精品解析：江苏扬州市梅岭中学2025-2026学年下学期期中考试试卷八年级 数学试题

2025－2026学年第二学期期中考试试卷 初二年级数学学科 （总分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．） 1. 下列式子是分式的是（　　） A. x B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义：一般地，形如，A、B表示整式，且B中含有字母的式子叫做分式，判断即可． 【详解】解：A、x是整式，故此选项不合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的概念：把一个多项式表示成几个多项式的积的形式；根据因式分解的概念进行判断即可． 【详解】解：A、这是整式的乘法运算，故不是因式分解，选项不符合题意； B、不是几个多项式的积的形式，故不是因式分解，选项不符合题意； C、是几个多项式的积的形式，故是因式分解，选项符合题意； D、虽然是积的形式，但不是多项式，故不是因式分解，选项不符合题意； 故选：C． 3. 的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 4. 小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否等腰三角形即可． 【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，选项不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，选项不符合题意； C．根据作图痕迹可知，的角平分线与交于点F，如图， 则，由作图可知，，平分，设与相交于点M， 则，又由，则，得到， 故为等腰三角形，选项不符合题意； D．作图痕迹是作的的垂直平分线，没法证明是等腰三角形，选项符合题意． 故选：D． 5. 如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 保持不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质，可得，进而求解； 【详解】解： 根据二次根式的性质，可得， 则； 故选：D 7. 如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间距离；点分别作的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，由平行线间距离相等可知，，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知，，， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：． 8. 如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，,,,， 如图，连接， 是等边三角形． ． ． 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， 过点作交的延长线于， ， ， ，，在中， ， ．即的值为． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．） 9. 使分式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据“分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义”可得，解之即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 10. 已知的值为0，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是类比分式的值为零的条件，算术平方根的含义，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键．根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论． 【详解】解：的值为0， ， 解得：． 故答案为：2． 11. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】分子分母因式分解后约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的化简，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是解题的关键． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解． 【详解】解：． 13. 已知x+y＝2，则（x2+2xy+y2）的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵x+y=2， ∴（x2+2xy+y2）=（x+y）2=×22=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，关键要熟悉完全平方和公式． 14. 定义运算“※”：若，则的值为_______． 【答案】或10 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据新定义，分两种情况，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解． 综上所述，或10． 故答案为：或10． 15. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式的解集，理解分式方程的解为非负数，解分式方程的方法，求不等式的解集的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法用含的式子表示出的值，再根据分式方程的解为非负数，分式方程有意义，求不等式的解集的计算方法即可求解． 【详解】解： ∴， ∴关于的方程的解为， ∵解为非负数， ∴，即， 解得，， ∵分式方程有意义，即， ∴， 解得，， ∴则的取值范围是且， 故答案为：且 ． 16. 在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，推出，再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可得，，，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：由图可得：当时，，即当点的运动距离为时，的长为，  ∴当时，， 由图可得： 当时，，即当点的运动距离为时，的值最大，最大为，  ∵当点运动到和点重合时，的值最大，  ，， 在 中，，  即，  解得，  ，  ∵点为的中点， ∴ ， ∴． 18. 如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①连接，证明，进而证明根据等角对等边即可判断；②由①中结论即可判断；③连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；④由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断． 【详解】解：①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形中，， 又∵， ∴，故①正确； ②在与中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故②正确； ③如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故③不正确； ④当点G在左边时，由②得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为， 当点E与点B或点D重合时，最大，m的值最大， 此时，m的最大值为， ∵点E不与B、D重合， ∴， 当点G在右边时，同理可得上述结论，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．） 19. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先变形找出公因式，再提取公因式完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，直至不能分解为止． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式    ． 【小问2详解】 解：原式  ． 21. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选取合适的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，，时，分式无意义， 取， 当时，原式． 22. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 23. 如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点，若点表示的数为． （1）求线段的长度； （2）求的值； （3）求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理求出画弧的半径为，然后根据坐标解答即可； （2）由勾股定理求出半径，进而确定的值； （3）将的值代入计算即可． 本题考查了二次根式的乘法运算，勾股定理，实数与数轴，代数式求值，求出的值是正确解答的关键． 【小问1详解】 由勾股定理可得，画弧的半径为， 所以点所表示的数， ； 【小问2详解】 由（1）可知，； 【小问3详解】 把代入． 24. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（保留作图痕迹，写出简要的文字说明）； （2）已知，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧，交于点C，作线段的垂直平分线，交、于点D、B，连接、即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，根据直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，得出，最后根据菱形的面积公式求出． 【小问1详解】 解：如图1，菱形为所作． 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ，， 在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 即：菱形的面积为． 25. 小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【解析】 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时，  答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 26. 细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 （1）__________，__________； （2）请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； （3）求的值． 【答案】（1）6； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （3）先根据阅读材料代入，然后分母有理化，最后再整理即可解答． 【小问1详解】 解：根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． 【小问2详解】 解：阅读新定义，根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． 【小问3详解】 解： ． 27. 如图1，已知点分别是四边形各边的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． （1）如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，，，仍是的中点，求证：四边形是平行四边形； （2）如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，在格点上画出点，使点与的中点组成正方形，并利用格点在图中作出正方形； （3）在（2）条件下，求证：四边形为正方形，并求出正方形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）连接根据三角形的中位线的性质得到，，同理，，由平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质分别取边的中点，顺次连接即可得到结果； （3）根据勾股定理得到，由三角形的中位线的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：如图2，连接， ∵C，H是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图3所示， 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由作图得：点分别是边的中点， ∴， ∴，， 同理得，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形； ∵， ∴， ∴正方形的边长是， ∴正方形的周长为． 28. 在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． （1）如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； （2）已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）(1) ① ，；②；③或 （2）且 【解析】 【分析】(1) ①利用点关于直线的对称公式求出各点对称点，再判断是否在矩形内部或边上． ②先由关联点条件确定的横坐标范围，再对三边两两相等进行分类讨论，求出所有符合条件的点个数． ③以为腰包含和两种情况，分别求出的值． (2) 矩形的边上有且只有个强关联点，即矩形关于直线对称后的图形与原矩形恰有个交点在边上，通过找对称轴过矩形顶点的临界状态确定的范围． 【小问1详解】 ①解：矩形中，，，，， 直线：， 点关于的对称点为，不在矩形内， 点关于的对称点为，在矩形内部， 点关于的对称点为，在矩形的边上， 点关于的对称点为，不在矩形内， 是矩形关于直线的关联点的是，． ②解：点关于直线的对称点为， ， 点是矩形关于直线的关联点， 点在矩形的内部或边上， ，即， 点的横坐标满足，纵坐标为， 是等腰三角形，，， 当时，， ， 或（舍去）， 此时，符合题意， 当时，， ， （舍去）或， 此时，符合题意， 当时，， ， ， ， 此时，符合题意， 符合条件的点有个． ③解：由②知，当时，， 与关于直线对称， ， 当时，， 与关于直线对称， ， 的值为或． 【小问2详解】 解：矩形的顶点为，，，， 对称轴为直线， 当直线过点时， ， ， 当直线过点和时， ， ， 当直线过点时， ， ， 当时，直线与边重合，此时矩形的边上所有点都是强关联点，不符合题意， 的取值范围为且． 【点睛】新定义题首先要"翻译"定义，把对称关系用坐标公式表达出来；其次要建立参数范围，通过分类讨论或临界分析确定满足条件的参数区间；最后要注意检验边界情况，排除导致个数发生突变的特殊值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中考试试卷 初二年级数学学科 （总分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．） 1. 下列式子是分式的是（　　） A. x B. C. D. 2. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A. B. C. D. 3. 的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 4. 小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 保持不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．） 9. 使分式有意义的x的取值范围是______． 10. 已知的值为0，则___________． 11. 化简：___________． 12. 因式分解：_________． 13. 已知x+y＝2，则（x2+2xy+y2）的值为_______． 14. 定义运算“※”：若，则的值为_______． 15. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______． 16. 在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是_____． 17. 如图，在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为______． 18. 如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．） 19. 分解因式： （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 22. 解方程： （1） （2） 23. 如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点，若点表示的数为． （1）求线段的长度； （2）求的值； （3）求代数式的值． 24. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（保留作图痕迹，写出简要的文字说明）； （2）已知，求菱形的面积． 25. 小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 26. 细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 （1）__________，__________； （2）请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； （3）求的值． 27. 如图1，已知点分别是四边形各边的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． （1）如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，，，仍是的中点，求证：四边形是平行四边形； （2）如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，在格点上画出点，使点与的中点组成正方形，并利用格点在图中作出正方形； （3）在（2）条件下，求证：四边形为正方形，并求出正方形的周长． 28. 在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． （1）如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； （2）已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $