精品解析：江苏泰州市第二中学附属初中2025-2026学年九年级下学期第一次学情自测数学试卷

2025-2026学年度第二学期阶段学情调查九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 数的相反数是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 7 4. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要5天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知：，则_____． 8. 在实数范围内分解因式：＝______． 9. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 10. 如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为_______． 11. 命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”） 12. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心O，点A、点B均在格点上，则圆周角的正弦值等于______． 13. 在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 14. 已知：矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点对应点的坐标是________． 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数（）的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为，则的值为____． 16. 学校数学课外实践小队开展折纸活动，过程如下：①在矩形纸片中折出一个正方形，再把纸展平；②把正方形对折成两个矩形，再把纸展平；③把沿对折，使点A落在线段上．则________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为落实“双减”政策，减轻学生的学习负担，某中学从全校2000名学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．将收集的数据整理后，按照完成时间分成如下五组，并绘制如下两幅不完整的统计图表．根据上面提供的信息，解答下列问题： 分组 时间段 频数 频率 A 24 △ B △ C △ D △ E 8 △ （1）这次调查的样本容量是 ，补全频数分布直方图． （2）被抽取学生每天完成书面作业时间的中位数落在 组． （3）请你估计该校学生每天完成书面作业时间不超过90分钟学生的人数． 20. 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 22. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．解决问题：根据信息，求的长．（结果精确到）参考数据：． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 23. 已知是的内接三角形，其中圆的半径是6． （1）如图1，若为等边三角形，直线经过点C，． ①判断直线与的位置关系，并说明理由； ②图中阴影部分的面积为             ． （2）如图2，若，求的长． 24. 如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． （1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ （3）在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 25. 菱形中，，，点E为边上一个动点（不与点C、D重合），把沿直线折叠，与对应． （1）请仅用圆规在图1中作出点F（圆规只能用2次，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点F在的延长线上，求的长； （3）当与菱形的边垂直时，求的长． 26. 我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点”． （1）已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； （2）函数的图象上恰有点的两个“亮粹点”，求实数m的取值范围； （3）已知点为点的“亮粹点”，且点M、N均在直线上，其中，且，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段学情调查九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 数的相反数是（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是4. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：C项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形． 3. 已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 4. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 5. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要5天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将总路程看作单位1，先得到野鸭和大雁的日行程，再根据相遇时两者路程和等于总路程列方程即可． 【详解】解：设经过天相遇，将南海到北海的总路程看作单位1， ∵野鸭从南海飞到北海需要7天，∴野鸭每天走的路程为， ∵大雁从北海飞到南海需要5天，∴大雁每天走的路程为， 相遇时，野鸭的路程加大雁的路程等于总路程1， ∴可列方程为． 6. 如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知：，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】解：， 设， ． 8. 在实数范围内分解因式：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，得． 【详解】解：根据平方差公式，得 故答案为：． 【点睛】此题考核知识点：平方差公式，解题的关键在于将式子化为形式． 9. 在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到．数据45000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：数据45000用科学记数法表示为， 故答案为：． 10. 如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由点G是△ABC重心， 可得CD AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长． 【详解】解：∵点G是△ABC重心，， ∴CD ∵GE∥BC， ∴△AEG∽△ACD， ∴ ∴GE 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 11. 命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 12. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心O，点A、点B均在格点上，则圆周角的正弦值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可知，，在中，根据锐角三角函数的定义求出的正弦值． 【详解】解：如图，点D在格点和圆上，连接， ∵和所对的弧长都是， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即圆周角的正弦值等于． 13. 在中，，．点P从点A出发，沿向点C以每秒1个单位长度的速度移动；点Q从点C出发，沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．则经过______秒后，． 【答案】2.4 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设经过t秒后，， ∵， ∴，即， 解得， 即经过2.4秒后，． 14. 已知：矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点对应点的坐标是________． 【答案】 或 【解析】 【分析】以原点为位似中心时，对应点的坐标为原坐标乘以相似比或负的相似比，计算即可得到结果. 【详解】解：由题意，点的对应点坐标为 或 ， 即 或 . 15. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数（）的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连接点，，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可知点为的中点，利用三角形中线的性质可得，再根据及等高三角形面积比等于底边比求出，最后利用反比例函数的几何意义求解 ． 【详解】解：连接 ， ∵ 点是矩形的对称中心 ， ∴点是的中点 ， ∴ ， ∴ ， ∵，  ∴ ， ∵点在上，且 ， ∴，  ∵点在反比例函数的图象上，且 ， ∴，  ∴ ， ∴ ． 故答案为． 16. 学校数学课外实践小队开展折纸活动，过程如下：①在矩形纸片中折出一个正方形，再把纸展平；②把正方形对折成两个矩形，再把纸展平；③把沿对折，使点A落在线段上．则________． 【答案】 【解析】 【分析】设点A落在点Q处，连接，设，则，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，可得，设，则，在和中，利用勾股定理可得，，可得到，即可求解． 【详解】解：设点A落在点Q处，连接，设，则，如图， 由折叠的性质得：，， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在和中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的性质，负指数幂，算术平方根的性质，特殊角的三角函数值计算即可；（2）分别求解两个一元一次不等式即可； 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 ， 由得：，， 由得：， 不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：  ，  ， 原式． 19. 为落实“双减”政策，减轻学生的学习负担，某中学从全校2000名学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．将收集的数据整理后，按照完成时间分成如下五组，并绘制如下两幅不完整的统计图表．根据上面提供的信息，解答下列问题： 分组 时间段 频数 频率 A 24 △ B △ C △ D △ E 8 △ （1）这次调查的样本容量是 ，补全频数分布直方图． （2）被抽取学生每天完成书面作业时间的中位数落在 组． （3）请你估计该校学生每天完成书面作业时间不超过90分钟学生的人数． 【答案】（1）200，图见解析 （2）C （3）1920 【解析】 【分析】（1）由B组频数60、频率，即可求出样本容量；再计算C组频数、D组频数，据此补全频数分布直方图； （2）样本容量为200，中位数是第100、101个数据的平均数；A组累计24人，B组累计84人，C组累计164人，故第100、101个数据落在C组，即中位数落在C组； （3）先求出E组的频率，则可得到不超过90分钟的频率为；用样本估计总体，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由直方图得，B组频数为60， 由表格可得，B组频率为， ∴样本容量为， ∴C组频数：，D组频数：， ∴补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：∵200的中位数是第100、101个数据的平均数， ∴A组累计：24人； B组累计：人； C组累计：人， ∴第100、101个数据落在C组， ∴中位数落在组； 【小问3详解】 解：∵E组频率：， ∴由题意得，不超过90分钟的频率组频率， ∵全校共2000名学生， ∴估计人数：人． 20. 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式，即可解答； （2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答． 【小问1详解】 解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球， ∴摸到白球的概率， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列出表格如下： 白 红 绿 白 （白，白） （白，红） （白，绿） 红 （红，白） （红，红） （红，绿） 绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿） 由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种， ∴2次摸到的球颜色不同的概率． 21. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 22. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．解决问题：根据信息，求的长．（结果精确到）参考数据：． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 【答案】的长为 【解析】 【分析】分别在、中运用含的直角三角形的性质和勾股定理求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴摆线长度， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵、均在上，且， ∴ ． 23. 已知是的内接三角形，其中圆的半径是6． （1）如图1，若为等边三角形，直线经过点C，． ①判断直线与的位置关系，并说明理由； ②图中阴影部分的面积为             ． （2）如图2，若，求的长． 【答案】（1）①直线与相切，理由见解析；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； ②由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解； （2）连接并延长，交于E，连接，根据圆周角定理得到，，根据三角函数得到，进而可求的长． 【小问1详解】 解：①直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是等边三角形， ， 是的内接三角形， ∴是正三角形的外接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； ②解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长，交于E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵圆的半径是6， ∴， ∴． 24. 如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽；当水位上升时，水面宽． （1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ （3）在正常水位情况下，一艘宽为，高的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，由正常水位得、，代入得；水位上升后，得、，，由且，解得，进而得到解析式； （2）正常水位时，得；水面宽时，代入得，进而即可求出水位上升的高度； （3）船宽时，代入得，桥在处高度为，再进行比较即可得到解答． 【小问1详解】 解：由题意得，设抛物线的解析式为， ∵正常水位时，水面宽， ∴、， 代入得：， ∵水位上升后，水面宽， ∴、，， 代入得：， ∴ 解得， ∵， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，即正常水位在处， ∵水面宽8米， ∴当时，， ∴水位上升高度为； 【小问3详解】 解：由题意得，正常水位下，船宽，即船的左右边缘在处， ∴当时，， ∴桥在处的高度为：， ∵， ∴船不能安全通过此桥． 【点睛】本题以抛物线型拱桥为实际载体，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为二次函数问题，结合解析式求解高度与宽度，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 25. 菱形中，，，点E为边上一个动点（不与点C、D重合），把沿直线折叠，与对应． （1）请仅用圆规在图1中作出点F（圆规只能用2次，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点F在的延长线上，求的长； （3）当与菱形的边垂直时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别以A、E为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点F即可； （2）根据菱形的性质可得， ，由折叠可知，，，，在中，解直角三角形得，，即可求解； （3）根据菱形的性质可得，，，由折叠可知，，，，，可得， 分两种：当时，当时，分别解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：菱形中，，， ∴， 由折叠可知，，，， ∵点在的延长线上， ∴， 在中，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：菱形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴， 当时，垂足为， 在中，，则， ∴， 在中，， ∴； 当时，垂足为，过点作， ∵， ∴，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，设，， ∴， 又∵， ∴，则， ∴； 综上，的长为或． 26. 我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点”． （1）已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； （2）函数的图象上恰有点的两个“亮粹点”，求实数m的取值范围； （3）已知点为点的“亮粹点”，且点M、N均在直线上，其中，且，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）且 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线上点的坐标特征得出，根据“亮粹点”的定义得出，解方程即可求解； （2）设点的“亮粹点”为，根据“亮粹点”的定义可得出，由函数的图象上恰有点的两个“亮粹点”，得出直线与抛物线有两个交点，则有两组解，故有两个不相等的实数根，根据根的判别式求出，然后排除N和M重合时m的取值即可； （3）根据“亮粹点”的定义得出，根据直线上点的坐标特征得出，，代入计算得出，结合M、N是不重合的两点，可求出，利用完全平方公式、非负数的性质可求出，，把代入并化简得出，同理，故，是方程的两个根，根据根与系数的关系得出，，然后分和两种情况讨论，结合求出b的值即可． 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， ∵点N为点的“亮粹点”， ∴， 解得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：设点的“亮粹点”为， 则， ∴， ∵函数的图象上恰有点的两个“亮粹点”， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴有两组解， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当时，， 解得， 此时， ∴与点重合，故不符合题意，舍去， ∴， ∴实数m的取值范围为且； 【小问3详解】 解：∵点为点的“亮粹点”， ∴， ∵点M、N均在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵M、N是不重合的两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴，， 又， ∴， ∴， 同理， ∴，是方程的两个根， ∴，， 当时，设与x轴交于A点， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ 整理得， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴或（舍去）， ∴直线的解析式为； 当时，设与x轴交于A点， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ 整理得， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴（舍去）或， ∴直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $