4.3公式法（第二课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.3公式法（第二课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》八年级下册第四章因式分解第 3 节第二课时，是公式法因式分解的延续拓展课，核心内容为推导并掌握因式分解的完全平方公式，识别完全平方式的核心特征，能运用完全平方公式对基础型、变形型完全平方式进行因式分解，能结合提公因式法、平方差公式法进行 “先提后套、套后再套” 的综合因式分解，完善公式法因式分解的知识体系。 （二）教学内容解析 本节课是在整式乘法完全平方公式、平方差公式法因式分解及提公因式法基础上的学习，实现了完全平方公式从整式乘法正向运算到因式分解逆向应用的思维转化，也是因式分解基本方法的收尾课，后续将进入因式分解的综合应用阶段。 因式分解完全平方公式的本质是整式乘法完全平方公式的逆用，整式乘法中(a±b)2=a2±2ab+b2，逆向变形即为因式分解的完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2。其核心是识别多项式的 “完全平方式” 特征，将多项式转化为两个整式和（差）的平方形式，再套用公式分解。 本节课的核心内容包括：1. 推导因式分解的完全平方公式，理解其与整式乘法完全平方公式的互逆关系；2. 识别完全平方式的特征（三项式、两平方项同号、中间项为两平方项底数乘积的 2 倍）；3. 掌握完全平方公式因式分解的步骤，能对系数变形、字母高次幂的变形型完全平方式进行分解；4. 能运用 “先提后套、套后再套” 的思路进行综合因式分解。本节课以 “旧知逆推 — 公式推导 — 特征识别 — 方法应用 — 综合拓展” 为研究主线，深化逆向思维、整体思想和化归思想，让学生形成 “提公因式法为先，公式法为辅，能套尽套” 的因式分解整体思路。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 教学重点：因式分解完全平方公式的推导与应用；识别完全平方式的核心特征；运用完全平方公式进行因式分解。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1能推导因式分解的完全平方公式，明确其与整式乘法完全平方公式的互逆关系，能准确表述公式a2±2ab+b2=(a±b)2的形式和含义。 （2）能准确识别完全平方式的核心特征：三项式、有两个整式的平方项且符号相同、中间项为两平方项底数乘积的 2 倍（或其相反数）。 （3）能熟练运用完全平方公式对基础型、系数变形型、字母高次幂型的完全平方式进行规范因式分解，掌握 “判特征 — 定底数 — 套公式 — 验结果” 的分解步骤。 （4）能结合提公因式法、平方差公式法进行综合因式分解，遵循 “先提公因式，再套公式，能继续分解则分解” 的原则，确保分解结果最简。 （5）经历完全平方公式从整式乘法到因式分解的逆推过程，培养逆向思维、抽象概括和代数式变形能力，强化逻辑推理能力，感受数学公式的互逆性和知识的整体性。 （二）教学目标解析 （1）学生能通过整式乘法完全平方公式逆向推导，得出因式分解的完全平方公式，清晰理解二者 “积化和差” 与 “和差化积” 的互逆关系，能准确书写公式并阐述公式中a、b的广义含义（可代表单项式、多项式）。 （2）学生能根据 “三项、两平方同号、中间项为 2 倍底数积” 的核心特征，快速判断一个多项式是否为完全平方式，对易混淆多项式（如a2+ab+b2、a2−2ab−b2）能准确判断并说明理由，判断准确率达 90% 以上。 （3）学生能将系数、字母高次幂的多项式转化为标准完全平方式（如4x2+12x+9=(2x)2+2⋅2x⋅3+32、x4−2x2y2+y4=(x2)2−2⋅x2⋅y2+(y2)2），熟练套用完全平方公式分解，分解步骤规范、结果准确。 （4）学生能形成综合因式分解的思路，对既有公因式又符合完全平方特征的多项式先提公因式，对分解后仍可套用平方差公式的多项式继续分解，做到分解彻底。 （5）学生能在公式逆推和应用过程中，进一步强化逆向思维，在多项式变形和特征识别中提升代数式变形能力，在综合因式分解中培养逻辑推理和整体思维能力，感受因式分解方法的连贯性和实用性。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已熟练掌握整式乘法的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，能运用公式进行整式乘法运算；理解因式分解与整式乘法的互逆关系，已掌握提公因式法和平方差公式法因式分解；具备基本的代数式变形能力，能将系数、字母高次幂转化为整式的平方形式（如9x2=(3x)2）；能进行整式的加减、合并同类项等操作，为本节课完全平方公式法因式分解奠定了知识和能力基础。 （二）认知发展特点 八年级学生已具备一定的逆向思维能力，能理解平方差公式的逆用，为完全平方公式的逆用做好了思维铺垫；能根据具体实例总结多项式的特征，但对完全平方式 “三项、两平方同号、中间项为 2 倍底数积” 的抽象特征需要结合实例强化；能完成基础的公式套用，但对含系数、高次幂、中间项为相反数的变形型完全平方式，在转化为标准形式时需要教师指导；已形成 “分解结果要最简” 的意识，能进行简单的 “先提后套” 操作，但对 “套后再套” 的综合分解思路需要进一步培养。 （三）潜在学习困难 公式逆用与特征识别障碍：对完全平方公式的逆用不熟练，易混淆公式的左右两边；无法准确识别完全平方式的核心特征，尤其忽略 “两平方项同号” 和 “中间项为 2 倍底数积” 的要求。 变形转化困难：对含数字系数、字母高次幂的多项式，无法正确转化为标准完全平方式（如将4x2+4x+1误写为(4x)2+2⋅4x⋅1+12）；对中间项为两平方项底数乘积相反数的多项式（如a2−6ab+9b2），不会正确套用差的完全平方公式。 综合分解疏漏：对既有公因式又符合完全平方特征的多项式，直接套用公式忽略提公因式；对分解后仍可继续分解的多项式（如(x2+1)2−4x2），分解不彻底，未做到 “能套尽套”。 公式中a、b的理解局限：将公式中的a、b仅理解为单个字母，无法将其拓展为单项式、多项式，对含多项式的完全平方式（如(x+y)2+2(x+y)+1）无法正确套用公式。 易与平方差公式混淆：在综合因式分解中，无法根据多项式特征正确选择平方差公式或完全平方公式，出现公式套用错误。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为： 教学难点：识别完全平方式的核心特征，尤其是中间项的判断；将变形型多项式正确转化为标准完全平方式；理解公式中a、b的广义含义；掌握 “先提后套、套后再套” 的综合因式分解思路。四、教学策略分析 （一）教学方法 采用 “旧知逆推法 + 特征归纳法 + 问题驱动法”为主，结合 “示范引领法”“讲练结合法”“对比辨析法”“纠错反思法” 开展教学。以整式乘法完全平方公式和平方差公式法因式分解为切入点，通过逆向推导得出因式分解的完全平方公式；通过具体实例引导学生观察、归纳完全平方式的核心特征，形成识别方法；通过问题驱动引导学生思考多项式变形、综合分解等难点问题；教师规范示范基础型、变形型、综合型例题的分解步骤，重点突破变形转化和综合分解难点；通过平方差公式与完全平方公式的对比辨析，让学生准确选择公式；通过讲练结合，让学生在实操中巩固公式应用；通过典型错题展示，引导学生纠错反思，规避认知误区。 （二）学习方法指导 引导学生采用 “逆推探究法”“特征识别法”“四步分解法”“综合分解法”学习。从整式乘法完全平方公式逆向推导因式分解公式，理解公式的互逆本质；通过 “看项数、看平方、看中间项” 三步识别完全平方式特征；遵循 “判特征 — 定底数 — 套公式 — 验结果” 的四步分解法，规范因式分解操作；对综合型多项式，采用 “先提公因式→再套公式→检查是否能继续分解→验结果” 的思路，确保分解彻底。 （三）教学手段 借助多媒体课件、完全平方公式对比卡片、完全平方式特征识别清单、公式选择对比表、典型错题展示卡等教具辅助教学。利用课件展示完全平方公式正逆变形过程，直观呈现互逆关系；利用对比卡片区分整式乘法和因式分解的完全平方公式，强化公式记忆；利用特征识别清单（项数、平方项、中间项）帮助学生快速判断完全平方式；利用公式选择对比表，让学生根据多项式特征选择平方差或完全平方公式；利用错题展示卡，呈现特征识别错误、变形错误、公式套用错误、分解不彻底等典型错误，引导学生分析原因，突破难点。 五、教学过程分析 （一）复习引入 核心旧知回顾：以 “提问 + 小练” 的形式梳理前置知识，强化基础：① 提问：整式乘法的完全平方公式是什么？因式分解与整式乘法的关系是什么？平方差公式法因式分解的多项式特征是什么？② 小练：运用完全平方公式计算：① (2x+3)2；② (m−4n)2。（答案：① 4x2+12x+9；② m2−8mn+16n2）强调：完全平方公式的正向运算为 “两个整式的和（差）的平方，等于这两个整式的平方和加（减）它们乘积的 2 倍”。 公式逆推，引出新知：针对小练结果提出逆向问题：“我们能把4x2+12x+9、m2−8mn+16n2还原成两个整式和（差）的平方形式吗？结合因式分解与整式乘法的互逆关系，你能由(a±b)2=a2±2ab+b2推出什么结论？” 引导学生逆向推导得出：a2±2ab+b2=(a±b)2。 揭示课题，明确目标：教师总结：“这个逆向推导的公式就是因式分解的完全平方公式，也是公式法因式分解的另一种重要形式。” 明确课题 ——《4.3 公式法（第 2 课时：完全平方公式）》，提出学习目标：掌握完全平方公式因式分解的方法，能识别并分解完全平方式，能进行因式分解的综合应用。 设计意图：通过复习整式乘法完全平方公式和因式分解的互逆关系，为公式逆推搭建知识桥梁；通过逆向问题驱动，引导学生自主推导因式分解的完全平方公式，实现正向思维到逆向思维的转化；回顾平方差公式法，为后续公式选择和综合分解做好铺垫，自然引出新课。 （二）主动参与、感悟新知 计算： (1)(m－4n)2＝________；(2)(m＋4n)2＝________； 反过来(1)________＝(m－4n)2；(2)________＝(m＋4n)2. 以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？ 在上面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式？ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 归纳： 1．由【课堂引入】我们发现，根据完全平方公式可以把某些多项式分解因式．根据因式分解与整式乘法的关系，利用乘法公式将某些多项式因式分解的方法统称公式法． 2．在a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2中，形如a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式． 议一议：下列各式能用完全平方公式分解因式吗？如果能，把它分解出来；如果不能，请说明理由． (1)a2－4a＋4；(2)x2＋4xy＋4y2＋16； (3)4a2＋2ab＋b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9. 学生认真观察、比较，得出能够用完全平方公式分解的式子特征． 师生活动：通过议一议让师生归纳完全平方式的特征． 1．必须是三项式(或可以看成三项的)； 2．有两个同号的平方项； 3．有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)． 简记口诀：头平方，尾平方，乘积2倍在中央． 例1　(教材例题)把下列完全平方式因式分解： (1)x2＋14x＋49；　　　(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：(1)原式＝x2＋2×7x＋72 ＝(x＋7)2. (2)原式＝[(m＋n)－3]2 ＝(m＋n－3)2. 例2　(教材例题)把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；　　(2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)原式＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. (2)原式＝－(x2＋4y2－4xy) ＝－(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝－(x－2y)2. 练习： （1） （2） （3） （4） （三）课堂总结 （1）知识梳理，体系构建：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识，整合因式分解的基本方法： （2）完全平方公式法因式分解→公式推导（整式乘法完全平方公式逆推）→公式形式→完全平方式特征（三项、两平方同号、中间 2 倍积）→分解步骤（判特征 — 定底数 — 套公式 — 验结果）→综合因式分解思路（先提公因式→再套公式（平方差 / 完全平方）→检查是否能继续分解→验结果）→结果要求：最简（所有因式都不能再分解）。 （3）方法总结，整体思路：总结因式分解的一般思路，让学生形成完整的解题流程： 一提（提公因式，有公因式先提）→二套（套公式，根据多项式特征选择平方差或完全平方公式）→三查（检查每一个因式，能继续分解则分解，直至彻底）→四验（整式乘法展开验证结果正确性）。 （4）思想提炼，素养深化：提炼本节课及因式分解章节渗透的核心数学思想： ① 逆向思维思想：公式法均为整式乘法公式的逆用； ② 整体思想：将多项式看成一个整体作为公式中的a或b； ③ 化归思想：将变形型、综合型多项式转化为基础型多项式，将未知转化为已知； ④ 分类讨论思想：根据多项式特征分类选择提公因式法或公式法，选择平方差或完全平方公式。 （5）易错点回顾，规避误区：强调因式分解的核心易错点，让学生重点关注： ① 未先提公因式，直接套用公式； ② 无法准确识别多项式特征，公式套用错误； ③ 变形转化时底数确定错误，尤其是系数和高次幂的变形； ④ 分解后未检查，分解不彻底； ⑤ 符号处理错误，尤其是首项为负的多项式。 （6）知识延伸，衔接后续：教师总结：“至此，我们已经学习了因式分解的两种基本方法 —— 提公因式法和公式法，后续我们将学习因式分解的综合应用，运用因式分解解决代数式求值、简便计算、解方程等实际问题，感受因式分解的实用价值。” 设计意图：思维导图的知识梳理，让学生整合提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法，形成完整的因式分解知识体系；因式分解一般思路的总结，让学生形成系统的解题流程，提升综合解题能力；数学思想的提炼，深化学生的数学核心素养；易错点回顾让学生规避后续解题中的认知误区；知识延伸为因式分解的综合应用做好铺垫，让学生明确知识的应用方向，感受因式分解的实用性。 （四）布置作业、巩固提高 1.下列式子：①－x2－xy－y2②0.5a2－ab＋0.5b2 ③－4ab－a2＋4b2④4x2＋9y2－12xy ⑤3x2＋6xy＋3y2.其中能用完全平方公式分解因式的有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.要使多项式x2＋M＋2x能运用完全平方公式进行分解因式，整式M可以是( A ) A.1 B.－1 C.－2x＋4 D.－2x－4 3.已知x－y＝－4，则多项式x2－xy＋y2的值为( C ) A.4 B.6 C.8 D.10 4.若a＝2 019x＋2 020，b＝2 019x＋2 021，c＝2 019x＋2 022，则代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：∵a＝2 019x＋2 020，b＝2 019x＋2 021，c＝2 019x＋2 022， ∴a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1， 则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc ＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc) ＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)] ＝[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]， 当a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1时，原式＝×(1＋4＋1)＝3. 5.因式分解： (1)4x3y＋4x2y2＋xy3； (2)a2－b2－c2＋2bc； (3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2； (4)4(x＋y)2＋25－20(x＋y)； (5)x4－18x2＋81； (6)(x2－1)2－6(x2－1)＋9； (7)利用因式分解简化计算：2002－400×199＋1992. 解：(1)4x3y＋4x2y2＋xy3 ＝xy(4x2＋4xy＋y2) ＝xy(2x＋y)2； (2)a2－b2－c2＋2bc ＝a2－(b2－2bc＋c2) ＝a2－(b－c)2 ＝(a＋b－c)(a－b＋c)； (3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2 ＝[2＋3(x－y)]2 ＝(2＋3x－3y)2； (4)4(x＋y)2＋25－20(x＋y) ＝[2(x＋y)－5]2 ＝(2x＋2y－5)2； (5)x4－18x2＋81 ＝(x2－9)2 ＝(x＋3)2(x－3)2； (6)(x2－1)2－6(x2－1)＋9 ＝(x2－1－3)2 ＝(x2－4)2 ＝(x＋2)2(x－2)2； (7)2002－400×199＋1992 ＝2002－2×200×199＋1992 ＝(200－199)2 ＝1. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $