专题02 导数及其应用全章27大题型 期中复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题 02 导数及其应用全章 27 大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教 A 版 核心知识铺垫（大题、小题必备，快速回顾） 导数解题的核心是熟练掌握导数的概念、几何意义、基本运算公式，明确导数与函数单调性、极值、最值的关系，先回顾核心内容，再突破题型： 1. 导数的基本概念 （1）导数的定义：函数 在 处的导数，记为 或 ，即 （2）导函数：若函数 在区间 内每一点都可导，则其导函数记为 或 ，本质是关于 的函数； （3）可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导（易错重点）。 2. 导数的几何意义（重中之重） 函数 在 处的导数 ，就是曲线 在点 处的切线斜率； 切线方程：若曲线在点 处有切线，且 存在，则切线方程为 特别提醒：若切线垂直于 x 轴，则切线斜率不存在，切线方程为 。 3. 基本导数公式与运算法则（重中之重） 基本导数公式（常考） ① （ 为常数）； ② （）； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ （）； ⑦ （）； ⑧ （）。 导数运算法则 ① ； ② ； ③ （）； ④ 复合函数求导：，则 。 4. 导数与函数的单调性、极值、最值（重中之重） 单调性 设函数 在区间 内可导： ① 若 ，则 在 上单调递增； ② 若 ，则 在 上单调递减； ③ 若 恒成立，则 为常函数。 极值 ① 极值点：导数由正变负（极大值点）或由负变正（极小值点）的点， 是极值点的必要不充分条件； ② 判断方法：先求 的根，再判断根两侧 的符号，符号改变则为极值点，否则不是。 最值 ① 闭区间 上的可导函数，最值在极值点或区间端点处取得； ② 开区间 上的函数，若只有一个极值点，则该点即为最值点。 5. 导数的简单实际应用 核心思路：将实际问题转化为函数问题，利用导数求函数的极值、最值，解决最优化问题（如用料最省、利润最大、效率最高等）。 步骤：设变量→列函数→求导数→找极值→判断最值。 6. 解题核心技巧 （1）导数运算：牢记公式，注意复合函数求导的分层步骤； （2）几何意义：区分“切线斜率”与“切线方程”，注意切点在曲线和切线上； （3）单调性与极值：极值点需验证两侧导数符号，避免误判； （4）最值问题：闭区间必考虑端点值，开区间注意极值点唯一性； （5）易错点：可导与连续的关系、复合函数求导漏层、极值点与导数为 0 的关系。 导数及其应用全章 27 大题型详解 说明：27 大题型按“基础→中档→综合”排序，期中考查以题型 1-22 为主，题型 23-27 为基础压轴题，无超纲内容，每个题型配套完整解析与易错提醒，贴合人教 A 版教材考点。 第一部分：基础题型（1-10 题，必考题，占期中该模块 40% 分值） 题型 1：导数的概念辨析（基础小题） 解题思路：理解导数的定义、可导与连续的关系，区分“导数值”与“导函数”，判断命题的真假。 典型例题：下列关于导数的说法正确的是（ ） A. 若函数 在 处连续，则一定可导 B. 若函数 在 处可导，则一定连续 C. 导函数 是一个常数 D. 函数 在某点的导数值越大，函数在该点的变化率越小 详细解析： A. 连续不一定可导（如 在 处连续但不可导），错误； B. 可导必连续，正确； C. 导函数是关于 的函数，不一定是常数（如 ，），错误； D. 导数值越大，函数在该点的变化率越大，错误； 答案：B。 易错提醒：牢记“可导必连续，连续不一定可导”，区分导数值与变化率的关系。 题型 2：利用导数定义求导数值（基础小题/大题） 解题思路：紧扣导数定义 ，对极限式子进行变形，代入计算。 典型例题：已知函数 ，利用导数定义求 。 详细解析：由导数定义得， 化简得 故 。 易错提醒：变形时注意展开完全，避免漏项，极限计算时注意 （不是 ）。 题型 3：基本初等函数的导数运算（基础小题，必考题） 解题思路：牢记基本导数公式，直接代入公式计算，注意指数、对数、三角函数的导数公式区别。 典型例题：求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。 详细解析： （1）由 ，得 ； （2）由 ，得 ； （3）由 ，得 ； （4）由 ，得 （）。 易错提醒：注意 （负号不可漏）， 的导数是 ，不是 。 题型 4：导数的加减运算法则应用（基础小题） 解题思路：利用 ，分别求两个函数的导数，再进行加减运算。 典型例题：求函数 的导数。 详细解析：由加减运算法则， 易错提醒：注意符号变化，减去一个函数的导数，等于减去该函数的导数值，避免漏负号。 题型 5：导数的乘法运算法则应用（基础小题/大题） 解题思路：牢记 ，分别求两个函数的导数，再代入公式计算，注意展开整理。 典型例题：求函数 的导数。 详细解析：设 ，，则 ，；由乘法法则得 易错提醒：不要遗漏”“这一项，避免只计算 。 题型 6：导数的除法运算法则应用（基础小题/大题） 解题思路：牢记 （），分别求分子、分母的导数，代入公式计算，注意分子是“分子导×分母 - 分子×分母导”。 典型例题：求函数 （）的导数。 详细解析：设 ，，则 ，；由除法法则得 易错提醒：分子的顺序不可颠倒，分母是分母函数的平方，避免计算错误。 题型 7：简单复合函数的导数运算（基础小题/大题，必考题） 解题思路：遵循“分层求导”原则，先确定外层函数和内层函数，设 ，，则 ，最后将 代回整理。 典型例题：求下列函数的导数：（1）；（2）。 详细解析： （1）设 ，，则 ，，故 ； （2）设 ，，则 ，，故 。 易错提醒：复合函数求导不可漏层，避免直接对内层函数求导或只对外层函数求导。 题型 8：导数几何意义的基础应用（求切线斜率）（基础小题，必考题） 解题思路：函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率，步骤：求导数→代入切点横坐标，计算导数值，即为切线斜率。 典型例题：求曲线 在点 处的切线斜率。 详细解析：先求导数，；将切点横坐标 代入导数，得 ，故切线斜率为 1。 易错提醒：切线斜率是导函数在切点横坐标处的函数值，不是导函数本身，避免直接写 作为斜率。 题型 9：导数几何意义的基础应用（求切线方程）（基础小题/大题，必考题） 解题思路：步骤：① 求导数，计算切点处的切线斜率；② 确认切点在曲线上（若未给出切点，需先求切点）；③ 代入切线方程 ，整理得切线方程。 典型例题：求曲线 在点 处的切线方程。 详细解析： ① 求导数，，代入 ，得切线斜率 ； ② 切点 在曲线上； ③ 代入切线方程，得 ，整理得 。 易错提醒：切线方程需整理为一般式或斜截式，避免直接写点斜式；注意 的定义域为 ，切点横坐标需满足定义域。 题型 10：判断函数的单调性（基础小题/大题，必考题） 解题思路：步骤：① 求函数的定义域；② 求导数 ；③ 分析 在定义域内的符号；④ 根据符号判断函数的单调区间。 典型例题：判断函数 的单调区间。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，； ③ 令 ，解得 或 ；令 ，解得 ； ④ 故 的单调递增区间为 ，；单调递减区间为 。 易错提醒：先求定义域，再分析导数符号；单调区间用区间表示，不可用集合或不等式表示。 第二部分：中档题型（11-22 题，高频题，占期中该模块 40% 分值） 题型 11：复合函数求导（中档难度，高频题） 解题思路：针对多层复合函数，分层设元，逐步求导，最后代回整理，注意每一层的求导都要准确，避免漏层。 典型例题：求函数 的导数。 详细解析：设 ，，；则 ，，；由复合函数求导法则， 易错提醒：多层复合函数需逐层设元，不可跳层求导；最后需将中间变量代回原函数，整理化简。 题型 12：导数几何意义的中档应用（已知切线斜率求切点）（中档小题/大题） 解题思路：步骤：① 求导数，设切点为 ，则切线斜率为 ；② 根据已知切线斜率，列方程 ，求解 ；③ 代入原函数，求 ，得到切点坐标。 典型例题：已知曲线 的一条切线斜率为 4，求该切线对应的切点坐标。 详细解析： ① 求导数，，设切点为 ，则切线斜率 ； ② 由题意得 ，解得 ； ③ 当 时，；当 时，； 故切点坐标为 或 。 易错提醒：注意切线斜率对应的切点可能不止一个，需全面求解，避免漏解。 题型 13：导数几何意义的中档应用（已知切线方程求参数）（中档小题/大题，高频题） 解题思路：步骤：① 求导数，得到切线斜率表达式；② 切点既在曲线上，也在切线上，列方程组（切线斜率=导数值、切点代入曲线、切点代入切线）；③ 解方程组，求出参数值。 典型例题：已知曲线 （ 为常数）在点 处的切线方程为 ，求 和 的值。 详细解析： ① 求导数，，切线斜率 ； ② 由切线方程 ，得斜率 ，故 ，解得 ； ③ 切点 在切线上，代入得 ，解得 ； 综上，，。 易错提醒：切点同时在曲线和切线上，两个条件缺一不可；注意 的定义域，切点横坐标需满足 。 题型 14：利用导数求函数的单调区间（含参数）（中档小题/大题，高频题） 解题思路：步骤：① 求定义域；② 求导数，对导数进行因式分解（或配方）；③ 根据参数的取值范围，分类讨论导数的符号；④ 确定不同参数取值下的单调区间。 典型例题：求函数 （ 为常数）的单调区间。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，； ③ 分类讨论： 当 时，，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时，令 得 ，令 得 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时，令 得 ，令 得 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 易错提醒：分类讨论的标准要清晰，围绕导数等于 0 的根与定义域的关系进行分类，避免重复或遗漏。 题型 15：利用导数判断函数的极值点（中档小题/大题） 解题思路：步骤：① 求定义域；② 求导数，令 ，求方程的根；③ 判断每个根两侧导数的符号，符号改变则为极值点（正变负为极大值点，负变正为极小值点），符号不变则不是极值点。 典型例题：判断函数 的极值点，并说明是极大值点还是极小值点。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，，令 ，解得 ； ③ 当 时，；当 时，； 两侧导数符号不变，故 不是极值点，该函数无极值点。 易错提醒： 的根不一定是极值点，必须验证根两侧导数的符号是否改变，避免误判。 题型 16：利用导数求函数的极值（中档小题/大题，必考题） 解题思路：步骤：① 求定义域；② 求导数，令 ，求极值点；③ 计算极值点对应的函数值，即为函数的极值（极大值或极小值）。 典型例题：求函数 的极值。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，，令 ，解得 或 ； ③ 验证符号： 时，； 时，，故 是极大值点，极大值 ； 时，，故 是极小值点，极小值 。 易错提醒：求极值时，需先判断极值点类型，再计算函数值；注意极值是函数值，不是极值点的横坐标。 题型 17：利用导数求函数的极值（含参数）（中档小题/大题，高频题） 解题思路：步骤：① 求定义域；② 求导数，令 ，求方程的根（含参数）；③ 分类讨论根的个数、根的大小，判断极值点；④ 计算不同情况下的极值。 典型例题：求函数 （）的极值。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，，令 ，解得 或 ； ③ 验证符号： 时，； 时，； 时，； ④ 极大值点为 ，极大值 ；极小值点为 ，极小值 。 易错提醒：参数 的取值会影响导数等于 0 的根的个数，需结合参数范围分析，避免漏解。 题型 18：利用导数求闭区间上函数的最值（中档小题/大题，必考题） 解题思路：步骤：① 求定义域（闭区间 ）；② 求导数，令 ，求区间内的极值点；③ 计算极值点和区间端点的函数值；④ 比较所有函数值，最大的为最大值，最小的为最小值。 典型例题：求函数 在区间 上的最值。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，，令 ，解得 （在区间内）； ③ 计算函数值：，，； ④ 比较得，最大值为 3（在 和 处取得），最小值为 -1（在 处取得）。 易错提醒：闭区间上的最值必须考虑区间端点的函数值，不可只计算极值点的函数值。 题型 19：利用导数求开区间上函数的最值（中档小题/大题） 解题思路：步骤：① 求定义域（开区间 ）；② 求导数，令 ，求区间内的极值点；③ 若区间内只有一个极值点，则该点即为最值点（极大值点为最大值点，极小值点为最小值点）；若有多个极值点，需比较极值大小，结合函数单调性判断最值。 典型例题：求函数 在区间 上的最值。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数，，令 ，解得 （ 舍去，不在定义域内）； ③ 验证符号： 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； ④ 区间内只有一个极小值点 ，故最小值为 ，该函数无最大值。 易错提醒：开区间上的函数可能无最值，需结合函数单调性判断，避免误判存在最大值或最小值。 题型 20：利用导数解决不等式恒成立问题（基础型）（中档小题/大题，高频题） 解题思路：核心：将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，若 在区间 上恒成立，则 ；若 在区间 上恒成立，则 。 典型例题：已知函数 ，若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围。 详细解析：由题意，需 ； ① 求导数，，令 ，解得 （在区间 内）； ② 计算函数值：，，； ③ 得 ，故 ，即 的取值范围为 。 易错提醒：不等式恒成立问题，牢记“恒成立→最值”的转化关系，避免搞反最大值、最小值与参数的关系。 题型 21：导数在实际问题中的基础应用（利润最大问题）（中档小题/大题） 解题思路：步骤：① 设自变量（如产量、售价），建立利润函数 ；② 求利润函数的定义域；③ 求导数，令 ，求极值点；④ 判断极值点是否为最大值点，计算最大利润。 典型例题：某工厂生产一种产品，每件成本为 20 元，售价为 元（），销售量为 件，求售价定为多少时，利润最大，最大利润为多少？ 详细解析： ① 设售价为 元，利润 ； ② 定义域为 ； ③ 求导数，，令 ，解得 （不在定义域内）； ④ 分析单调性： 时，，利润函数单调递增；故当 时，利润最大，最大利润 元。 易错提醒：建立函数时，注意成本、售价、销售量的关系，定义域需符合实际意义；若极值点不在定义域内，最值在区间端点处取得。 题型 22：导数在实际问题中的基础应用（用料最省问题）（中档小题/大题） 解题思路：步骤：① 设自变量（如边长、半径），建立用料函数 ；② 求定义域；③ 求导数，令 ，求极值点；④ 判断极值点是否为最小值点，计算最省用料。 典型例题：要制作一个容积为 的长方体无盖水箱，底面为正方形，求底面边长为多少时，用料最省，最省用料为多少？ 详细解析： ① 设底面边长为 m（），则高 ；用料 ； ② 定义域为 ； ③ 求导数，，令 ，解得 ； ④ 验证： 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增；故 时，用料最省，最省用料 。 易错提醒：无盖水箱的用料的是“底面面积 + 四个侧面面积”，避免遗漏侧面面积或多算顶面面积。 第三部分：综合题型（23-27 题，基础压轴题，占期中该模块 20% 分值） 题型 23：导数与函数单调性、极值的综合应用（综合小题/大题，高频压轴题） 解题思路：结合函数的单调性、极值的判定方法，综合运用导数公式、运算法则，解决含参数的单调性、极值综合问题，注意分类讨论思想的应用。 典型例题：已知函数 （ 为常数），且 的两根为 和 ，，求函数 的解析式，并判断函数的单调区间和极值。 详细解析： ① 求导数：； ② 由韦达定理， 的两根为 和 ，得 解得 ，； ③ 代入 ，得 ，代入 的值，解得 ；故函数解析式为 ； ④ 判断单调区间：令 ，即 ，解得 或 ；令 ，解得 ；故单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ； ⑤ 求极值： 是极大值点，极大值 ； 是极小值点，极小值 。 易错提醒：利用韦达定理求参数时，注意导数二次函数的系数，避免记错韦达定理公式；求极值时，需结合单调区间判断极值点类型，不可仅凭导数为 0 下结论。 题型 24：导数与不等式的综合应用（综合小题/大题，压轴题） 解题思路：核心是结合导数判断函数的单调性、求函数最值，将不等式证明、不等式有解问题转化为函数值的大小比较，灵活运用分类讨论、构造函数的思想。 典型例题：已知函数 ，求证：当 时，。 详细解析： ① 求定义域：； ② 求导数：； ③ 分析单调性：当 时，，故 在 上单调递增； ④ 求最值： 在 上单调递增，故 ； ⑤ 综上，当 时， 成立。 易错提醒：证明不等式时，需先判断函数单调性，再利用单调性得出函数值的范围，避免直接代入特殊值验证；构造函数时，注意函数定义域的限制。 题型 25：导数与函数零点的综合应用（综合小题/大题，压轴题） 解题思路：步骤：① 求函数定义域；② 求导数，分析函数的单调区间和极值、最值；③ 根据函数的单调性、极值大小，判断函数零点的个数（结合零点存在性定理）；④ 若含参数，需分类讨论参数对零点个数的影响。 典型例题：已知函数 （ 为常数），求函数 零点的个数。 详细解析： ① 定义域为 ； ② 求导数：，令 ，解得 或 ； ③ 分析单调性与极值：单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ；极大值 ，极小值 ； ④ 分类讨论零点个数： 当 （即 ）时，函数无零点； 当 或 （即 或 ）时，函数有 1 个零点； 当 时，函数有 3 个零点； 当 时，函数有 1 个零点。 易错提醒：判断零点个数时，需结合函数的极值大小和单调性，避免遗漏极值与 x 轴的位置关系；分类讨论时，明确分类标准，不重复、不遗漏。 题型 26：导数在实际问题中的综合应用（综合大题，压轴题） 解题思路：结合实际场景，建立函数模型（如面积、体积、利润、成本等），利用导数求函数的极值、最值，解决复杂的最优化问题，注意定义域的实际限制，以及结果的合理性。 典型例题：某农场要建一个矩形养殖棚，一边靠现有围墙（围墙足够长，无需修建），另外三边用栅栏围成，栅栏总长度为 60m，设矩形的长为 m（与围墙平行的边为长），养殖棚的面积为 m²，求当 取何值时，面积 最大，最大面积为多少？ 详细解析： ① 建立函数模型：由题意，矩形的宽为 m（），面积 ； ② 求导数：； ③ 求极值点：令 ，解得 （在定义域内）； ④ 判断单调性：当 时，，函数单调递增；当 时，，函数单调递减； ⑤ 求最值： 时，面积最大，最大面积 m²； ⑥ 结论：当长为 30m、宽为 15m 时，养殖棚面积最大，最大面积为 450m²。 易错提醒：建立函数时，明确自变量的实际意义，准确确定定义域；注意围墙的作用，避免多算或漏算栅栏长度；最后需验证结果是否符合实际场景。 题型 27：含参导数综合压轴题（综合大题，期中难点） 解题思路：综合考查导数的运算、函数的单调性、极值、最值，以及不等式恒成立、零点个数等问题，核心是分类讨论参数的取值范围，结合导数工具分析函数性质，注重逻辑推理和步骤规范。 典型例题：已知函数 （ 为常数），讨论函数 的单调性，并求当 时， 恒成立的实数 的取值范围。 详细解析： ① 求定义域：； ② 求导数：； ③ 分类讨论单调性： 当 时， 恒成立， 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ；当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增； ④ 求 时， 恒成立的 的范围： 当 时， 在 上单调递增，，符合题意； 当 时，若 （即 ）， 在 上单调递增，，符合题意； 若 （即 ）， 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 ，令 ，设 ，，当 时，， 单调递减，，不符合题意； ⑤ 综上， 的取值范围为 。 易错提醒：含参分类讨论时，分类标准要明确（本题以 与 0 的大小、 与 0 的大小为标准）；恒成立问题转化为最值问题时，需结合函数单调性准确求最值，避免忽略参数对单调区间的影响。 分层实战卷 说明：本实战卷严格贴合期中考查范围，按“基础层（基础巩固）→ 提高层（中档突破）→ 冲刺层（综合压轴）”分层，题型覆盖 27 大题型核心考点，分值适配期中试卷导数模块占比，答案解析统一放在卷末，均为详细步骤，方便自查自纠。 一、基础层（共 30 分，每题 5 分） 1. 下列关于导数的说法正确的是（ ） A. 若函数 在 处连续，则一定可导 B. 可导函数在极值点处的导数一定为 0 C. D. 函数 的导函数是常数 1. 利用导数定义求函数 在 处的导数值 。 1. 求函数 的导数。 1. 求曲线 在点 处的切线方程。 1. 判断函数 的单调区间。 1. 求函数 在区间 上的最值。 二、提高层（共 40 分，每题 8 分） 1. 求函数 的导数。 1. 已知曲线 在点 处的切线斜率为 4，求实数 的值。 1. 求函数 （ 为常数）的单调区间，并求其极值。 1. 已知函数 ，若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围。 1. 一个无盖的圆柱形容器，容积为 ，求底面半径为多少时，用料最省（不计厚度）。 三、冲刺层（共 30 分，每题 10 分） 1. 已知函数 ，且 的两根为 和 ，，，求函数 的解析式、单调区间及极值。 1. 求证：当 时，。 1. 已知函数 （ 为常数），讨论函数 的单调性，并求当 时， 恒成立的实数 的取值范围。 实战卷详细答案解析 一、基础层答案解析 1. 答案：B 解析：A 选项，连续不一定可导（如 在 处连续但不可导），错误；B 选项，可导函数的极值点处导数一定为 0（必要条件），正确；C 选项，，，错误；D 选项， 的导函数 ，是关于 的函数，不是常数，错误。 1. 答案： 解析：由导数定义， · 代入 得： · 故 。 1. 答案： 解析：由导数加减运算法则及基本导数公式，，，，故 。 1. 答案： 解析：① 求导数，；② 代入切点横坐标 ，得切线斜率 ；③ 代入切线方程 ，即 ，整理得 。 1. 答案：单调递增区间为 ，；单调递减区间为 解析：① 定义域为 ；② 求导数，；③ 令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；故单调递增区间为 ，，单调递减区间为 。 1. 答案：最大值为 2，最小值为 -2 解析：① 定义域为 ；② 求导数，，令 ，解得 （在区间内），（舍去）；③ 计算函数值：，，；④ 比较得，最大值为 2（ 处），最小值为 -2（ 处）。 二、提高层答案解析 1. 答案： 解析：设 ，，由复合函数求导法则：；① ；② ；③ 代回得 。 1. 答案： 解析：① 求导数，；② 切点 在曲线上，且切线斜率为 4，故 ；③ 解方程 ，得 。 1. 答案： 当 时，单调递增区间 ，单调递减区间 ，极小值 2，无极大值； 当 时，单调递增区间 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大值； 当 时，单调递增区间 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大值。 解析：① 定义域为 ；② 求导数，，令 ，解得 ；③ 分类讨论： （1）当 时，，令 得 ，令 得 ，单调递增区间 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大值； （2）当 时，令 得 ，令 得 ，单调递增区间 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大值； （3）当 时，令 得 ，令 得 ，单调递增区间 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大值。 1. 答案： 解析：由题意， 在 上恒成立，即 ；① 求导数，；② 当 时，，函数单调递增；③ 故 ；④ 因此 ，即 的取值范围为 。 1. 答案：底面半径为 1m 时，用料最省 解析：① 设底面半径为 m（），高为 m，由容积 ，得 ；② 用料 （无盖，底面面积 + 侧面面积），代入 得 ；③ 求导数，，令 ，解得 （在定义域内）；④ 验证： 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增；故 时，用料最省。 三、冲刺层答案解析 1. 答案：解析式 ；单调递增区间 ，，单调递减区间 ；极大值 7，极小值 -25 解析：① 求导数，；② 由 的两根为 和 ，由韦达定理得 · 解得 ，；③ 代入 ，得 ；代入 ，得 ，代入 ，，，验证成立，最终解析式 ；④ 单调区间：令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，故递增区间 ，，递减区间 ；⑤ 极值：极大值 ，极小值 。 1. 证明：见解析 解析：构造函数 （），只需证明 在 时恒成立；① 求导数，；② 当 时，，故 ，函数 在 上单调递增；③ 因此 ；④ 综上，当 时， 成立。 1. 答案：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 的取值范围为 解析：① 定义域为 ；② 求导数，；③ 令 ，则 ，令 ，解得 ； 时，， 单调递减； 时，， 单调递增；故 ； ④ 分类讨论单调性： （1）当 ，即 时，，即 恒成立， 在 上单调递增； （2）当 ，即 时， 有两个不等实根，设为 （），当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增； ⑤ 求 时， 恒成立的 的范围： （1）当 时， 在 上单调递增，，符合题意； （2）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，令 ，设 ，则 ，令 ，， 单调递减，，不符合题意； 综上， 的取值范围为 。 2 学科网（北京）股份有限公司 $