精品解析：福建省 厦门市莲花中学2025-2026学年八年级下学期期中质量检测 数学

2025-2026学年厦门市莲花中学八年级（下）期中质量检测 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上（不出区域），否则不能得分； 3．选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔做答；不能使用涂改液/带． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：km）的增加而减少，耗油量为．在该变化过程中，常量是（ ） A. 行驶路程 B. 每千米的耗油量 C. 耗油总量 D. 油箱中的剩余油量 5. 如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时，该港口水深最浅 B. 当时，t的值是1或5 C. 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨 D. 某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 9. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 10. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A. 20 B. C. D. 18 二、填空题：（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 七边形的内角和是________度． 13. 如图，在中，，E为上一点，M，N分别为，的中点，则的长为 __． 14. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,若AC=6，BD=8,则菱形ABCD的周长是_____． 15. 若，则______． 16. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______． 三、解答题（本大题有8题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简再求值：（1），其中m2． 19. 如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 20. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米100元．经测量，，，，．求购买运动型塑胶地板的费用． 21. 探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是______． （2）下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 22. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______． 解决问题： （2）已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 23. 阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明？ （2）在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． （3）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值． 24. 在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB=EC． （1）如图1，若EB=BC，求∠EBD的度数； （2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若，试探究线段FC与BE之间的等量关系，并说明理由． 25. 请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． （1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． （3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年厦门市莲花中学八年级（下）期中质量检测 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上（不出区域），否则不能得分； 3．选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔做答；不能使用涂改液/带． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数基本形式是解题的关键． 根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足一次项系数非零且无常数项，据此即可求解． 【详解】A、，可写为，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意； B、，含常数项1，不符合正比例函数无常数项的要求，不是正比例函数，不符合题意； C、，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、，不符合正比例函数的形式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【详解】A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项正确； D.，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 4. 汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：km）的增加而减少，耗油量为．在该变化过程中，常量是（ ） A. 行驶路程 B. 每千米的耗油量 C. 耗油总量 D. 油箱中的剩余油量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查变量与常量，理解变量和常量的定义是正确解答的关键．根据变量、常量的定义结合具体情境进行判断即可． 【详解】解：在这个变化过程中，行驶路程随着行驶时间的变化而变化，耗油总量随着行驶时间的变化而变化，油箱中的余油量随着行驶时间的变化而变化， 因此变量有：行驶路程，耗油总量油箱中的余油量， 而不变的量是每千米的耗油量，即是不变的， 故选：B． 5. 如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得,由平行线之间的距离的定义可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 又∵ ∴直线AB与CD的距离为CM的长， 故选择：C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 7. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时，该港口水深最浅 B. 当时，t的值是1或5 C. 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨 D. 某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，根据图1和图2分别分析判断即可． 【详解】解：当时，纵坐标植最小，该港口水深最浅，故A正确，不符合题意． 当时，t的值是1或5，故B正确，不符合题意． 0时到3时和9时到12时，海水均在上涨，故C正确，不符合题意． 该货船吃水深度为，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时底与港口水底间的距离最少，故该货船进出港口时要求水深最少为． 而当时，，故此时它不可以进出港口． 故D错误，符合题意． 故选：D 9. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 10. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A. 20 B. C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】解：如图1， ∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点， ∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16， ∴MN＝＝20； 如图2， ∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点， ∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10， ∴MN＝＝＝2． ∵20＜2， ∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20． 故选：A． 【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 二、填空题：（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 13. 如图，在中，，E为上一点，M，N分别为，的中点，则的长为 __． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，根据中位线的性质得出． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 14. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,若AC=6，BD=8,则菱形ABCD的周长是_____． 【答案】20 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8， ∴∠AOB=90°，AO=3，BO=4， ∴AB=5， ∴菱形ABCD的周长=4×5=20． 故答案为20． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键． 15. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知条件变形整理得到关于的二次等式，再对所求多项式提取公因式因式分解，代入二次等式计算即可得到结果． 【详解】解：已知， 移项得 ， 两边平方得 ， 展开整理得 ， 对所求多项式因式分解： ． 16. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，过A作于M，在上截取，连接，由菱形的性质推出，，判定，推出，得到，判定是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且，由菱形的性质推出，，求 出，得到，于是． 【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴F、G、K共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题有8题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，利用完全平方公式去掉括号，再合并即可求解； （2）先计算乘除，化简二次根式再计算加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简再求值：（1），其中m2． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后代入求值． 【详解】解：（1） ＝（） ， 当m2时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，熟练化简分式是解题的关键． 19. 如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【详解】略． 20. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米100元．经测量，，，，．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】元 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 21. 探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是______． （2）下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【答案】（1） （2）①， ②图像如下： （3）当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】（1）由分式的分母不为0可得出答案； （2）①将，代入解析式即可求值；②连点成线，画出函数图像； （3）观察图像可得． 【小问1详解】 解：由分式的分母不为0得：， 自变量x的取值范围是：； 【小问2详解】 ①当时，， ； 当时，，解得：， ； ②略 【小问3详解】 当时，y随x的增大而减小． 22. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______． 解决问题： （2）已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（１）利用勾股定理求出的三边长，再根据求出的面积； （2）借助勾股定理画出，并把放在的正方形网格中，借助正方形求出的面积． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ； ，， ； ； 【小问2详解】 解：，，， 借助勾股定理画图如下： ． 23. 阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明？ （2）在中，两边长分别是、，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． （3）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求的值． 【答案】（1） 解：正确， 证明：设等边三角形的边长为a， ∵，符合“奇异三角形”的定义， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”． （2） 解：当c为斜边时，不是“奇异三角形”；当b为斜边时，是“奇异三角形”，理由：①当c为斜边时， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴不是“奇异三角形”； ②当b为斜边时，， ∴， ∴， ∴是“奇异三角形”． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质，验证两边平方和是否等于第三边平方的2倍即可； （2）分两种情况讨论直角三角形的斜边（c为斜边或b为斜边），利用勾股定理求出第三边，再根据奇异三角形的定义判断； （3）利用直角三角形勾股定理和奇异三角形的定义，建立方程求解三边比例关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵是“奇异三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB=EC． （1）如图1，若EB=BC，求∠EBD的度数； （2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若，试探究线段FC与BE之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）15°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠EBC＝60°，根据正方形的一条对角线平分内角可得∠CBD＝45°，根据角的和与差可得结论； （2）连接AF，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，根据等腰三角形的性质和等式的性质得∠ABE＝∠DCE，从而得∠AGB＝90°，最后利用面积和表示四边形ABFE的面积，可得结论． 【详解】 解∶如图1，四边形是正方形， 平分 ∴． ， 是等边三角形． ∴∠EBC=60° ° 解∶ 理由如下∶ 如图2，连接与交于点， 四边形是正方形， ． 又 ． ， 由得， 又 ． ． 在中， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，三角形的面积，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，在正方形中确定全等三角形，属于中考常考题型． 25. 请阅读材料并填空： 如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是： 将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． （1）根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． （2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长． （3）【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 【答案】（1）150， （2），正方形边长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，可求得的度数；过点B作，交的延长线于点M，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）可将绕点逆时针旋转，得到，进而可判断出是等腰直角三角形，可得；然后根据、、的长，利用勾股定理得到是直角三角形的结论，可得，即可求得的度数，进而可得的度数．过作的垂线，交的延长线于，易知是等腰直角三角形，即可得到、的长，进而可在中，利用勾股定理求得正方形的边长． （3）如图4中，先由旋转的性质得出，，，，，求出，由勾股定理求出，的长度，当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长，据此即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得出，如图， ，，，， 又， 是等边三角形， ，． ，， ， ， ，则是直角三角形， ； 过点B作，交的延长线于点M， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴等边三角形的边长为． 故答案为：150，； 【小问2详解】 解：如图， 将绕点逆时针旋转，得，则． ，； 连接， 在中， ，， ，； 在中，，，， ，即； 是直角三角形，即， ， ． 过点作，交的延长线于点；则是等腰直角三角形， ， ， ； 在中，由勾股定理，得； ，正方形边长为； 【小问3详解】 解：如图，将绕A顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕A顺时针旋转，得到， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点E作交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是考查了旋转变换的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $