4.2 提公因式法 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2 提公因式法 第1课时 公因式为单项式的因式分解　 教学设计 课标摘录 1.能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）。 教学目标 1.使学生进一步了解分解因式的意义，了解分解因式和整式乘法是整式的两种相反方向的变形。 2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会利用提公因式法进行分解因式。 教学重难点 重点:找公因式和利用提公因式法把多项式分解因式。 难点:利用提公因式法把多项式分解因式。 教学策略 复习因式分解概念，以实例引导学生观察系数、字母及指数，掌握找单项式公因式的方法。通过对比练习、纠错辨析突破易错点，分层设计习题，兼顾基础与提升，落实知识应用。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。 ma+mb=m(a+b) 新知初探 探究一　公因式的概念 活动1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ ab + bc；3x2＋x；mb2 + nb－b 答：都有相同的因式 公因式的定义:多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式。 活动2 怎样确定多项式的公因式？ 找出 2x2-6x3 的公因式。（定系数、定字母、定指数） 所以，2x2-6x3 的公因式是2x2 归纳总结：判断公因式的方法: 1.系数:提取最大公约数; 2.字母:提取相同字母最低次幂。 正确找出多项式各项公因式分三步走： 系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 字母：字母取多项式各项中都含有相同的字母； 指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母最低次幂. 提醒：多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式。 活动3随堂练习 写出下列多项式的公因式. （1）x - x2； （2）4abc + 2a；（3）abc - b2 + 2ab； （4）a2 + ax2. 任务一　意图说明 此环节旨在通过实例回顾因式分解概念，帮助学生明确其与整式乘法的互逆关系，强化对 “把多项式化为整式积的形式” 本质的理解。引导学生建立新旧知识联结，初步感知因式分解的思维方式。　 探究二 提公因式为单项式的因式分解　 活动1 探究pa + pb + pc=p(a+b+c)左右等式的性质 教师通过上面的式子及探究一归纳得出提公因式分解因式的方法 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 分解下列各因式 活动1 思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果： （1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)； （2）2x2 + 4x = x(2x + 4)； （3）2x2 + 4x = 2x(x + 2). 哪位同学的结果是正确的？ 活动2 典型例题 例1 把下列各式因式分解： (1) 2 mn+4m2 (2) 7p2 - 21p; (3) 8a3b2-12ab3c+ab (4) -24x3 +12x2-28x. 解：(1) 2mn + 4m2 = 2m·n +2m·2m=2 m(n + 2 m); (2) 7p2-21p=7p·p-7p·3=7p(p-3); (3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1; =ab(8a2b-12b2c+1) (4) -24x3 +12x2-28x =-( 24x3 -12x2+28x ) =-(4x·6x2-4x·3x+4x·7 ) =-4x(6x2-3x+7) 总结归纳：提取公因式法的一般步骤： 1.确定应提的公因式 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式。 3.把多项式写成这两个因式的积的形式。 温馨提示：1.提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 2.当第一项的系数为负时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号. 3.提公因式后的剩下多项式的项数应与原多项式的项数一样. 任务二　意图说明 根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．　　 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第1课时 公因式为单项式的因式分解 1.公因式定义 3.提公因式的法 5.例题 2.找公因式的方法 4提公因式法的步骤： （1）定系数 （1）找 （2）定字母 （2）提 （3）定指数 教学反思 提取公因式法分解因式，关键是如何寻找公因式，再利用多项式除以单项式的法则进行，学生的作业存在了两大问题：公因式找错，特别是系数的最大公约数，出现符号错误，当第一项是负应把负号提出来，多项式的各项都要改变符号，还要注意添括号，公因式提出后，另一个多项式要进行化简。 2 提公因式法 第2课时 公因式为多项式的因式分解　 教学设计 课标摘录 1.能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）。 教学目标 1.会用提公因式法把多项式分解因式． 2.从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展类比思想． 3.进一步理解因式分解的意义，引导学生感受整体代换思想，渗透化归思想. 教学重难点 重点:能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解。 难点:准确找出公因式，并能正确进行因式分解。 教学策略 教学公因式是多项式的因式分解时，先通过具体情境或简单多项式，引导学生回顾公因式是单项式的提取方法，建立知识衔接。接着呈现含多项式公因式的式子，如(a+b)x+(a+b)y ，让学生观察结构，类比单项式公因式提取，发现把(a+b)当作整体公因式。通过实例演练，强化“整体代换”思想，引导学生分析多项式公因式的找法，总结提取步骤。结合几何拼图等直观活动辅助理解，设置分层练习，从基础到拓展，及时纠错，深化对这种因式分解形式的掌握 。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 回顾上一节知识点 提公因式法因式分解的一般步骤： 1. 多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号； 2.公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 3.字母取多项式各项中都含有相同的字母； 4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母最低次幂. 问题：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式： (1)x(a+b)+y(a+b)； (2)3a(x–y)–(x–y)； (3)6(p+q) 2–12(q+p)； (4)a(m–2)+b(2–m)； 思考：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？ 新知初探 探究一　公因式是多项式的因式分解 活动1 例2把下列各式因式分解： (1)a(x–3)+2b(x–3)；(2)y(x+1)+y2(x+1)2. 提示：把“x–3”“x+1”都看做一个整体进行因式分解. 解：(1)a(x–3)+2b(x–3) =(x–3)·a+(x–3)·2b =(x–3)(a+2b)； (2)y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)·1+y(x+1)·y(x+1) =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(yx+y+1). 归纳总结： 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。 活动2 例3 把下列各式因式分解： (1)a(x–y)+b(y–x)； (2)6(m–n)3–12(n–m)2. 分析：根据提公因式分解因式的一般步骤逐步计算；提公因式的时候，注意公因式是多项式的情况要整体提出；提公因式的时候，还要注意加括号后各项符号的变化. 解：(1)a(x–y)+b(y–x) =a(x–y)–b(x–y) =(x–y)(a–b). (2)6(m–n)3–12(n–m)2 =6(m–n)3–12(m–n)2 =6(m–n)2(m–n–2). 活动3思考·交流 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 提公因式法因式分解的注意事项： 1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号； 2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项； 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开. 随堂练习请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“–”，使等式成立； (1) (a-b)=___(b-a);(2)(a-b)2 =___(b-a)2; (3)(a-b)3=___(b-a)3;(4)(a-b)4=___(b-a)4; (5)(a+b)=___(b+a);(6)(a+b)2=___(b+a)2; (7)(a+b)3=__(-b-a)3;(8)(a+b)4=__(-a-b)4; 答案：– + – + + + – + 任务一　意图说明 此探究旨在通过具体实例，引导学生突破公因式仅为单项式的认知局限，感受多项式可作为公因式的情况。借助观察、类比，让学生掌握把多项式整体代换的方法，理解提取多项式公因式的原理，强化 “整体思想” 在因式分解中的运用，为构建完整因式分解方法体系奠基，同时提升学生观察归纳、知识迁移能力 。　 探究二 利用几何拼图理解因式分解　 活动1 尝试·思考 如图4-1，有三张不同型号的长方形卡片 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？ (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？ (3) 依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？ 解：（1）能，选择卡片①和卡片②可以拼成一个长方形 （2） 能，新长方形的长为a+b,宽为m+n. （3） an+bn=n(a+b);n(a+b)+m(a+b)=(a+b)(m+n) 任务二　意图说明 利用几何拼图理解因式分解，是通过直观的图形操作，让学生将抽象的因式分解概念与具体的几何图形建立联系。学生在拼图过程中，从图形面积的角度感受多项式与整式乘积的关系，能更深刻地理解因式分解的本质。同时，借助这种方式激发学生的学习兴趣，培养空间想象和逻辑推理能力，使学生在实践操作中构建数学思维，提升对因式分解知识的掌握与运用能力。　　 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第2课时 公因式是多项式的因式分解 1.公因式是多项式的因式分解 2. 提公因式法的注意事项 教学反思 本节课教学公因式是多项式的因式分解，学生对整体代换思想的理解存在差异。部分学生能快速类比单项式公因式提取方法，但对多项式作为整体的识别不够敏锐，尤其在符号变化和指数处理上易出错。教学中虽通过实例引导观察，但练习层次可更细化，对整体思想的渗透需结合更多具象情境。后续应加强对比练习，强化符号规则训练，让学生在纠错中深化对多项式公因式提取的掌握。 学科网（北京）股份有限公司 $