4.3 公式法 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦公式法因式分解，通过引导学生观察平方差、完全平方类多项式特征，从整式乘法正向计算到逆向变形，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理公式法与提公因式法的综合运用脉络。 资料亮点在于以“互逆”思想为主线，让学生自主探究归纳公式结构，培养抽象能力与创新意识，结合正方形剪角面积计算实例，渗透模型意识与应用意识，强化“一提二套三检查”步骤，帮助学生理解公式本质，助力教师高效开展分层教学。

第四章 因式分解 北师大版(2024) 4.3 公式法 一、教学目标 1.经历观察平方差、完全平方类多项式特征的过程，理解公式法因式分解的意义，能准确识别适合运用平方差公式、完全平方公式因式分解的多项式，规范完成因式分解. 2.掌握提公因式法与公式法的综合运用技巧，能先提取公因式再运用公式法分解因式，会处理首项系数为负及含整体因式的综合变形问题. 3.体会“互逆”“化归”及“整体代换”的数学思想，提升代数推理与综合变形能力. 二、教学重点及难点 重点：掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能熟练运用公式法进行因式分解. 难点：准确识别公式的结构特征，尤其是含负系数、整体因式的平方差、完全平方式；综合运用两种方法解决复杂变形问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：平方差公式法. 教师提问：请计算下列三组整式乘法，观察结果的形式，说说它们有什么共同特征？ (1) (x+5)(x－5)；(2) (3x+y)(3x－y)；(3) (3m+2n)(3m－2n). 【师生活动】学生独立快速计算，将结果写在练习本上；小组内交流对比三个结果，讨论共同特点；教师巡视课堂，引导学生聚焦“平方差”结构. 答案预设： (1) x2－25；(2) 9x2－y2；(3) 9m2－4n2. 只有两项，符号一正一负，结果都是两个单项式（或数）的平方差. 教师追问：现在请把这三个结果逆过来变形，写成两个整式乘积的形式，你能完成吗？完成后观察左右两边的结构关系. x2－25=___________；9x2－y2=___________；9m2－4n2=___________. 【学生活动】学生根据整式乘法逆运算独立填空，同桌之间相互核对答案、讲解思路；在小组内总结“两项式、平方差、可分解”的规律，用自己的语言描述变形依据. 教师：观察这些式子有什么共同特征？ 学生回答：左边：是两数的平方差的形式；右边：是两数之和与两数之差的积. 教师总结：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. a2－b2=(a+b)(a－b). 注意：“两个数”指的是 a，b，而不是 a2，b2，其中 a，b 可以是单项式，也可以是多项式. 如 (x＋2)2－4y2＝(x＋2)2－(2y)2＝(x＋2＋2y)(x＋2－2y). 设计意图：从正向计算到逆向变形，让学生自主探究、归纳平方差公式的结构特征，自然理解概念，深度渗透互逆思想，让学生理解公式来源而非死记硬背. 【典型例题】 例1. 把下列各式因式分解： （1）； （2）. 解：（1）； （2）. 例2. 把下列各式因式分解： （1）； （2）. 解：（1） ； 教师点拨：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解. （2） . 设计意图：通过因式分解例题，引导学生熟练掌握平方差公式的结构特征与直接应用，强化“先提公因式、再用公式、分解彻底”的解题规范. 【课堂互动】 教师提问：如图，在一张边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 当 a＝3.6，b＝0.8 时，剩余部分的面积是多少？ 【学生活动】学生独立分析图形，用两种方法表示剩余面积并建立平方差等式；代入数值时选择因式分解形式简便计算，同桌核对结果并交流简便算法的优势. 答案预设： 根据题意，得剩余部分的面积为 (a2－4b2) cm2. 当 a＝3.6，b＝0.8 时， a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) ＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8) ＝5.2×2 ＝10.4. 即此时面积为 10.4 cm2. 【探究新知】 探究：完全平方公式法. 教师提问：先完成下列整式乘法计算，再根据结果进行逆变形填空，对比两组式子，观察完全平方式的结构特征. 1.计算下列各式： (1) (x＋2)2＝___________， (2) (2x＋1)2＝__________， (3) (x－3)2＝____________， (4) (3x－1)2＝____________. 2.根据上边算式填空： (1) x2＋4x＋4＝____________， (2) 4x2＋4x＋1＝____________， (3) x2－6x＋9＝____________， (4) 9x2－6x＋1＝_____________. 【师生活动】学生独立完成计算与逆变形两组练习；小组内对比讨论，归纳完全平方式的特征；教师引导学生区分和与差的形式，完善公式结构. 答案预设： 1.(1) x2＋4x＋4；(2) 4x2＋4x＋1；(3) x2－6x＋9；(4) 9x2－6x＋1. 2.(1) (x＋2)2；(2) (2x＋1)2；(3) (x－3)2；(4) (3x－1)2. 教师总结：两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 设计意图：通过互逆变形练习，让学生自主建构完全平方公式，直观理解公式结构，降低识别难度，强化“因式分解与整式乘法互逆”的核心认知. 【典型例题】 例3. 把下列各式因式分解： （1）；（2）. 解：（1）； （2） 例4. 把下列各式因式分解： （1）；（2）. 解：（1）； （2） 设计意图：依托由浅入深的因式分解题型，帮助学生精准把握完全平方公式的结构特点，熟练掌握公式法的直接应用与综合运用；强化提公因式、符号处理、分解彻底等关键步骤，培养学生规范运算、严谨推理的代数素养. 教师拓展：因式分解的一般步骤： 一提——看有无公因式，若有，则提取公因式； 二套——考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； （注：若不能直接套用公式，则可经适当变形后整理成能用公式法的形式，再进行因式分解） 三检查——检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2.完全平方公式法：两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 3.公式法：根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 学科网（北京）股份有限公司 $