4.2 提公因式法 教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“提公因式法”核心知识点，通过长方形面积的两种表示（ab+bc与b(a+c)）直观引出公因式概念，衔接整式乘法逆运算，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于数形结合与梯度教学，用面积模型培养几何直观（数学眼光），例题从基础到整体公因式、符号处理，发展推理能力（数学思维），拼图活动让学生用面积等量关系表达因式分解，强化模型意识（数学语言）。助力学生规范分解步骤，教师可依托实例突破重难点。

第四章 因式分解 北师大版(2024) 4.2 提公因式法 一、教学目标 1.经历从具体多项式中寻找公因式的探索过程，理解提公因式法的意义，掌握公因式的定义，能准确确定多项式的公因式. 2.能规范运用提公因式法完成多项式的因式分解，同时会处理首项系数为负的多项式分解问题. 3.体会＂化归＂与＂整体代换＂的数学思想，提升代数变形与推理能力，为后续学习更复杂的因式分解方法奠定基础. 二、教学重点及难点 重点：理解公因式的概念，能确定多项式的公因式；掌握提公因式法进行因式分解的步骤. 难点：准确识别多项式中复杂的公因式（如整体形式的公因式），灵活运用提公因式法解决综合变形问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：公因式与提公因式法. 教师：观察多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？我们通过下面的图片进行探究. 提问：如上图，两个长和宽分别是 b 和 a、b 和 c 的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？ 学生1：看成一个大的长方形，由长方形的面积公式得b(a＋c)； 学生2：可以看成两个小长方形面积相加，得到ab＋bc. 教师：很好！既然这两个式子表示同一个图形的面积，那我们就可以写成ab＋bc＝b(a＋c)， 观察等式的左边，你发现了什么？ 学生回答：等式左边ab+bc的两项都含有相同的因式b. 教师讲解公因式的概念：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式. 提问：例如，3x2＋x 和 mb2＋nb－b 的公因式分别是多少呢？ 学生回答：多项式3x2＋x中，两项都含有因式x，所以它的公因式是x. 多项式mb2＋nb－b中，三项都含有因式b，所以它的公因式是b. 设计意图：通过长方形面积的两种表示方法，直观建立多项式和差与整式乘积的等量关系，让学生在数形结合中感知“相同因式”的存在，自然引出公因式概念；再通过具体实例引导学生能识别公因式，为后续学习提公因式法做好铺垫，感受知识的迁移与联系. 【课堂互动】 教师提问：（1）多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ 【学生活动】学生独立观察系数、字母、指数，小组讨论确定公因式. 答案预设： 公因式是2x2，先找系数最大公约数 2，再找相同字母x的最低次幂x2. 教师点拨：确定公因式的三步法： 定系数：取各项系数的最大公因数； 定字母：取各项都含有的相同字母； 定指数：取相同字母的最低次幂. （2）你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同伴进行交流. 教师点拨：把公因式“2x2”提出来试试！ 【学生活动】学生先在练习本上尝试将公因式2x2从多项式的每一项中提取出来，把每一项拆成公因式与另一个因式相乘的形式；随后同桌之间互相检查拆分是否正确，小组内进行交流. 答案预设： 2x2＋6x3＝2x21＋2x23x＝2x2(1＋3x). 教师总结提公因式法的概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法. 注：提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算. 【典型例题】 例1. 把下列各式因式分解： (1) 2mn＋4m2； (2) 7p2－21p； (3) 8a3b2－12ab3c＋ab； (4) －24x3＋12x2－28x. 解：(1) 2mn＋4m2＝2mn＋2m2m＝2m(n＋2m)； (2) 7p2－21p＝7pp－7p3＝7p(p－3)； (3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab8a2b－ab12b2c＋ab1 ＝ab(8a2b－12b2c＋1)； (4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x) ＝－(4x6x2－4x3x＋4x7) ＝－4x(6x2－3x＋7). 教师点拨：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数. 在提出“－”号时，多项式的各项都要变号. 例2. 把下列各式因式分解： (1) a(x－3)＋2b(x－3)； (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2. 教师点拨：把“x－3”“x＋1”都看作一个整体进行因式分解. 解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)a＋(x－3)2b＝(x－3)(a＋2b)； (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)1＋y(x＋1)y(x＋1) ＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)] ＝y(x＋1)(xy＋y＋1). 例3 把下列各式因式分解： (1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 教师点拨：“x－y”与“y－x”互为相反数，“m－n”与“n－m”互为相反数. 解：(1) a(x－y)＋b(y－x) ＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12(m－n)2 ＝6(m－n)2(m－n－2). 注意：当多项式中的某项和公因式相同或互为相反数时，提取公因式后，该项保留的因式是 1 或 －1，而不是 0. 设计意图：通过梯度递进的例题组，全方位巩固提公因式法的应用. 从基础多项式入手，夯实确定公因式的方法与首项负号的处理规范；逐步拓展至整体公因式与互为相反数型因式的识别与变形，渗透整体代换与化归的数学思想，引导学生从基础提取过渡到复杂变形，全面突破符号处理、整体识别等难点，形成规范的因式分解步骤与严谨的运算习惯. 教师拓展：提公因式法因式分解的注意事项： 1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号； 2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项； 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开. 【课堂互动】 教师提问：如图，有三张不同型号的长方形卡片. （1）你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？ （2）你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？ （3）依据（1）（2）拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？ 【师生活动】学生先独立尝试拼长方形，小组内交流拼法；随后各组代表上台展示拼法，写出对应面积的两种表达式；最后结合拼图结果，归纳写出对应的因式分解式子，交流变形依据. 答案预设： （1）能，选择卡片①和②，可以拼成一个长方形，长为 a＋b，宽为 n. （2）能，拼成的长方形长为 a＋b，宽为 m＋n. （3）an＋bn＝n(a＋b)，m(a＋b)＋an＋bn＝(m＋n)(a＋b). 设计意图：通过直观拼图操作，将抽象的多项式因式分解转化为具象的面积拼接，让学生在“形”的变化中感知“式的变形”；引导学生从面积和的等量关系中，自然写出因式分解的式子，进一步巩固提公因式法的本质. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式. 2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法. 学科网（北京）股份有限公司 $