广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题

2026年高三年级综合测试 数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 A C B B D C A D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD AD ACD 三、填空题 12.1 13.f(x)=1(答案不唯一)如f(x)=0,f(x)=x,f(x)=x等 264 14.1515 (前2分，后3分) 四、解答题 15.解：(1)设所求的线性回归方程为)=bx+à， x=1+2+3+4+5=3, …1分 5 万-0.5+0.7+1+13+15=l, …2分 5 (K-30y-=(-2)x(-05)+(-×03)+1x03+2x05=26, 3分 '=4+1中1+4I04 6.x-0-可 =0.26… …5分 ∑6x-2 所以a=y-bx=1-0.26×3=0.22…6分 所以)=0.26x+0.22 …7分 (2)当x=6时，y=0.26×6+0.22=1.78,则Y~N1.78,0.022)…8分 由正态分布性质，可知P(Y>1.75)>P(Y>1.76)=P(Y>-o). …9分 因为PY-川<o)=0.6827,…10分 所以PY>-）-05+P07-4o-05+06327-084135.-1分 2 2 数学参考答案第1页（共16页) 因为0.84135>25 0 12分 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天.…13分 16.解：(1)方法一：因为AB=1,AC=2,BC=V3,所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC,1分 因为PAL平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA L BC,…2分 又因为AB∩PA=AABC平面PAB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,…3分 因为PBC平面PAB,所以BC⊥PB,… …4分 所以∠PBA为平面PBC与平面ABC所成的角，… 。。。。。。。。。。。。。。。 …5分 因为PA=AB,所以∠PBA=45°， 即平面PBC与平面ABC所成角的余弦值为Y5 6分 方法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， 40,0,0.B20.C0,2.0,P00.D,… …1分 则防-(5成-(5含 。。。。。。。。。。 …2分 x+二y-E=0 -PB=0 2 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z）,则 即 2 ,…3分 n.BC=0' 33 x+2y=0 2 令x=V3,则y=1,==2,所以n=(3,1,2),… 4分 因为PA⊥底面ABCD,所以平面ABC的法向量为PA=(O,0,1), 5分 因此平面PBC与平面ABC所成角的余弦值为cos≤，P1十n,PA 2 1-pA2W2x12…6分 (2)方法一：取线段PB上的中点E,因为PA=AB,所以AE⊥PB, …7分 由(1)可知BC⊥平面PAB,AEC平面PAB,所以BC⊥AE, 8分 又因为PB∩BC=B,PBC平面PBC,BCC平面PBC,所以AE⊥平面PBC,…9分 因为AEC平面ADB,所以平面ADE⊥平面PBC,…I0分 延长DA、CB交于点G,连接GE,并延长GE交线段PC于点F,则A,E,F,D四点共面， 过点P作PH‖FG,交CB延长线于点H,…I1分 数学参考答案第2页（共16页） 因为ACFG-4CPH,所以CP CG PF HG ①… 12分 因为△BEG~△BPH,所以BE_BG2 ② 13分 PE HG HG 联立①2可得pFPE=2,即=人、 PC=3 14分 所以存在这样的点E,F满足题意，此时点E位于线段PB上的中点、点F位于线段PC上靠近点P 的三等分点 …15分 方法二g取线段PB上的中点E,因为PA=AB,所以AE⊥PB,…7分 由(I)可知BC⊥平面PAB,AEC平面PAB,所以BC L AE,…8分 又因为PB∩BC=B,PBC平面PBC,BCC平面PBC,所以AE⊥平面PBC,…9分 因为AEC平面ADE,所以平面ADB⊥平面PBC,…I0分 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， .0. 假设存在这样的点F,使得A,E,F,D四点共面，不妨设F(0,2-2b,b)其中0≤b≤1)，…11分 圆AD0.AA0,2-2b0m卫团 因为存在唯一的有序实数对(x,),使得AF=xAE+yAD 所以0,2-2五.)=x5,1,马 W5,10=5x-5x 11 -x- 4’4’2 2’2 4 2,X+二y,三)2…13月 ￥阳6x手y手时0最 …14分 所以存在这样的点E,F满足题意，此时点E位于线段PB上的中点、点F位于线段PC上靠近点P 的三等分点 …15分 方法三：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图所示， 数学参考答案第3页（共16页） .0.0..c20. 假设存在这样的点E,F, 不幼设N3a,a1-2a其中0≤a≤），R0,2-2b,b其中0≤b≤17分 则4D=9,0.证Baa1-20.AP02-2b.. …8分 -x+÷y=0 设平面ADE的法向量为=(x,y,z）,则 n.AD=0 2 .A正=0’ 即 V3a+ay+1-2a2=0 令=，则y=3=品所以m=(5.3 ……9分 因为平面ADE与平面PBC垂直，由(1)可得平面PBC的法向量为=(3,1,2)，…10分 由m小=0，可得a-京此时a武 442 ）,…11分 又因为A,E,F,D四点共面，所以存在唯一的有序实数对(x,y),使得AF=xAE+yAD 即@809490-99字 13分 4’4'2 2 2 解得b= …14分 所以存在这样的点E,F满足题意，此时点E位于线段PB上的中点、点F位于线段PC上靠近点P 的三等分点…I5分 17.解：(1)当a=0时，f(x)=tanx-2x, …1分 所以f()=1-2. …2分 COS2x (1-√2cosx)1+V2cosx …3分 cos'x 当e0孕时：cos0,令f>0,得纤 4分 2 令f(y)<0,得0<< 4 …5分 数学参考答案第4页（共16页） 故)的减区间为0，孕，增区间为受孕： 6分 (2)由f(d)+b≥0恒成立，即b≥asir+2.x-tanx, 7分 令g(x)=asinx-+2.x-tanx,则b≥g(x)ms … …8分 因为g(x)=-f(), 当a=0时，由《1)知，()在0孕上单润递增，在（经孕单调递减。 ……9分 故此时868孕子1 所以，a+b的最小值为子1： 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …10分 当a>0时，g(x)=ac0sr+2-1 cos2x' …11分 当x∈(O,时，易得g(w)为减函数， …12分 &(=2a0,x→时，8（田→ 2 由零点存在性定理得，存在受孕， 使得g(x)=0, …13分 8(x)在(0，)上单调递增，在(G,受单调递减，故此时 ggg原-9 a+-1> -1,…14分 2 2 此时a+b>-1,综上：a+b的最小值为-1.… …15分 2 18.解：(1)因为T。的两条渐近线为两条坐标轴，对称轴为y=土x,顶点坐标分别为（仁1，-1）， (们，)，实半轴长为√万，…1分 将曲线工，绕原点顺时针旋转乃得到曲线T，则T是焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为 d y=士x,实半轴长为√5， …2分 所以T的左顶点A的坐标为（√2,0： 3分 所以曲线T的标准方程为： x2 y 2 =1…4分 2 数学参考答案第5页（共16页） (2)(i)方法一： 证明：因为曲线T是曲线T,绕原点顺时针旋转乃得到，不妨设曲线T上的点A,B,C分别对应曲 1 线T。上的点A,B,C,曲线T,的方程为y=二，则A的坐标为(-1，-1)， …5分 1 设点D为A4BC的垂心，B(6,,C(飞，)，D'(x,),且5≠，6分 所以直线AB的斜率 1, …7分 k= x+1x 边4B的高所在的直线的方程为y=-x(c-飞)+】 =-Xx+xx2+二 ①…8分 同理：边AC的高所在的直线l,的方程为y=一x2x+xx2+二，②… …9分 1 x=- 因为垂心D'(x,y)同时在1，、1，上，联立①②，得 书，即y= .……10分 y=XX2 所以△4BC的垂心D在曲线T。上将曲线T,上的点A,B,C”,D绕原点顺时针旋转亚后得到 4 曲线T上对应的点分别为A,B,C,D,则△ABC的垂心D在曲线T上.…I1分 方法二： 证明：因为B、C为曲线T右支上不同的两点，设B(x,y),C(x2,y2),设△4BC的垂心为 D(x%),有x2-y2=2,x22-22=2,CD=(x-x,-y2),AB=k+√2，y) BD=(x-x,6-),AC=x2+V2,2) …5分 CD·4B=(x。-x)(x+V)+0。-y)=0恒成立，① BDAC=(x-x)x2+√2)+y(y。-)=0恒成立，② …6分 ①式两边同时乘以y,得y(x。-x)5+√2)+y(0y。-y2)=0,又因为y2=x2-2, 所以有y(x。-x,)+(3-V2)%-y2)=0恒成立. ③…7分 数学参考答案第6页（共16页） 同理，②式两边同时乘以2，化简可得y,(x。-x)+(x2-√2)。-y)=0恒成立，④ ③-④，得：（化-x)+(x-√2）-2)=0恒成立，同…8分 因为D(x,%)为△4BC的垂心， 所以有AD.CB=(x+√2)(x-x)+(y-y2)=0恒成立.⑥…9分 ⑤式两边同时乘以%，得。2(x-x2)+y,(x。-√2)01-y2)=0恒成立，⑦ ⑥式两边同时乘以(x。-√2)，得(x,2-2)(x-x)+%(x,-√2)y-y2)=0恒成立⑧ ⑧-⑦，得(x2-y,2-2(x-x)=0恒成立，…10分 当X-x,≠0时，x2-y2=2恒成立，即△4BC的垂心D(x,y)在曲线T上 当x-x,=0时，△4ABC的垂心是双曲线的右顶点，综上△4BC的垂心总在曲线T上.…11分 方法三： 证明：因为B、C为曲线T右支上不同的两点， 当BC的斜率不存在时，不妨设B(,y),C(:,乃)，则有-上=1， 22 所以BC边上的高所在的直线方程为y=0,则y=0与双曲线交于点D(W2,0, …5分 下证D√2,0为△4BC的垂心 因为DB=-V2,y,DC=k-V2,-y)AC=氏+V2,)AB=氏+√2，y) 所以DB·AC=(x-V2):+V2)-y2=x2-y2-2=0,所以DB⊥4AC DC4B=(-V2)x+√2)-y2=x2-片2-2=0，所以DC1AB 即D√2,0为△ABC的垂心，所以垂心D在曲线T右支上.…6分 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程：y=+b, 文2-21，得1-k2x2-2励x-b2-2=0, y=hx+b 数学参考答案第7页（共16页） [1-k2≠0 △=4k2b2+40-k262+2)小0 2kb [k2>1 所以有 x+x,=1-k ->0 b2+2>2k2 …7分 b2+2 XX2= 1-2>0 所以有%y=(低+b+b-B-2弘 8分 1-k2 则BC边上的高所在的直线方程为y=一 + 交双曲线右支于点D(x,y。),交左支于点 xy-1 A,联立 22 可得(2-12-22.x-2k2-2=0, y=- 所以有-2x,= 2(K2+1 ,即，= √2(2+1) -2√2k k2-1 k2-1 k2-1 √2(k2+1)-22k 即D K2-1,k2-1 …9分 下证D为△ABC的垂心. 因为DB=(K- 少会c-6 DC=(x- 2+)+22%,B=+2y 2-1+ 2-11 所以D8-4c=,+2xV2+2+ +y2+ 2V2y2 ③ k2-1 k2-1 k2-1 因为一套号-，方+.代入@，可有： b2+2 b2-2k2 DB.AC= 2v2 +55+5-0-252k） 2W2k励，2√2k励 0 k2-1 k2-1 k2-1 k2-11-k2 所以DB⊥AC, …10分 同理可得DC.AB=0,DC⊥AB, 即D为△4BC的垂心，因为k2>1, √2(k2+1) >0所以垂心D在曲线T右支上 K2-1 综上所述：△ABC的垂心D(x,y)在曲线T上.… ……11分 数学参考答案第8页（共16页） 方法四： 证明：因为B、C为曲线T右支上不同的两点， 当BC的斜率不存在时，由双曲线的对称性不妨设B(x,y),C(x,-乃)， 所以BC边上的高所在的直线方程为y=O, 4C边上的高所在的直线方程为y士V2(k-+片， y 联立可得，x=x- ￥+√2 因为点B在双曲线上，有x2-y2=2,所以x=√2， 即垂心D的坐标为√2,0，显然点D在曲线T右支上： …5分 当x=V2或x,=√2时，不妨设CN2,0,则边AC的高所在的直线方程为x=x,边AB的 高所在的直线方程为y=+V5k),联立可得y=-, y 因为左y)=1,所以D(,)在曲线T上.… ……6分 2 当BC的斜率存在时，设B(x,y),C(x2,y2),且x≠√2，x,≠√2， xy 设直线BC的方程：y=+b,联立22=1，得1-kK-2x-b-2=0, y=kx+b 1-k2≠0 △=4k2b2+41-k2b2+2>0 2kb k2>1 所以有X+=1>0 7分 b2+2>2k2 b2+2 XX2= 1-22>0 数学参考答案第9页（共16页） 所以有=(+b十)=2张 …8分 1-k2 所以4B边上的高所在的直我方程为y=+5(x-片 ① 出 4C边上的高所在的直线方程为y=七正(k-+y ② y2 设垂心D的坐标为(x,yo),联立①、②， 得 +2+2 k+回stD+-) …9分 即垂心D的横坐标飞=丛店+X士V万g-2丛 (x+√2)-y,(:+V2) -(+b),+√2)-x,(,+b)x+V2)+k(x-x)My (x+b)x,+V2)-(x,+b)(:+V2) _G-xx+V2(+x)+√2b+y2 (x1-x2)W2k-b) 所以x。= √2W2k-bk2+1√2(k2+1 …10分 (1-k2b-√2k)k2-1 又因为垂心D(:)必然在BC边上的高所在的直线方程y=- 长+ 所以y= -2W2k 即有x,2-2 V2k2+1 -2W2k 2 2k2-1 =2 k2-1 k2-1 k2-1 (k2-1} 因为k2>1,所以x。三 √2k2+1) >0,即垂心D在曲线T: x y =1的右支上. k2-1 2 2 综上所述：△ABC的垂心D在曲线T上 …11分 (ii)方法一 证明：由(i)可知，曲线T上的点A,B,C,D分别对应曲线T,上的点A,B,C,D',有 (1-1).B'(x,).C(,),44BC的垂心D(,x）在曲线3上，则D关于原 Xx 点的对称点E（- 一，一xX2)也在曲线T。上… …12分 X 1 由双曲线的对称性，不妨设点B在直线AC的上方，E在直线AC"的下方，因为x≠x2≠ xX2 数学参考答案第10页（共16页） 所以直线4丹，4E,CBCE的斜率都有在即k=,=,长= Xx2 kgg,=X1,…13分 1+x 当，≠1时，所以tan∠BAE=kg-k42=五T 1+x1x2 1+kA3k4g:1-1 x(1-x2) 1 tan∠B'C'E' -2=五=-1+5s …14分 1+sg1-1x0-x) xx2 即有tan∠BAE+tan∠B'C"E=0,所以∠B'A'E+∠BCE=π 所以A,B,C,E四点共圆.… …15分 当=1时，()，所以B=(G+1+,E=(+1-+》. 所以B.正=（飞+1(1+1）+(+0（飞+）=0，所以万L石16分 X 同理：可得C"B⊥C"E,即∠BAE'+∠B'CE=π，所以A,B,C,E四点共圆 将点A,B,C,公绕隙点顺时针旋转牙后得到球对应的点分别为AB,CB, 则A,B,C,E四点共圆…17分 方法二 证明：由()可知，点D在双曲线T右支上，因为双曲线T的图像关于原点中心对称，E为D 关于原点的对称点，所以点E在双曲线T的左支上 当BC的斜率不存在时，不妨设B(x,y),C(x,y),此时垂心D的坐标为N2,0,则D关于原 点的对称点E与点A(-√2,0)重合.因为△ABC存在外接圆，所以A,B,C,E四点共圆. …12分 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=+b, 由双曲线的对称性，不妨设点B在直线AC的上方，点E在直线AC的下方，则此时AB,AE,CE 数学参考答案第11页（共16页） 的斜率都存在，设点D(x,y),点E(仁x,), 因为点D为垂心，且)-今=1，所以kak如二、。 22 6+V5-1,即k4-h。-1 x+5E, 又因为kkA=出。 为三人2-引，即k4=-k=-kes1B分 七+V2-V2+xx,2-2 x2=1 因为22 ，所以x2-x2=y2-62, 22 圆为kkaL,Kk如式+式王，所以s4分 当kABk=-1时，此时有kck=-1,即AB⊥AE,CB⊥CE,所以∠BAE+∠BCE=π 则A,B,C,E四点共圆；… …15分 当kaka*-1时，即无ck≠-1，此时有tan∠B4B=无a-k短=飞：+飞 1+kaskas 1-kaak tan∠BCE=kg-ks=- 1+ksk=-1产k6k,则n∠BAE+an∠BCE=0,16分 kas+k 即∠BAE+∠BCE=π，则A,B,C,E四点共圆， 综上所述：A,B,C,E四点共圆.…17分 方法三 证明：由()可知，点D在双曲线T右支上，因为双曲线T的图像关于原点中心对称，E为D 关于原点的对称点，所以点E在双曲线T的左支上 当BC的斜率不存在时，不妨设B(x,y),C(x,乃)，此时垂心D的坐标为N2,0,则D关于原 点的对称点E与点A(-√2,0)重合.因为△ABC存在外接圆，所以A,B,C,E四点共圆 ……12分 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=+b, 由双曲线的对称性，不妨设点B在直线AC的上方，点E在直线AC的下方，则此时AB,AE,CE 数学参考答案第12页（共16页） 的斜率都存在，设点D √2(k2+1)-22k k2-1?k2-1 22k √2(k+1)2V2k 则E k2-1 k2-12-1 √2(k2+D+ -=-k=-kc,…13分 k2-1 22k -y2 因为ka= k2-1 V2(k2+1) k2-1 一X2 2V√2k 则kAB十ks= 21为 2√2k-y(k2-1) x+√2V2(k2+) x+√2V2(k2+)+k2-1)x, k2-1 =2k2+1)+k2-Dx}G+22k-(-)] (x+√2)N2(k2+1)+k2-1)x, √2k2+100y+2)-2W2y2+(k2-10(x2+x2y)-2√2-4k (+V②)N2(k2+1)+(k2-0x,] 因为片+乃=6+)+2b=,2b 4k 1,y+x水=2+b+3)=A 2+0 2b 代入得：kAB+kcs= z-2V2(x+x)-2V2b (x+V2)W2(k2+1)+(k2-1)x, 2W2bk2+1)-2k2-1-k2)] +kcs=2)N2(k+1)+D*: =0 所以kAa=-kg …15分 当KAk=-1时，此时有k:ck=-1,即AB⊥AE,CB⊥CE,所以∠BAE+∠BCE=元 则A,B,C,E四点共圆； ……16分 当ksks≠-1时，即飞ckea≠-1，此时有tn∠B4B=无-无-本aB+飞 1+kaskas I-kagk' tan∠BCE=keg-ke-飞a+k 1+kcgkcB 1-kask ,则tan∠BAE+tan∠BCE=0, 即∠BAE+∠BCE=π，则A,B,C,E四点共圆. 综上所述：A,B,C,E四点共圆… …17分 19.解：(1)(i)5、7、11、13… …4分 (i)设m=an·3”+an-13m-1++a232+43+ao,其中a∈{0，l,2},i∈N,1≤i≤n 数学参考答案第13页（共16页） 则s(m）-4, …5分 f=0 因为31+2=0n31+an13”+…+233+g32+a。3+2,…6分 所以S(3m+2)=∑a+2=S(m)+2, …7分 =0 同理，91+4=0.38+2+013+1+…+a,34+432+a32+3+3°，…8分 所以S(9m+4)-4+2=S(m)+2,所以S(3+2)=S(9m+4). …9分 (2)因为4T2-b+2mb,-m2=0,所以4T2=b-2mb。+m2,即(2T)2=(b,-m2, 由数列{b}为正项数列，则Tn>0,所以2江=b。一列…10分 又因为meN,m≤80，则m>0, 所以2T。=2(6+b,++b)≥bn>b,-m,所以2Tn=m-b,(n∈N) …11分 则X=m-6(u≥2)，两式作差得么6(m22), 又因为-么-学所以级，}是以智为首项。专为公比的等比数列，可得么- 12分 方法一： 因为m≤80，设m=33x,+32x2+3x+3°x。(x,x,x,5∈{0,12})， m+l++2 3x,+33+3x+。+1+ 3+32x2+3x++2 3 3 =232x+23x2+2x+ 当x。=0时， +1, +2 3L3」 当。=1时， x+1「。+2] =1, 33 当=2时， x+1, +2 13 =2 3 所以 x。+1, x+2 3" 3 x0,即+ =232x+23x2+2x+x);…13分 数学参考答案第14页（共16页） ++引翠引罗+到 33x,+32x2+3(x+1)+x 33x+32x2+3(x+2)+x 32 3 =23x+2x2十 3(:+1)+ 3(x+2)+x 32 32 3(x+1)+x 3(x+2)+x。「 当x=0时， 3+X0 6+x =0 32 32 32 32 3(x+1)+ 当=1时， ,「3(x+2)+x0 6+x 9+x 三1， 3 32 32 32 当x=2时， 3(x+1)+x 3(x+2)+x 12+x0 32 32 32 32 所以 3(x+1)+x 3(:+2)+x 32 32 .…14分 同理可得 +引+ ………15分 21m 所+写引+引 ++++引++ =(232x+23x2+2x+x)+(23x+2x,+x)+(2x+x)+x =(2.32+23+2+1)x3+(23+2+1)x2+(2+1)x+x =33x3+32x2+3x+x0=m.证毕… …17分 方法：上接6 对任意实数x,记x=飞+f,其中飞=[x],0≤f<1 当0s<写，时.+r+引++话 数学参考答案第15页（共16页） 时/创1内小}国s 3号71B时3+2.4+刊+2 故时ǔ安数x,红有B时内+引 x引-网间 …15分 代入x=6·利6+色+到引=6-6 取正整数W满足3>m,则 .4.a6+, .[D[m, 当W→m, }0,做6+写+=，将E…v分 数学参考答案第16页（共16页）2026年高三年级综合测试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑。 1.复数(2-)2的实部为 A.3 B.-3 C.2 D.-2 2.已知集合A=0,12,B=2∈小，则An8= A.0) B.{2 C.{0,2分 D.{4,2 3.等差数列{a,}的前n项和为Sn,已知4+a,+4=24,则S,= A.64 B.56 C.38 D.8 4.设a,B为两个不同平面，1为一条直线，则α‖B的充分条件可以是 A.1川la,1川B B.ILa,1LB C.Ica,IllB D.1⊥a,lIB 5.已知对于任意的x≠+：，kZ,都有mx= 2 2x成立，则a= a+cos2x A.-1 B.0 c D.1 6.已知函数y=f()的图象如图所示，则其导函数y='(x)图象可以是 1椭图等+长=o>0>0的左，右焦点为R,R,0为坐标原点，P为椭圆上-点，O=5。 且PRFEPF成等比数列，则椭圆的离心率为 C.② 2 3 高三数学第1页（共4页） 8.已知f(x)=x2+(x-m)l血x,若fx)21恒成立，则m= A.0 B.1 C.e D.3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，请把正确选项在 答题卡中的相应位置涂黑. 9.若a,6为单位向量，且ā在i上的投影向量为上6，下列说法正确的是 2 人丽峡号 B.(a+i⊥(a- c.a+62 D.la-BE1 10.某数学建模活动小组为了测量山脚下4，B两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型， 该模型中CD与水平面ABC垂直.在已知山高CD的情况下，在山顶D处测得下列四组角中的一 组角的度数，其中能唯一确定A,B两点间距离的是 A.∠ADC,∠BDC,∠ADB B.∠ADC,∠ADB,∠ACB C.∠BDC,∠ADB,∠ACB D.∠ADC,∠BDC,LACB 11.若直线y=:+b与曲线y=e相交于不同两点A(,),B(名，)，曲线y=e在A,B点 处的切线交于点P(,%,设P的斜率为片，BP的斜率为，则 A.b=0时，k>e B.2x=为+x3 11、2 C.0<<e D.飞kk 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡的相应位置上 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上.若MF上2，则M到y轴的距离为 13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数(x): ①f（xx)=f(x)/(3):②任意xeR,都有f'()20:③f()是偶函数 14.为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡， 己知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设X为打卡完某一类所有景点需要的天数， 则X=3的概率为 ,X的期望E(X)= 高三数学第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内， 超出指定区域的答案无效， 15.(本小题满分13分) 为探素“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务 日参与情况的常态化统计机制.下表是课程开设后前5个月的数据，其中x表示月份编号，y表示 该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）， 月份编号x 2 日平均参与人数y(单位：万人) 0.5 1.3 1.5 (1)已知y与x之间线性相关，求y关于x的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿 服务的学生人数： (2)假设第6个月（按30天计）的日参与人数y(单位：万人)服从正态分布N4,0.02),并 视(1)所求第6个月的日平均参与人数的预测值为“的值，预测该月份日参与人数超过1.75万 人的天数是否不少于25天 附：①对于一组数据(4，)=1,2,3，…，川，其回归直线=m+的斜率 4-g-)w-m =上 a=v-证.②若X-N(4,o2),则P0X-4sσ)=0.6827 2u- 2- 16.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面MBCD,PA=AB=AD=L,BC=CD=V5,AC=2. (1)求平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值： (2)已知E,F分别为线段PB,PC上的动点，是否存在这样的点E,F,使得A,E,F,D四点共面、 且该平面与平面PBC垂直？若存在，请确定点E,F的位置：若不存在，请说明理由 高三数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 设a为排换实数，函数f=如r-ir-2x,x∈(0， (1)当a=0时，求f:)的单调区间： (2)若f(x)+b20恒成立，求a+b的最小值. 18.(本小题满分17分) 己知反比例函数y=二的图象，是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线T,绕原点顺时 针旋转二，得到曲线了，设曲线T的左顶点为4。 (1)求A的坐标及曲线T的标准方程： (2)若B,C为曲线T右支上不同两点，D为△4ABC的垂心，E为D关于原点的对称点，证明： ()点D在曲线T上： ()A,B,C,E四点共圆. 19.(本小题满分17分) 进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满十进一，就是十进制：满三进一， 就是三进制：满二进一，就是二进制：·：满几进一，就是几进制”，记十进制下的自然数m在 三进制下的表示为a,44440,则m=243,其中4∈0,12斗，2≠0，例如十进制 数19=2x32+0×3+3°，所以19在三进制下可写为201g· (1)设正整数m在三进制下的各位数字之和S(m)=4,+a+a,+4+…+a: ()将满足S(m)=3的正整数m从小到大排成一列，写出该列数的前四个数： (i)证明：S3m+2)=S9m+4): (2)已知正整数m≤80，设正项数列{6，}的前n项和为T,且4T,2-b+2mb,-m2=0, neN,证明：】 ++引 (其中[x表示不大于x的最大整数) 高三数学第4页（共4页）