21.3.3 正方形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3 正方形 人教版(2024)八年级下册 第二十一章 四边形 学习目标 1 理解并掌握正方形的判定和推导过程 2 能熟练运用正方形的判定进行计算和证明 知识回顾 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 对边平行， 四条边都相等 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对称性 不是轴对称图形 轴对称 轴对称 轴对称 知识回顾 2.菱形的性质： （1）角：菱形的对角相等． （2）边：菱形的四条边都相等． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. A B C O D 新知导入 除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？ 正方形　 下面开始本节课的学习 探究新知 除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？ 有一个直角 一组邻边相等 矩形 ？ ？ 正方形 菱形 平行四边形 探索新知 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的矩形是正方形？ 思考 如何证明你的猜想？ 一组邻边相等 对角线互相垂直 (已证) 探索新知 猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB . 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形. ∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ADC＝90°. ∵AC⊥DB， ∴AD＝AB， ∴四边形 ABCD 是正方形. A B C D O 有一组邻边相等的矩形是正方形． 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD，AO = CO = BO = DO ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形， 并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO. 图中共有多少个等腰直角三角形？ 练一练 2.从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD,选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是(　 　) A．①②　　　B．②③　　 C．①③　　　D．②④ B 任务二：能运用正方形性质和判定方法进行有关的证明和计算． 活动:小组合作解决下列问题，简要说说求解过程中用到的性质. (1)求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形. (2)右图中共有 个等腰直角三角形. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA . 又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA . ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG . A B D C F H E G 1 2 3 ∴HE = EF = FG = GH . ∴四边形 EFGH 是菱形 . ∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3. 又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°. ∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°. ∴四边形 EFGH 是正方形 . 1. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论. 解：四边形EFBG是正方形．证明： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°. 又 EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠BFE = ∠BGE = 90°， ∴四边形 EFBG 是矩形． ∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF = EG， ∴矩形 EFBG 是正方形． A D B C E F G 练 习 1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？ （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ 解：（1）如图，由折叠知 AB = AD， ∠B =∠ADC = 90°. ∵∠BAD = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD， 由正方形是有一组邻边相等的矩 形可知，四边形 ABCD 是正方形. （2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽. 【选自教材第76页 练习 第1题】 A B D C 2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D . 李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m. 这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 解：如图，连接 AC . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B = 90°，AB = BC . 在Rt△BEC 中，∠B = 90°，EB = 10 m，EC = 30m， 由勾股定理，BC = = = 20（m）. 【选自教材第76页 练习 第2题】 当堂检测 D 当堂检测 D 已知：在菱形ABCD中，AC,BD是两条对角线，且 AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形， A B D C O ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD. ∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD， ∴△AOB ，△BOC是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形. ∴∠ABC=90〫, 归纳 对角线相等的菱形是正方形. 通过以上证明，我们得到正方形的一个判定： 数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 返回 D 21 返回 4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为________． 22.5° 22 4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB=∠CDB； 证明　∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴∠ADB=∠CDB. 课堂练习 4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (2)当∠ADC=　　　时，四边形MPND是正方形，并说明理由.  解　当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形. 理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°， ∵∠PMD=90°，∴∠MPD=∠PDM=45°， ∴PM=MD， ∴矩形MPND是正方形. 课堂练习 1.下列说法不正确的是( ) A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.对角线相等的矩形是正方形 解析：对角线互相垂直的矩形，同时又是菱形， 对角线互相垂直的矩形是正方，故C选项说法正确，不符合题意； 由矩形的性质可知，矩形的对角线相等， 对角线相等的矩形不一定是正方形，故D选项说法错误，符合题意； 故选D. 2.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：四边形的两条对角线互相平分，该四边形是平行四边形. 四边形的两条对角线相等，该四边形是矩形. 四边形的两条对角线互相垂直， 该四边形是菱形，该四边形是正方形. 故选：D. 3．如图，在周长为16的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为(　　) A．2 B． C． D．2 $