10.5分式方程导学案2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦《10.5分式方程》，核心内容包括分式方程的概念、解法及应用。课堂导入通过实际问题情境引出新知，以分式运算和一元一次方程为基础，借助课前对比辨析整式与分式方程、回忆旧知引导转化等学习支架，帮助学生构建知识脉络。 导学案以问题驱动设计课前探究活动，引导学生通过具体方程辨析形成概念，培养抽象能力。解法环节强调转化思想与验根推理过程，结合分层习题与实际问题建模，发展推理意识和模型意识，有效提升学生分析解决问题的能力。

《10.5分式方程》导学案 学科 数学 年级册别 八年级下册 共1课时 教材 苏科版八年级数学下册 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 教材分析 本节内容是在学生已经学习了分式的概念、基本性质、分式的运算以及一元一次方程等知识的基础上进行的。分式方程作为方程的一种重要类型，是刻画现实世界数量关系的数学模型。 教材首先通过具体的实际问题情境，引导学生列出含分式的方程，从而引出分式方程的概念。接着，重点探讨分式方程的解法，其核心思想是将分式方程转化为整式方程。通过去分母，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为学生熟悉的整式方程（主要是一元一次方程）来求解。 由于在去分母过程中，方程两边同乘的最简公分母可能为零，从而可能产生增根，因此验根是解分式方程必不可少的步骤。教材强调了验根的重要性及方法。最后，通过例题展示利用分式方程解决实际问题的完整过程，体现数学的应用价值。 学好本节内容，不仅能够拓展学生对方程的认识，提升解方程的技能，更为后续学习更复杂的数学模型和解决实际问题奠定基础。 课时教学目标 1.理解分式方程的概念，能准确识别分式方程。 2.掌握解分式方程的基本思路和一般步骤，能熟练运用去分母法将分式方程转化为整式方程并求解。 3.理解解分式方程时可能产生增根的原因，掌握验根的方法，并能正确验根。 4.能运用分式方程解决简单的实际问题，体会数学建模思想，培养分析问题和解决问题的能力。 教学重点、难点 重点 1.分式方程的概念。 2.解分式方程的基本思路（化分式方程为整式方程）和一般步骤。 3.运用分式方程解决实际问题。 难点 1.理解解分式方程时产生增根的原因。 2.掌握验根的方法并能准确验根。 3.从实际问题中抽象出分式方程模型，找出等量关系。 【课前预习·自主探究】 活动一：认识分式方程 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？为什么？ （1） （2） （3） （4） 分式方程是：______________（填序号） 整式方程是：______________（填序号） 你的判断依据是：________________________________________________ 尝试给分式方程下一个定义： ________________________________________________ 活动二：探究分式方程的解法 回忆：我们是如何解一元一次方程的？解一元一次方程的一般步骤有哪些？ ________________________________________________ 思考：如何解分式方程 ？ （1）为了消除分母，使方程转化为我们熟悉的整式方程，方程两边可以同乘什么？ ________________________________________________ （2）按照你的想法，将这个分式方程转化为整式方程，并求解这个整式方程。 解：方程两边同乘__________，得： ________________________ 解得： __________ （3）将 __________ 代入原分式方程检验： 左边 = __________，右边 = __________ 左边______右边（填“=”或“≠”），所以 __________ 是原分式方程的解吗？__________ 活动三：初步体验增根 解方程： （1）最简公分母是：__________ （2）方程两边同乘最简公分母，得整式方程：________________________ （3）解这个整式方程，得 __________ （4）检验：当 __________ 时，最简公分母的值为__________ 因此， __________（填“是”或“不是”）原分式方程的解，原分式方程__________（填“有”或“无”）解。 思考：为什么会出现这种情况？ ________________________________________________ 【课堂检测·巩固提升】 下列关于 的方程中，是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 解下列分式方程： （1） 解：方程两边同乘最简公分母__________，得 ________________________ 解得： __________ 检验：____________________________________ 所以，原分式方程的解是 __________ （2） 解：方程两边同乘最简公分母__________，得 ________________________ 解得： __________ 检验：____________________________________ 所以，原分式方程的解是 __________ 若关于 的分式方程 有增根，则 的值是__________。 、 两地相距 120 千米，甲、乙两人骑自行车分别从 、 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 15 千米，乙的速度为每小时 20 千米，问经过多少小时两人相遇？ 解：设经过 小时两人相遇，根据题意列方程： ________________________ 解得： __________ 答：经过__________小时两人相遇。 某工厂原计划用 13 小时生产一批零件，后因每小时多生产 10 个零件，用了 12 小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了 60 个零件，求原计划每小时生产多少个零件？ 解：设原计划每小时生产 个零件，根据题意列方程： ________________________ 解得： __________ 答：原计划每小时生产__________个零件。 【课后拓展·实践应用】 解分式方程： （1） （2） 当 为何值时，关于 的方程 会产生增根？ 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做 1 天后，再由两队合作 2 天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 ，求甲、乙两队单独完成各需多少天？ 分析过程 等量关系 设元 方程 工程问题 求解过程 检验与答 阅读下列材料： 关于 的方程： 的解是 ，； 的解是 ，； 的解是 ，； … （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于 的方程 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。 （2）利用你猜想的结论，解关于 的方程： 编一道可化为一元一次方程的分式方程应用题，并解答。 我的应用题：________________________________________________ 解答过程：________________________________________________ 答案：________________________________________________ 【参考答案】 课前预习·自主探究 活动一 1. 分式方程是：（2）（4）；整式方程是：（1）（3） · 判断依据：分母中是否含有未知数。 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 活动二 1. 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 1. （1）最简公分母为 · （2）方程两边同乘 ，得 ，解得 · （3）将 代入：左边 ，右边 ，左边＝右边，所以 是原分式方程的解。 活动三 最简公分母： 去分母得： → → → 检验：当 时，，所以 是原分式方程的解。 （注：本方程无增根，仅作为去分母练习；增根需分母为零的情况。） 课堂检测·巩固提升 1. C 1. （1）最简公分母 ，得 → → ；检验：，所以解为 。 · （2）最简公分母 ，注意 ，得 → → → ；检验：，所以解为 。 1. 增根为 ，去分母后得 ，代入 得 ，即 。 1. 方程 → → 。 1. 方程 → → 。 课后拓展·实践应用 1. （1），注意 ，去分母得 → → → → ；检验：分母为零，增根，原方程无解。 · （2），最简公分母 ，得 → → → → ；检验：分母不为零，解为 。 1. 方程化为 ，最简公分母 ，得 → → 。增根可能为 或 。 · 代入 ： → 不成立； · 代入 ： → → 。但需验证：当 时，去分母后方程是否有解？实际解为 代入原方程分母为零，故增根。所以 。 · （注意：原答案给 有误，经重新计算应为 。若原题中第二个分式为 则结果不同，此处按标准形式给出。） 1. 设乙队单独完成需 天，则甲队需 天。 · 等量关系：乙队1天工作量 + 两队合作2天工作量 = 1 · 方程： → → → → → ，经检验 是解，甲队需 天。 1. （1）猜想解为 ，。验证略。 · （2）令 ，则方程化为 ，所以 ，，即 ，。 1. 略（学生自编，合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $