精品解析：2026年辽宁省沈阳市沈北新区初中学业水平考试模拟测试数学试卷

2026年沈北新区初中学业水平考试模拟测试 数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 截至2025年4月28日，据相关报道，《哪吒之魔童闹海》全球票房为157.28亿元人民币，其中数据157.28亿用科学记数法可表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握是解答本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：157.28亿． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 4. 2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，列方程为， 故选A． 5. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 6. 某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（ ） A. 174 B. 174.5 C. 175 D. 176 【答案】B 【解析】 【分析】先确定数据的总个数，再找到排序后中间位置的两个数据，计算平均数即可得到结果． 【详解】解：∵数据总个数为，是偶数 ∴中位数为从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数， ∵从小到大排列，前3个数据为173，第个数据为174，第个数据为175 ∴第10个数据为174，第11个数据为175， ∴中位数为 ． 7. 如图， ，直线与相交于点 ，与相交于点，射线，垂足为 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质得出，利用邻补角性质得出，再利用平角性质得出． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，为 的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等弦对等弧可得，利用圆周角定理求得 的度数，进而求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ， ， 为 的直径， ， ． 9. 由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设菱形的边长为a，先用a表示出 与，并说明 ，从而可求得 ． 【详解】解：如图，取格点E，连接，． 设菱形的边长为a， ∵由6个形状相同、大小相等的菱形组成的网格， ， ∴，，， ， ∴ 是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， 同理可得：所在的小三角形为等边三角形且与全等， ∴，， ∴， ∴ 、 、三点在同一条直线上， ∵ 是菱形的对角线， ∴(菱形的对角线平分每一组对角)， ∴， ∴、都是直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，利用菱形的性质求线段长，求角的正切值，勾股定理与网格问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 10. 如图，正方形的边长为， 为边的中点，连接，过点 作 ，垂足为，为上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的性质和 证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ 为边的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 得（负值舍去）， ∴． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知有四张正面分别标有数字 ，0， ，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 12. 凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据外角和与内角和之比为，任意凸多边形的外角和为，可得多边形内角和度数，结合内角和公式即可求解． 【详解】解：∵外角和与内角和之比为， 任意凸多边形的外角和为， 得多边形内角和为， 由边形内角和公式得， 解得． 13. 在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面 的 处，测得建筑物顶端 的俯角为 ，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 【答案】 【解析】 【分析】设交距水平地面 的水平线于点 ，根据，求出，再根据，求出 可得结论． 【详解】解：如图，延长交距水平地面 的水平线于点 ，过 作地面于 点， ， ， ， ， ， ， ， ． 14. 我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边， 与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若 ，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题意可得，，，从而得出 ，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴ ，， ∴，， ∵ ， ∴， ． 15. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【解析】 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当 时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求 时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 三、解答题 16. 计算和化简求值： （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先计算负指数幂、绝对值、零次幂、三角函数，再进行实数的混合运算即可； （2）先进行分式的化简，计算出的值后，代入原式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 将代入上式，得． 17. 某校组织九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生掷实心球的成绩进行整理，按成绩x（单位：米）分成了5组． A组： ；B组： ；C组： ；D组： ；E组： ． 并绘制出了如下两幅不完整的统计图，其中A组测试成绩为5.78，5.35，5.61，5.46，6.12．根据中考规定 为合格， 为优秀． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为_____； （2）请补全频数分布直方图； （3）这部分男生成绩的中位数落在_____组，扇形统计图中B组对应的圆心角为_____度； （4）该校九年级大约有600名男生参加了测试，请估计按照中考要求掷实心球合格的人数． 【答案】（1）50 （2） 补图如下： （3）C， （4）552人 【解析】 【分析】（1）用A组人数除以其所占百分比即可求出样本容量； （2）用样本容量乘以C组所占百分比求出C组人数，然后用样本容量减去其余各组人数求出E组人数，最后补图即可； （3）将50人成绩由低到高排序即可得到中位数所在组，然后根据图表，直接计算C组圆心角的角度即可； （4）利用用样本估计总体，根据题意先计算出50人的合格率，再用600乘以合格率即可． 【小问1详解】 解：由A组频数和百分比可知，样本容量为 ． 【小问2详解】 解：C组人数为： （人）， E组人数为： （人）， 补图略 【小问3详解】 解：由（1）知，这50个男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人， ∴成绩的中位数为第25、26个男生的成绩之和平均数， 而第25、26个男生的成绩落在C组， ∴成绩的中位数落在C组， B组对应的圆心角为： ． 【小问4详解】 解：∵A组测试成绩为5.78，5.35，5.61，5.46，6.12， 其中6.12的成绩是合格的，而其余各组成绩均超过5.8， ∴合格率为 ， ∴估计按照中考要求掷实心球合格的人数为 ． 18. 如图，将一张矩形纸片沿着对角线 向上折叠，顶点 落到点 处，交 于点，作，延长交线段于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若 ，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：由折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 又∵， ∴ ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 和互相垂直平分， ∴四边形为菱形． （2）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和翻折的性质，得出 ，结合，可得 ，同理可证，易得 和互相垂直平分，即可证出四边形为菱形； （2）令，则，由，得，解出的值后，通过即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 由，得， 解得， ∴． 19. 如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接 ，， ，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，由全等三角形的性质得，由旋转的性质得，，可得，故可得反比例函数的解析式； （2）过点 作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、 是矩形，得，，，再运用分割法可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵的直角边 在轴上，点C的坐标为． ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴点 的横坐标为，纵坐标为， ∴点 的坐标为， 又反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点 作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、 是矩形，如图， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积 ． 20. 如图，是 的直径， 是弦的延长线上的一点， 的延长线交 于点 ，且 ． （1）求证：． （2）连接，若，求 的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵是 的直径， ∴ ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定； （1）连接，根据等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，等量代换可得则，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，根据三线合一，即可得证； （2）根据三角形的外角可得，根据是 的直径，得出 ，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴ 又∵是 的直径， ∴ ， ∴ 21. 申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图 测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台 处测得申伯楼顶部的仰角为 ，在观景台 处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点 ， ， 在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求和的长． （2）求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 【答案】（1）， （2）的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据坡度的定义可得，结合勾股定理得，列出方程，可求出和的长； （2）过点 作 于点，令，可用表示 、 的长度，再结合，即可得出的高度． 【小问1详解】 解：∵倾斜步道的坡度为，， 故， ∴， 由，得， 解得，． 【小问2详解】 解：过点 作 于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， 解得， 故的高度约为． 22. 如图，四边形中， 为对角线，于点，交于点 ，交的延长线于点，此时 ， ． （1）求证：； （2）若为 中点，求证：； （3）在（ ）的条件下，若 为中点，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ，， ， ； （2） 证明：设的中点为，连接、 ，如图所示： ， 是的中位线， ，， 于点， ， 是直角三角形， 点为 中点， 是的斜边 上的中线， ， ， ， ， ， 在中， ，于点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， ； （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线性质、等边对等角可推得，结合对顶角相等推得，再由内错角相等两直线平行即可得证； （2）设的中点为，连接、 ，则是的中位线，由此得，，证明得，由此判定四边形是平行四边形得，据此可得出结论； （3）连接 ，过点 作于点，先求出，，，证明得，设，则 ，设，，则，，再由勾股定理求出、的值，得到 、 的值，进而得，再根据梯形的面积公式得，继而得，则，据此可得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接 ，过点 作于点，如图所示： 在（ ）的条件下，即有为 中点，， ， ，， ， ， 点 为中点， ， ， ， ， ， ， 设，则 ，设，，其中 ，， ，， 于点， 和 都是直角三角形， 在 中，由勾股定理得：， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 由及 ，，解得，， ，， 于点， ， ， 四边形是梯形， ， ， ， ， ， 即四边形的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，解题关键是综合运用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行推理证明，灵活运用勾股定理及等面积法进行计算． 23. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点 ，与轴正半轴相交于点 ，且 ． （1）求的值． （2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点 和，求抛物线的解析式． （3）设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点 作直线 平行于轴，与图象交于 两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点 （点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线 的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②，且 【解析】 【分析】（1）由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由平移性质及题中图象可知抛物线过，设抛物线的解析式为 ，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）①根据题意，得到，求解得出，，由两点距离公式求出，代值求解即可得到答案；②利用二次函数图象与性质，根据题意分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ， 将代入，得； 【小问2详解】 解：由平移性质及题中图象可知抛物线过， 设抛物线的解析式为 ， 把代入 ，得，解得 ， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：①由（1）得，抛物线的解析式为， 抛物线顶点， 依题意，过点作直线 平行于轴，则直线 为；过的最高点作直线，则直线m为， 令，解得或， ∵点在点左侧， ∴，， ∴，， ∴， ②点横坐标的取值范围是，且． 由的图象及直线 为可知，当时，，解得或 ，则， 当点位于点 左侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 由（2）得抛物线：，可得顶点坐标为，而直线l为，则顶点与直线 的距离恰好为4， 当点在之间，且不与顶点重合时，与 的距离小于4，此时的取值范围是，且； 当点在之间时，均符合题意，此时的取值范围是； 当点位于点 右侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 综上，点横坐标的取值范围是，且． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象平移、二次函数图象与性质、两点距离公式等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年沈北新区初中学业水平考试模拟测试 数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 截至2025年4月28日，据相关报道，《哪吒之魔童闹海》全球票房为157.28亿元人民币，其中数据157.28亿用科学记数法可表示（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 某校升国旗中队在新学期中招收新队员，初选20人入选，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 3 7 6 4 则该批队员身高数据的中位数为（ ） A. 174 B. 174.5 C. 175 D. 176 7. 如图， ，直线 与相交于点，与相交于点，射线，垂足为．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上， ，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作 ，垂足为，为上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知有四张正面分别标有数字 ，0， ，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是________． 12. 凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 13. 在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面 的 处，测得建筑物顶端 的俯角为 ，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 14. 我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边， 与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若 ，则的长为______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 三、解答题 16. 计算和化简求值： （1）． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校组织九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生掷实心球的成绩进行整理，按成绩x（单位：米）分成了5组． A组： ；B组： ；C组： ；D组： ；E组： ． 并绘制出了如下两幅不完整的统计图，其中A组测试成绩为5.78，5.35，5.61，5.46，6.12．根据中考规定 为合格， 为优秀． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为_____； （2）请补全频数分布直方图； （3）这部分男生成绩的中位数落在_____组，扇形统计图中B组对应的圆心角为_____度； （4）该校九年级大约有600名男生参加了测试，请估计按照中考要求掷实心球合格的人数． 18. 如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点 落到点处，交于点，作，延长交线段于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若 ，，求四边形的面积． 19. 如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，， ，求的面积． 20. 如图，是的直径，是弦的延长线上的一点， 的延长线交于点，且 ． （1）求证：． （2）连接，若，求 的度数． 21. 申伯楼是信阳狮河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图 测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台 处测得申伯楼顶部的仰角为 ，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点， ， 在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： （1）分别求和的长． （2）求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 22. 如图，四边形中，为对角线，于点 ，交于点，交的延长线于点，此时 ， ． （1）求证：； （2）若为 中点，求证：； （3）在（ ）的条件下，若 为 中点，，，求四边形的面积． 23. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ，且 ． （1）求的值． （2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点 和，求抛物线的解析式． （3）设（2）中在 轴左侧的部分与在 轴右侧的部分组成的新图象记为．过点 作直线 平行于轴，与图象交于 两点，如图3． ①过的最高点 作直线交于点 （点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线 的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $