导数及其应用单元复习（交互动画）高二数学

null可学科网·上好课 www.zxk.com 上好每一堂课 导数的运算典例例题 题型1：基本初等函数的导数公式应用 (多选)下列函数的求导运算正确的是() A. B.(tanx)'=1 cos2x c.} x2 D.[3x+1e3=3-27x)e 【解析】对于A, （+=(K+x=1-x-1是，故A错误 对于B,(tanx)= (sinx)'cosx-(cosx)'sinx_cos'x+sin'x1,B cos2x cos2x cos2x 确： --eyr.-1,c, x x2 [3x+12e3了=[6x+12]e3x+3x+12[e了=(18x+6)e3+3.x+12(-3e）=(3-27x2)e3 故D正确，故选：BD 题型2：导数的四则运算法则应用 若函数f(x)=x-1)(x-2)x-3)x-4),则f'(4)=— 【详解】由f(x)=(x-1)(x-2)x-3)x-4), 得f'(x)=[x-1)x-2)(x-3)]'x-④+(x-1)x-2)x-3)(x-4)' f'(x)=[x-1)x-2)x-3)](x-4)+(x-1)x-2)x-3), f'(4)=[(x-1)x-2)x-3)]'(4-4)+(4-1)(4-2)(4-3)=6. 故答案为：6. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3：复合函数的导数 求下列函数的导数 (1)y=e2; 1 2y=(2x-19 (3)y=5log2(1-x); (4)y=sin3 x+sin3x. 【详解】(1)函数y=e2x+可看作函数y=e“和u=2x+1的复合函数， “y=以4=(e)(2x+1=2e"=2e2: (2)函数y(2x-可看作函数y=和=2r-1的复合函数， =y4=(uヅ(2x-1)=-6=-6(2x-1）=-6 (2x-1)4 (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数， g=以4=(51gm--=-5 5 uln2 (x-1)In2 (4)函数y=sin3x可看作函数y=w3和u=sinx的复合函数， 函数y=sin3x可看作函数y=sinv和v=3x的复合函数， ..y=(u3)(sinx)+(sinv).(3x)=3u2.cosx+3cosv=3sin2 xcosx+3cos3x. 题型4：含参函数的导数 己知函数f()=h(ax+1)t1-x,x≥0，其中a>0,若f四=0，则a= 1+x 【详解】f)=[m(a+1+}--a+-2 (1+x)m+11+)2' 所以f①=a}=0.所以a=1. a+12 故答案为：1 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破1：分段函数的导数 若以曲线y=f(x)上任一点M,)为切点作切线马，曲线上总存在异于M的点N(,), 以点N为切点作切线l2,且，，则称曲线y=f(x)具有“可平行性.证明：要使得分段函 数f(x)= x+上x>m 的图象具有“可平行性”，当且仅当实数=1. e-1(x<0) 【详解】“可平行性”曲线的充要条件是：对定义域内x,x2≠x使得f"(x)=f'(x2)成立. 当x<0时，f"(x)=e∈(0,1)，若具有“可平行性”，必要条件是： 当>0时，国=1子c@小，解得>1，可令m-1: 又当m-1,>m时，0)-1子eQ),若具有可平行性，必要条件是： 当x<0时，f"(x)=e*∈(0,1).符合题意，具有“可平行性”. 1 故要使得分段函数f(x)= x+二(x> 的图象具有“可平行性”，当且仅当实数=1. e*-1(x<0) 突破2：抽象函数的导数 定义域为R的函数f(x)满足f(x)+f(3-x)=4,f(x)的导函数8(x)为连续函数，函数 y=g(x-1)的图象关于点(2,1)中心对称，则f A.3 B.-3 C.1 D.-1 【详解】因为∫(x)+f(3-x)=4,则函数∫(x)的图象关于点 （中心对称 =2.由f'(x)-f'(3-x)=0,f'(y)=g(x),得g(x)=g(3-x), 所以晒数8（的图象关于直线x子对。根器阁象变换规你。 由y=g(x-1)的图象关于点(2,1)中心对称，得g(x)的图象关于点(1,1)中心对称， 又函数g(x)为连续函数，所以g(1)=1. 由于会()的图象E关于直线x=对称，又关于点)对称。则g(国是周斯高黄，周明为 T=4× 312，所以8(2025=80-1，故/ +8(2025)=2+1=3. 故选：A可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 导数的概念及其几何意义典例例题 题型1：导数定义中极限的计算 若函数f)的导函数f)存在，且1m0-A9-/0=4,则了0=() 2△x A.-2 B.2 C.-8 D.8 【解折1四0-0吉0.0=4.所以=-8，放 2Ax -△x 选：C 题型2：平均变化率与瞬时变化率 (多透)斯蜴的体温与阳光照射的关系近似为T)=+15,其中7)为蜥蜴的体温 (单位：c),t为太阳落山后的时间（单位：min).则（） A.从t=0到t=5,蜥蜴体温下降了12°C B.从t=0到t=5,蜥蜴体温的平均变化率为-2.4°C/min C.当t=5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是-1.2°C/min D.蜥蜴体温的瞬时变化率为-3°C/min时的时刻t=(215-5)min 【详解】对于A,当t=0时，T0)=罗+15=39，当t=5时，T(5)=器+15=27，所 以从t=0到t=5,蜥蜴的体温下降了39-27=12，故A正确： 对于B,从t=0到t=5,蜥蜴体温的平均变化率为7S)-T@-22=-2.4,故B正确： 5 5 对于C,T')=器当t=5时，T"(⑤=石器=-12，所以当t=5时，嘶蜴体温的瞬 时变化率为-1.2，故C正确： 对于D,令T'国=号=-3，解得t=2而-5，故D错误 故选：ABC 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3：曲线“在”某点的切线方程 若曲线C:f(x)=anx+x3+b在点(1，f(1)处的切线方程是2x-y-2=0,则 a+b= 【解析】函数的定义域为(0，+0)，由在点(1，f(1)处的切线方程是2x-y-2=0 得切线斜率为2，f)=0,由曲线C:f(y)=anx+x+b,得f'(x)=2+3x2, 故f'(1)=a+3=2,解得a=-1,又因为f(1)=1+b=0,故b=-1, 所以a+b=-1+(-1)=-2, 故答案为：-2 题型4：曲线“过”某点的切线方程 过点(-1,1)的直线1与曲线f(x)=x-x2-2x+1相切，则直线1的斜率为() A.不存在 B.-1 C.3 D.3或-1 【解析】解：因为f(x)=x-x2-2x+1,所以f(-1)=1,f(x)=3x2-2x-2, 当(-1,1)为切点时，k=f'(-1)=3: 当(-1,1)不为切点时，设切点为(a,d-a-2a+1),a≠-1， 所以k=f'(a=3a2-2a-2, 所以切线方程为y-（ad-a2-2a+1)=(3a2-2a-2)(x-a), 又切线过点（-1,1)， 所以1-(a3-a2-2a+1=(3am2-2a-2)(-1-a), 即a3+a2-a-1=0,即(a+1)a2-1)=0, 解得a=1或a=-1(舍去)，所以切点为(1，-1)， -1-1 所以1--1 综上所述，直线1的斜率为3或-1.故选：D 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5：两曲线的公切线问题 若曲线y=e+x在点(0，l)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+a的切线，则a=一 【解析】由y=e+x得y'=e+1,y'l。=e°+1=2， 故曲线y=e+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1; 1 由y=ln(x+l)+a得y= x+1 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(，ln(x,+1)+a), 由两曲线有公切线得y=2,解得，=一}则切点为 L.a+h 1 x0+1 1) 切线方程为y=2x+二+a+ln三=2x+1+a-ln2, 2 根据两切线重合，所以a-n2=0,解得a=ln2 突破1：导数几何意义与函数图像的综合应用 (多选)设函数f(x)的导函数为f'(x),已知函数f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象 可能是() (x =x) 【解析】由题意知f'(x)与x轴有三个交点-1,0,1， 当x∈(-n,-1)时，f'(x)<0,当x∈(-1,0)时，f(x)>0, 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,当x∈(1，+o)时，f'(x)>0, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则f(x)在区间(-∞，-1)，(0,1)上单调递减， 在区间(-1，O),(1,+o)上单调递增，故A,C正确；B,D错误.故选：AC. 突破2：含参切线问题的分类讨论 若曲线y=(x+a)e只有一条过原点的切线，则a的值为 【解析】y=(x+a)e*,∴.y=e+(x+a)e=(x+l+ae, 设切点为(x,),则y=(x+a)e,切线斜率k=(x。+1+a)e, ∴.切线方程为：y-(x+a)e=(x+1+a)e(x-x) 切线过原点， .-(x。+a)e=(x。+1+a)eo（-x),整理得：x+ax。-a=0, ,曲线y=(x+e*只有一条过坐标原点的切线切， ∴.△=a2+4a=0,解得a=0或a=4, ∴.a=0或a=4, 故答案为：0或-4可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 导数在研究函数中的应用典型例题 题型1：利用导数判断函数的单调性 已知函数f(x)=x2-2x+lnx. (1)求f(x)的导数： (2)求f(x)的单调区间. 【详解】(1)f'(x)=2x-2+ (2)定义域(0，+∞)，令f'()>0,即2x-2+>0,即22-2x+>0, 2x2-2x+1>0,其中判别式△=4-8<0，故f'(x)>0恒成立， f(x)单调递增区间为(O,+o),无递减区间. 题型2：由函数的单调性求参数 若函数了()3+1血x在区间m,m+1少上是单调减函数，则实数m的取值范围是一 【降折1四n:定义线@+小/是片令=-0，则 x=3, 当x∈(0,3)时，f"(x)<0,当x∈(3，+o)时，f"(x)>0, 所以f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 因为f(x)在区间(L,+1)上是单调减函数，所以(，m+1)二(0,3)， 所以 m≥0 m+1<3所以0≤m≤2，所以实数m的取值范围为[0,2] 题型3：利用导数求函数的极值 函数f)=号-hx的极小值为一· 2 【解折】由题意有f(0)的定义域为(0+)，所以f(x)=x-上_1_红-1x+少 令f'(x)=0有x=1,由f'(x)>0有x>1,f'(x)<0有0<x<1, 所以∫(x)在(0,1)单调递减，在(1，+o)单调递增， 所以f(x)的极小值为f)=2 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4：由函数的极值求参数 若函数f(x)=x(x+a)在x=1处有极小值，则实数a的值为() A.-1 B.-3 C.-1或-3 D.1 【解析】f'(x)=(x+a)+2x(x+ad=(x+a)(3x+a, f'(1)=(（1+a)3+a=0,解得：a=-1或a=-3: 当a=-1时，f'(x)=(x-1)(3x-1), 当x(写u+)时，f>0:当xe传时，f()<0: )在()L)上单调递嘴在 上单调递减， .f(x)在x=1处取得极小值，符合题意： 当a=-3时，f'(x)=(x-3)(3x-3), .当xe(-n,1)U(3,+o)时，f'"(x)>0:当xe(1,3)时，f'(x)<0: ∴f(x)在(-o,1),(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减， f(x)在x=1处取得极大值，不合题意；综上所述：a=-1.故选：A 题型5：利用导数求函数的最值 函数f(x)=sin3x+6$inx,x∈0， 的最大值为() 2 A.4 B.35 c.72 D.5 2 【解析】由题意f'(x)=3cos3.x+6c0sx=3c0s(x+2.x)+6c0sx =3(cos.xcos2x-sin.xsin2x)+6cosx=3cosx(2cosx-1)-2cosx(1-cosx)+6cosx =3(4cos3x-3cosx)+6cosx=12cosx-3cosx =3c4caw5x-小-=3cg(2ow-0Ccoe+0.xe0引 所以当0<<时，()>0，当写<<时，(<0， 3 所以()在到上单调通增，在号哥引上单调适减 所以函数f)=s3x+6sn,xe0引的最大值为(写-sin+6sm=35.放选：B 3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6：导数与函数零点的综合 已知函数f(x)=e-x-1有两个零点，则m的取值范围是 【解析】∫(x)=me一x-1三0→m=,令8=十1 ex, 求导得g(y)=e-c+1-￥ ex 而8()=-言>03x<0g()= e×0→x>0, 所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+o)上单调递减， 而当x→-0时，g(x)-→-0，当x→+∞时，g(x)→0， 且g(x)有极大值g(0)=1, 所以若函数f(x)=e-x-1有两个零点，则m的取值范围是(0,1) 题型7：导数与不等式的综合（恒成立、证明） 已知f(x)=hx (1)证明：(x)≥x-1: (②话)≤m号在Q+o)上恒成立，求实数a的最小值， 【解析】(1)证法1：设g(x)=xnx-x+1,则g'(x)=hx, 令g(x)=0,解得x=1, 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 当x>1时，g(x)>0,g(x)单调递增 因此g(x)≥g(1)=0,即xnx≥x-1,故原不等式成立. 证法2：要证f(x)≥x-1,即证f(x)-1+1≥0. 设)=-1+子则(=号，令(-=0，解得x-1 当0<x<1时，h(x)<0,h(x)单调递减；当x>1时，'(x)>0,h(x)单调递增. 因此h(x)≥h(I)=0,故原不等式成立 2)解法1：因为f()sa在(Q+)上恒成立，所以2≤a在0，+)上恒成 2x 立 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设以=>0.则-，令p=0.解得=6 2x 当0<x<√e时，p'(x)>0,p()单调递增；当x>√时，p(x)<0,p(x)单调递减. 因此a≥p(x)=(V6)=Ye,a的最小值为5 e e 解法2：设(6)-lmr-+号则(y≤0在(0，+)上恒成立，1()--a 1。 若a≤0，t)=-a+>0与已知矛盾，会去 2 若a>0,令r(=0,解得x= a 当0<x<1时，t()>0,t(x)单调递增： 当x>上时，t(x)<0,(x)单调递减， 所以(x)=ta =-a-≤0，解得a≥ 所以a的最小值为E 突破1：极值点偏移问题 己知函数f)=x2-(ax+1)l血x+ax,g()=f'().若g)有两个极值点x1, xx<x2),当a≥￥时，证明：9()-9)≥17n2- 【详解】g6)=f')=x-alx-的定义域为0，+o), g0=1-+片=“兴 x2 因为x1,x2是g(x)的两个极值点， 所以x1,x2是方程x2-Qx+1=0的两个相异正根，且x1+x2=a,x1x2=1, 由a=+片之得0<xs行 11 g(x1)-g(x2)=(x1-x2)-(ax1-alx2)-（ )=2(x1-x2)-aln X2 =26x-2)-6x+21x好=26-x2)-231+2x1, 令h(x)=2x-为-2x+nxxe0, 则h)-20+）-20-x-2cx+520-<0, x2 所以h()在(0，的上单调递减，故hn()min=h咱=17n2-号 即gx)-962)≥17n2-号 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破2：导数与三角函数、数列的综合 己知函数f(x)=asinx-ln(1+x),a∈R (1)若a为正实数，x∈(-1,0]时，都有f(x)≥0，求a的最大值. (2)证明：sin2<ln100: (3)若函数g()=e+1-n(x+1)的最小值为m,证明：方程e1+x-m-n(1+)=0有唯一 的实数根， 【详解】(1)~f'()=acosx--在(-1<x≤0)a为正实数， 令p()=cx-本(-1<x≤0)，则p/)=--asinx+4n≥0(-1<x≤0)恒成立， 函数f'(x)在区间(-1,0]上单调递增，且f'(0)=a-1. ①当0<a≤1时，f'(x)≤f'(0)≤0，所以函数f(x)在(-1,0]上单调递减，此时f(x)≥ f(0)=0,符合题意. ②当a>1时，f'0)=a-1>0,f'(日-1)=acos(6-1)-a<a-a=0,由零点存 在定理，3xo∈(-1,0)时，有f'(xo)=0,即函数f(x)在(-1，xo)上递减， 在(xo,0)递增，所以当x∈(xo,0)时，有f(x)<f(0)=0,此时不符合. 综上所述，正实数a的最大值为1. (2)由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx>n(1+x), 令x=-时，有sim(-)>n(1-)=n号，即sim<n片 累加得， ∑时W(ixixixww岁-sia C3)因为g(=e1-ln(c+1),所以g')=e1-本即函数g)在(-1，+o)上递 增， 又g'o)=e-1>0.g'()=V-2<0, 由零点存在定理，x1∈(-0)时，有g(x)=0,即e+1= 为+1 因此x1+1=n=-ln(x+1),而函数gx)在(-1，x)上递减，在(x,+∞)上递增， x1+1 所以m=g=9c)=e51-ln+1)=+ln-+名+1 由于对勾函数y=t+在（仔1）单调递减， 故x∈（则x1+1e(1)因此+名+1∈(2） 即me(2) 要证方程e1+x-m-ln(1+x)=0有唯一的实数解， 只要证方程e1+x-emn(1十x)=0有唯一的实数解。 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设H()=e+状-em(1+)(2<m<)则Hr')=e+- 1+x 所以函数H')在(-1，+o)上递增，又H'(0)=e-em<0,H0m-1)=e"m-①>0， m 由零点存在定理，x2e(0,m-1)时，Hx2)=0,即e1+2=0 1+x2 因此m=1+红+h(1+x).又m=南+血 设m(x)=x+lnx,则函数m(x)在(0，+oo)上递增， 于是1+x2=1+ 1 又x+1=-ln6+1),n(1+x)=l血=-lh1+x)=1+x, 而函数H(x)在(-1，x2)上递减，在(x2,+o)上递增， ..H(x)min =H(x2)=el+x2-emIn(1+x2)=em ,1-ln(1+x2) 1+x2 =em(1+x1 (1+x1)=0, 即函数H(x)有唯一零点x2,故方程e1+x-m-ln(1+x)=0有唯一的实数解. 突破3：含参函数的多零点问题（分类讨论） 己知函数f(x)=(x+2)e. (1)求f(x)的单调区间及最值： (2)设g(x)=f(x)-k,讨论g(x)在区间[-1,1]上的零点个数. 【解析】(1)f"(x)=e+(x+2)e=(x+3)e,令f'()=0,解得x=-3 当x<-3时，∫'(x)<0,函数f(x)单调递减： 当x>-3时，∫'(x)>0,函数f(x)单调递增， 所以当x=3时，f(取最小值为(-3)=。，)没有最大值 所以∫(x)单调递减区间为(-0，-3)，单调递增区间为(-3，+∞)， 且/()的最小值为(-3)=专，没有最大值 (2)g(x)=f(x)-k,由(1)，可知f(x)在[-1]上递增，而f(-1)=,f)=3e 根据k的不同取值，分情况讨论： ①当k<时，对于x∈-1,1，由于f()≥f()=>k,则g()>0恒成立，放g()没 e 有零点 ②当≤k≤3e时，由f(x)的单调性，可知存在唯一c∈[-1,1]，使g(c)=0,故g(x)有唯 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一零点x=c. ③当k>3e时，由f(x)≤f(1)=3e<k,即g(x)<0恒成立，故g(x)没有零点 综上，当c(U6e1)时，到山上设有专点 当ke30时，g四在[-11上有1个零点 e