4.3公式法第2课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

4.3 公式法 第2课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册第四章《因式分解》第2课时“4.3 公式法(二)”。教学核心在于运用完全平方公式对多项式进行因式分解，并通过典型例题与习题引导学生熟练掌握该方法。同时，结合前面提公因式法、平方差公式等多种技巧，丰富学生的分解思路。 2.内容解析 本节紧扣完全平方公式 的逆用，即从“和(或差)的平方”反推到“多项式之和(或差)”。其特点在于辨析三项式中是否有两个同号的平方项及中间项是否为这两个数的2倍积，从而判断能否用完全平方公式分解。以此为基础，学生可阶段性总结分解步骤，并运用完全平方公式进行简化运算和解决相关应用题。 1.教学目标 •理解并掌握用完全平方公式分解因式。 •灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算。 2.目标解析 • 要求学生能识别形如 的完全平方式，并准确写出分解形式。 • 要求学生在综合提公因式法、平方差公式与完全平方公式的基础上，熟练灵活地选择分解方法，并运用于简化运算或解题。 3.重点难点 • 教学重点：正确辨别并分解符合完全平方形式的多项式。 • 教学难点：在综合题目中灵活运用不同因式分解方法并深入理解其运算价值。 八年级学生已初步掌握提公因式法、平方差公式，对因式分解有基础认识，能理解基本的乘法与逆用关系。但对于识别多项式特征、灵活应用公式仍存在困难，因此需通过示例和练习巩固辨析能力，并及时纠正对完全平方形式中系数判断的偏差。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 1.因式分解学过了哪些方法？ 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)； 平方差公式法：-=(a+b)(a-b). 2.把下列各式分解因式: (1)a-a; (2)-16. 解：(1)a-a =a(-1) =a(x+1)(x-1). (2)-16 =(+4)(-4) =( +4)(x+2)(x-2). 3.填空： （1）＝________； （2）＝_________. 解：+4ab+4,9-6ab+ 上述算式有什么共同特征？ 以上都是用完全平方公式：＝+2ab+，＝-2ab+计算得出来的. 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 【设计意图】通过回顾“提公因式法”和“平方差公式”的相关例题，引导学生梳理已学方法，为本节课进一步学习完全平方公式分解因式做好铺垫。 探究点1：用完全平方公式因式分解 1.尝试思考 根据上述问题中的等式填空： （1）＝_______； （2）＝_______. 解：, 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“、”的式子因式分解吗？ 2.新知归纳 用完全平方公式因式分解： 分别把乘法公式＝ ， ＝反过来，就得到: . 形如 的式子称为完全平方式. 语言叙述：两个数(或式子)的平方和加上(或减去)这两个数(或式子)的积的2倍，等于这两个数(或式子)的和(或差)的平方. 3.思考交流 下列各式是不是完全平方式？ ；；；；. 解：o 满足完全平方的条件，可写作； o 只有两项，不是三项式； o 与 符号不一致，不符合完全平方结构； o 中间项不是与的2倍乘积，故不是； o 可写作，是完全平方式。 4.知识归纳 完全平方式的特点： 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 只有完全平方式才可以用完全平方公式因式分解. 注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 5.练一练 下列多项式能用完全平方公式因式分解的有(　　) (1)+ab+；(2)-a+；(3)9-24ab+4；(4)-+8a-16. A.1个 　 B.2个 C.3个 D.4个 解：B.(1)+ab+，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)-a+＝；(3)9-24ab+4，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-+8a-16＝-(a2-8a+16)＝.所以(2)(4)能用完全平方公式分解. 【设计意图】通过整体观察、条件检验的方法，培养学生对多项式结构的辨析能力，正确判断是否是完全平方式。 探究点2：用完全平方公式因式分解的注意事项 1.尝试交流 ①把下列各式因式分解： (1)＋14x＋49； (2)－6(m＋n)＋9. 解：(1)＋14x＋49 ＝ ＋2×7x＋ ＝ ； (2)－6(m＋n)＋9 ＝ ＝. ②把下列各式因式分解： (1)3a＋6axy＋3a； (2)－－4＋4xy. 解：3a＋6axy＋3a ＝ 3a(＋2xy＋) ＝； (2)－－4＋4xy ＝ －(＋4－4xy) ＝ －(－4xy＋4) ＝－[－2·x·2y＋] ＝. 2.新知探究： 用完全平方公式因式分解的注意事项： 运用完全平方公式因式分解所得结果是“和的平方”还是“差的平方”,取决于“积的二倍项的符号”与“平方项的符号”的关系:“积的二倍项”与“平方项”同号时,结果是和的平方;异号时,结果是差的平方。 3.练一练 把多项式8-8+2a因式分解,结果正确的是(　　) A.2a(4-4a+1) B.8(a-1) C. D.2a 解：C 4.知识归纳 公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 【设计意图】通过例题拆解与对比辨析，引导学生掌握完全平方公式因式分解的步骤与符号判断要点，结合练习巩固提公因式与公式法的综合运用，帮助学生形成规范、完整的因式分解思路。 探究点3：完全平方公式因式分解的应用 1.尝试交流 ①利用完全平方公式因式分解计算下列各式： (1)； (2)38.9² − 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9². 解：(1) ＝+2×202×98+ ＝ ＝ ＝90 000. (2)38.9² − 2 × 38.9 × 48.9 + 48.9² ＝ ＝ ＝100. ②已知 , ，求 的值。 解： 当 , 时， 方法归纳：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值. 2.回顾反思 （1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？ （2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明. 提示：整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。 因式分解是解题的工具,可以将复杂的多项式转化为乘积形式,方便化简与计算。 3.知识归纳 因式分解的一般步骤： 在进行因式分解时,应遵循“一提、二套、三检查”的原则，一般按如下步骤进行: 2.典例分析 例1 把下列各式因式分解: (1)+4a+4; (2)-6(x-1)+9;  (3)-16.　 解:(1)+4a+4 =+2·a·2+ =. 　(2) = = = (3) = = = 例2 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且 －2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由． 解：由－2b(a＋c)＝0，得 ＝0， 即＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【设计意图】通过典型实例与讨论交流，既能巩固完全平方公式分解的方法，也能培养学生将代数与几何、数值运算结合起来的综合思维。进一步明确：在分解复合结构时，一提、二套、三检查，对照公式即可顺利完成。 1．下列不能用公式法因式分解的是(　　) A. B. C. D. 解：B． 2．小组活动：把多项式 因式分解。组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果“”不同，他认真思考后，发现还有一种结果是正确的，你认为正确的是(　　) A. B. C. D. 解：D 解：A 4.如图是长与宽分别为 的长方形，它的周长为 14，面积为 10，则 的值为(　　) A.2560　B.490　C.70　D.49 解：B 5．若 , 则多项式 的值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解：C 6.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是____.(填序号) ①-2x-2；②+1；③-4x+4；④+4x+1. 解：③ 7.因式分解：＝______. 解： 8.若 ，且 ，则代数式 的值为______. 解：-2025 9.为了烘托新年的节日氛围，市政人员在某广场上用鲜花摆放了一个圆形花坛，已知该花坛的面积为 平方米，则这个圆形花坛的半径为_____. 解：(a+9b)米 10.把下列各式因式分解: (1); (2). (3);  (4). 解：(1) = = (2) = = =. (3) = =. (4) = = =. 11.已知 , 求 的值。 解：∵x5＝0， ∴=0， 即＝0, ∴ x+2＝0，y−1＝0.  ∴x＝−2，y＝1. ∴xy＝−2. 12.已知 分别是 的三边长。 分别将多项式 进行因式分解； 若 ，试判断 的形状，并说明理由 解： (2)△ABC是等腰三角形. 理由:因为ac-bc=, 所以c(a-b)=-, c(a-b)+=0, (a-b)(c+a-b)=0. 因为a,b,c分别是△ABC的三边长, 所以它们满足任意两边之和大于第三边, 所以c+a-b>0, 所以a-b=0, 即a=b, 故△ABC是等腰三角形. 【设计意图】通过具有典型意义的考题，让学生体验“完全平方公式”在几何背景及综合题型中的应用，进一步感受因式分解与几何、数值计算、方程思想的结合方式，为后续更复杂的问题打下基础，也培养学生灵活辨析和综合运用数学工具的能力。 主板书 4.3 公式法 第2课时 探究点1 用完全平方公式因式分解 探究点 2 用完全平方公式因式分解的注意事项 探究点3 完全平方公式因式分解的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题4.3第2，3，6题。 2.探究性作业：习题4.3第7题。 学科网（北京）股份有限公司 $