一元函数的导数及其应用五大题型（基础版）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

一元函数的导数及其应用五大题型（基础版） 班级 姓名 知识点 1.导数的概念及其几何意义 f(x)=lim f(x,+△)-f(x) △X→00 △X =lim f(x。-△x)-f(x) △X→0 -△X '(x)表示函数在x=x。处切线的斜率 lim f(x+n△x)-f(x) △r0 n△x lim f(x,+△x)-f(xO-△x) 2△x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c是常数) f'(x)= f(x)=a*(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=x&(a∈R,且a≠0) f'(x)= f(x)=e f'(x)= f(x)=sinx f'(x)= f(x)=logd(a>0.且a≠1) f'(x)= f(x)=cosx f'(x)= f(x)=Inx f'(x)= 3. 导数的四则运算法则 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) [f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g'(x) r=f(x8)-f8'田(g)≠0) g(x) [g(x)]月 4. 利用导函数判断函数单调性/求函数单调区间的两种方法 方法一：求定义域→求函数的导数令∫'(x)=0,求函数零点→列表→下结论 方法二：求定义域→求函数的导数→令f'(x)>0和∫'(x)<0,并求出解：集→下结论 5.利用导数求函数极值的方法 求定义域→求函数的导数→令∫'(x)=0,求函数零点→列表→下结论 x,是极值点：f'(x)=0 x,是极大值点 x,是极小值点 x,左右导数异号 x,导数左正右负 x,导数左负右正 (左右单调性不同) (函数先增后减) (函数先减后增) 1 6.求函数f(x)在区间[a,b]的最值的方法 求定义域一求函数的导数一令∫'(x)=0一→求极值和端点值一比较，下结论 题型一导数的概念 1.f)=3,则f'(x)=1imfl+a)-f0_ △X→0 △X 2.f(=r+x,则f')=1imf0-a)-f0 A I-00 3.f'(x)=3,则f'(x)=lim f(1+△x)-f(I) 2△X 题型二在某点的切线方程 1.f(x)=x3-6x2+9x-2在x=2处的切线方程的斜率是 2.求f(x)=lnx+二-+1在点(1，f(I)处的切线方程 3.求f(x)=2lnx-x3在点(1，f(x)处的切线方程 题型三求函数单调区间 1.f(x)=x3-12x的单调递增区间是 2.求函数f(x)=x-lnx的单调区间 题型四求函数的极值 1.已知x=-1是函数f(x)=x3+2x2+ax的一个极值点，则a=-- 2.求函数f(x)=(x+1)2e的极值 题型五求函数的最值 1.已知函数f(x)=lnx+x2-(a+2)x,求在区间[l,e]上的最值 答案 题型一导数的概念 1.f(x)=3,则lim fI+△x)-f0=0 aX→0 AX 解：f(x)=3,定义域为R,∴.f'(x)=3lnx .lim △x→00 f0+a)-f0=f'0且f'0=3'n1=0 △X :1im0+ax)-f0=f'0=0 △X 2.f(x)=x3+x,则lim f0-△)-f0=-2 △X→0 2△x 解：因为f(x)=x+x,所以定义域为R,则f'(x)=3x2+1, 所以f'①)=3×12+1=4 lim f0-A-f0:-5m0-af0:-0=- -×4=-2 ar→ 2△x 2ar→0 -△x 3.f'(知)=3，则1imf+a)-f03 -0 2△X 2 解：mf+a)-10m+a-f0生03 9 2Ax 2x→ -2 题型二在某点的切线方程 1.f(x)=x3-6x2+9x-2在x=2处的切线方程的斜率是-3 解：因为f(x)=x3-6x2+9x-2,所以定义域为R,f(x)=3x2-12x+9 k彻=f'(2)=3×22-12×2+9=-3 2.求f)=1nx+1+1在点L,)处的切线方程：y=2 解：四)=nx++1定义规为0，+o),所以f(- a=r0=1-0 f(I)=ln1++1=2,所以点的坐标为(1,2) 由点斜式有y-2=0(x-1),即y=2 方法总结：求切线方程需求点的坐标和切线的斜率，代入点斜式简化即可 3.求f(x)=2lnx-x3在点(1，f(x)处的切线方程：y=x 解：f6)=2nx-x2定义域为(0，+o),所以f=2-3x k=f0=2-3×1=-1 f)=2ln1-13=-1,所以点的坐标为(1，-1) 由点斜式有y+1=-(x-1),即y=x 题型三求函数单调区间 1.f(x)=x3-12x的单调递增区间是(-0，-2)和(2，+0) 解：f(x)=x3-12x定义域为R,所以f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2) 令f'(x)>0,解得x<-2或x>2 所以f(x)的单调递增区间是(-0，-2)，(2，+0). 2.求函数f(x)=x-lnx的单调区间：单调递增区间是(1，+oo),单调递减区间是(0,1) 解：f(x)=x-nx定义域为(0，+o),所以f"()=1-1=-」 xx 令f'(x)>0,解：得x>1 令f'(x)<0,解：得0<x1 所以f(x)的单调递增区间是(1，+0)，单调递减区间是(0,1) 题型四求函数的极值 1.x=-1是函数f(x)=x3+2x2+ax的一个极值点，则a=1 解：因为x=-1是函数f(x)=x3+2x2+ax的一个极值点，所以f'(-1)=0 因为f(x)=x3+2x2+ax,所以f'(x)=3x2+4x+a .f'(-1)=3×(-1)2+4×(-1)+a=0 .a=1 2.求函数f(x)=(x+1)2e的极值 解：f(x)=(x+I)e定义域为R, 所以f'(x)=2(x+1)e+(x+1)2e=e'(x+3)(x+1) 令f'(x)=e(x+3)(x+1)=0,则x=-1或x=-3 列表如下： (-00,-3) -3 (-3,-1) -1 (-1,+0) f'(x) 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当x=-3时，f(x)有极大值为f(-3)=4e3 当x=-1时，f(x)有极大值为f(-1)=0 题型五求函数的最值 1.求函数f(x)=lnx+x2-3x,求在区间[l,e]上的最值 解：f(x)=lnx+x2-3x定义域为[l,e], fx)=+2x-3=-2x-少20，xe,e] 所以f(x)在[l,e]上单调递增 所以f(x)max=f(e)=lne+e2-3e=e2-3e+1 6