5.1 分式及其基本性质 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第五章 分式与分式方程 北师大版(2024) 5.1 分式及其基本性质 一、教学目标 1.经历类比分数基本性质探究分式基本性质的过程，理解分式的基本性质，掌握其字母表达式，能运用性质进行分式的恒等变形. 2.理解分式约分的概念与依据，掌握约分的方法，能熟练对分式进行约分运算，规范书写变形过程. 3.理解最简分式的定义，能准确判断最简分式，会将分式化为最简分式或整式，体会类比、化归的数学思想，提升代数运算与推理能力. 二、教学重点及难点 重点：掌握分式的基本性质，熟练运用性质进行分式约分. 难点：准确找出分子、分母的公因式，理解约分的依据与符号处理，区分约分的不同步骤，确保约分彻底、结果为最简分式. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：我们知道，这两个分数相等的依据是什么？ 学生：依据是分数的基本性质. 教师追问：分数的基本性质具体内容是什么？ 【学生活动】学生独立回忆分数基本性质，在练习本上默写内容；同桌之间互相口述、纠错，小组内补充完善. 学生回答：分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，分数的大小不变. 【探究新知】 探究：分式的基本性质. 教师提问：类比分数的变形，你认为与相等吗？回顾分数的基本性质，猜一猜分式有什么性质？ 【学生活动】学生结合分数性质进行猜想，独立思考分式的变形规律；小组内展开讨论，验证猜想的合理性，梳理分式性质的核心要素. 教师总结分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变． 这一性质可以用式子表示为： ， (m≠0). 【典型例题】 例2 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）. 解：（1）因为 ，所以； （2）因为 ，所以. 教师提问：在例2（2）中，为什么 ？ 学生回答：因为当 x＝0 时，bx＝0，而分母为零，分式没有意义. 设计意图：以分数基本性质为类比起点，通过问题引导学生自主猜想、探究分式的基本性质，让学生在独立思考与小组讨论中完成知识的自主建构. 再通过典型例题，引导学生运用性质分析分式变形的依据，强化对性质的理解与应用. 例3 化简下列分式： （1）； （2）． 解：（1）； （2）. 【探究新知】 探究：分式的约分和最简分式. 教师提问：同学们，观察例 3 的两个化简过程，分子和分母都做了什么相同的操作？这样做的依据是什么？ 【学生活动】学生独立观察两个分式的变形过程，对比分子、分母的变化，结合分式的基本性质独立思考；随后在小组内交流讨论，总结操作的共同点：（1）分子分母同时约去整式 ab， （2）分子分母同时约去整式 x－1，依据是分式的基本性质. 教师讲解分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 教师提问：在对分式进行化简时，小宇和小丽出现了分歧． 小宇：. 小丽：. 对于两人的做法，你有什么看法？与同伴进行交流. 【师生活动】学生独立完成分式化简，对比小宇和小丽的两种结果，展开讨论，分析两种结果的差异，教师引导学生观察两种结果的分子、分母是否还有公因式. 教师讲解最简分式的概念：在小丽的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式. 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式. 设计意图：通过梯度化的分式化简例题，让学生在实践中掌握约分的方法与依据，深化对约分概念的理解；对比不同化简结果，引导学生辨析得出最简分式概念，明确化简需彻底，培养严谨运算习惯，完善分式化简知识体系. 教师拓展1：约分的基本步骤： (1) 若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 教师拓展2：约分的注意事项 (1) 约分前后分式的值要相等. (2) 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. (3) 约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 【课堂互动】 教师提问：(1)与有什么关系？ (2)，与有什么关系？ 【师生活动】学生独立观察分式的符号变化，结合分式基本性质分析变形规律；教师注意适时引导. 教师讲解分式的符号法则： 分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变. ，. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 (或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变． 这一性质可以用式子表示为：， (m≠0). 2.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式. 学科网（北京）股份有限公司 $