可以求得180°，180°，得出，=180°，再根据180°，得出. 25．直线，直线l3、l4分别与l1、l2交于点B、F和A、E，点D是直线l3上一动点，交l4于点C． （1）如图1，当点D在l1、l2两线之间运动时，试找出∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系，并说明理由； （2）当点D在l1、l2两线外侧运动时，试探索∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系（点D和B、F不重合），画出图形，直接写出结论． 【答案】（1）解：结论：∠BAD＋∠DEF＝∠ADE， 理由：∵（已知）， ∴ ∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADC＋∠CDE＝∠ADE， ∴∠BAD＋∠DEF＝∠ADE（等量代换）． （2）解：①如下图，当点D运动到直线l1的上方时， ∵（已知）， ∴ ∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ADC＋∠ADE＝∠CDE， ∴∠BAD＋∠ADE＝∠CDE（等量代换）． 即：∠BAD＋∠ADE＝∠DEF． ②如下图，当点D运动到直线l2的下方时， ∵（已知）， ∴ ∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠CDE＋∠ADE＝∠ACD， ∴∠DEF＋∠ADE＝∠ADC（等量代换）． 即：∠DEF＋∠ADE＝∠BAD． 【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质证明求解即可； （2）分类讨论，结合图形，利用平行线的判定与性质证明即可。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $