精品解析： 江苏省泰州市靖江市滨江学校2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份 ）

2024-2025学年江苏省泰州市靖江市滨江学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数（ 、 是常数，且 ），函数 与自变量 的部分对应值如表： 则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 7. 民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 ______． 8. 分解因式：_______． 9. 若与是同类项，则 ______． 10. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 11. 如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为___． 12. 若实数 ， 是一元二次方程的两根，则______． 13. 若二次函数的图象与 轴有交点，则 的取值范围是_______． 14. 如图，在矩形 中，，O为 中点，，则扇形的面积为________． 15. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）． 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算； （2）化简：． 17. 经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 18. 把一个大长方形分成了4个全等小长方形(如图所示的①~④小长方形)，现将其中部分小长方形涂黑，每个小长方形被涂黑是等可能的． （1）若随机涂黑1个小长方形，则刚好涂黑④号小长方形的概率为 ； （2）若随机涂黑2个小长方形，求剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的概率．(用列表法或树状图法) ① ② ③ ④ 19. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线 交 于点H．经测量，点A距地面，到树 的距离，．求树 的高度（结果精确到）． 21. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在上，， 在 的延长线上，． （1）如图1，求证： 是 的切线； （2）如图2，若，，求的长． 22. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC. （1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明； （2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明. 23. 已知反比例函数 的图象与正比例函数的图象交于点，点 是线段 上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点 作 轴的垂线与 的图象交于点 ，当线段时，求点 的坐标； （3）如图2，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标． 24. 对于初中数学“几何与图形”这一部分的学习，通过对矩形纸片的剪拼，旋转等“图形的变化”，可以整合初中所学数学知识，从而深化对定义、定理的理解．下面是王老师在数学课上设计的问题，请你解答： （1）观察发现：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和，其中，．将 和按图2所示方式摆放，其中点B与F点重合（标记为点B）．当时，延长 交 于点G．猜想并判断四边形的形状为______．（直接写出结果，不说明理由．） （2）实践探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部，如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M， 与 交于点N．试猜想线段 和 的数量关系，并加以证明． （3）类比延伸：如图4，当时，过点A作于点H，若 ，，求的长． 25. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 组成的封闭图形，点 ， 在矩形的边 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2， 米， 的垂直平分线与抛物线交于点 ，与 交于点，点 是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点 ，使 ，用篱笆沿线段 ， 分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段 上取点 （不与 ， 重合），过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， ．用篱笆沿 ， 将线段 ， 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩12米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完12米材料，需确定 与 的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为 轴，所在直线为 轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求12米材料恰好用完时 与 的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 ， 上．求出符合设计要求的矩形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省泰州市靖江市滨江学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2023 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相除法则计算判断A，再确定同类项，判断B，然后根据幂的乘方法则计算判断C，最后根据单项式乘以单项式计算，判断D． 【详解】因为，所以A不正确； 因为不能合并，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 【点睛】本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 3. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 4. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看得到的图形是， 故选：B． 5. 如图，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和为 以及四边形内角和为 等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为 以及四边形内角和为 ，即可列式作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 6. 已知一次函数（ 、 是常数，且 ），函数 与自变量 的部分对应值如表： 则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算x相差1时两个y值的差，判断一次函数的增减性，即可比较m和n的大小． 【详解】解：∵ x从 增加到，x的增量为 ，对应y的增量为， ∴一次函数中 ， 随 的增大而减小， 又∵， ∴对应的y值 小于对应的y值 ，即． 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分． 7. 民之所盼，我之所呼．人民网发布了2月份参与全国两会的第22次调查人数共计超过581万人次，其中数据“5810000”用科学记数法可表示为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据“5 810 000”用科学记数法可表示为． 故答案为：． 8. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 9. 若与是同类项，则 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”进行解答即可得，掌握同类项的定义即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ， 故答案为：2． 10. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 11. 如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为___． 【答案】 ## 【解析】 【分析】考查相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为， ∴两个相似多边形相似比为， ∴两个相似多边形周长的比为． 故答案为： ． 12. 若实数 ， 是一元二次方程的两根，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵实数 ， 是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 13. 若二次函数的图象与 轴有交点，则 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与 轴有交点时解题即可. 【详解】解： 二次函数的图象与 轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 14. 如图，在矩形 中，，O为 中点，，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵O为 中点， ∴， ∵ ， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 15. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可． 【详解】设弹簧秤新读数为x 根据杠杆的平衡条件可得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题是一个跨学科的题目，熟记物理公式动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算； （2）化简：． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，把特殊角三角函数值代入，化为最简二次根式，再算括号内的乘法，最后算加减； （2）先通分算括号内的减法，把除法化为乘法，再对分子分母分解因式后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，列出方程，设这款电动汽车平均每公里的充电费为 元，可得，进行解答，即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为 元， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元． 18. 把一个大长方形分成了4个全等小长方形(如图所示的①~④小长方形)，现将其中部分小长方形涂黑，每个小长方形被涂黑是等可能的． （1）若随机涂黑1个小长方形，则刚好涂黑④号小长方形的概率为 ； （2）若随机涂黑2个小长方形，求剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的概率．(用列表法或树状图法) ① ② ③ ④ 【答案】（1） （2）剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，刚好涂黑④号小长方形的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：随机涂黑2个小长方形，列表如下： ① ② ③ ④ ① ①② ①③ ①④ ② ②① ②③ ②④ ③ ③① ③② ③④ ④ ④① ④② ④③ 共有12种等可能的结果，其中剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的结果有：①②，①④，②①，③④，④①，④③，共6种， 剩下未被涂黑的两个小长方形刚好相邻的概率为． 19. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）7.5，7， （2） 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率 ， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7， ； 【小问2详解】 略 20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪 为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线 交 于点H．经测量，点A距地面，到树 的距离，．求树 的高度（结果精确到）． 【答案】树 的高度为 【解析】 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 答：树 的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 21. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在上，， 在 的延长线上，． （1）如图1，求证： 是 的切线； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 为直径， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，则，故，由，得到，而 ，则，由，得，因此，故，则 是 的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 22. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC. （1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明； （2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明. 【答案】（1）=（2） 【解析】 【详解】分析： （1）①按照题中要求补全图形即可；②如图1，连接AM，由已知条件易得MF是AE的垂直平分线，由此可得MA=ME，由四边形ABCD是正方形易得点A和点C关于BD对称，由此可得MA=MC，从而可得ME=MC，进而可得∠MEC=∠MCE； （2）如图2，由已知易得∠MAD=∠MCD结合∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°，由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°，由此可得∠MAE+∠MEA=90°，从而可得∠AME=90°，结合点F是AE的中点可得MF=AE，结合在Rt△ABE中，BF=AE即可得到BF=MF. 详解： （1）①按题要求补全图形如下图所示： ②∠MEC=∠MCE，理由如下： 如图1，连接AM， ∵点F是AE的中点，FM⊥AE， ∴MA=ME， ∵点A、点C是关于正方形ABCD对角线BD所在直线的对称点， ∴MA=MC， ∴ME=MC， ∴∠MEC=∠MCE； （2）如图2，FB=FM，理由如下： ∵点M在正方形ABCD的对角线BD， ∴， ∴=， ∵=， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵ 点F是AE的中点， ∴ ∵ 在△ABE中，∠ABE=90°，点F是AE的中点， ∴ ， ∴ . 点睛：熟悉“正方形的对称性、线段垂直平分线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”是正确解答本题的关键. 23. 已知反比例函数 的图象与正比例函数的图象交于点，点 是线段 上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点 作 轴的垂线与 的图象交于点 ，当线段时，求点 的坐标； （3）如图2，将点A绕点 顺时针旋转 得到点 ，当点 恰好落在 的图象上时，求点 的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点 作 轴，过点 作于点 ，过点 作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入 得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点 作 轴，过点 作于点 ，过点 作于点， ， 点 绕点 顺时针旋转 ， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 24. 对于初中数学“几何与图形”这一部分的学习，通过对矩形纸片的剪拼，旋转等“图形的变化”，可以整合初中所学数学知识，从而深化对定义、定理的理解．下面是王老师在数学课上设计的问题，请你解答： （1）观察发现：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和，其中，．将 和按图2所示方式摆放，其中点B与F点重合（标记为点B）．当时，延长 交 于点G．猜想并判断四边形的形状为______．（直接写出结果，不说明理由．） （2）实践探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部，如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M， 与 交于点N．试猜想线段 和 的数量关系，并加以证明． （3）类比延伸：如图4，当时，过点A作于点H，若 ，，求的长． 【答案】（1）正方形 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论； （3）设 ， 的交点为M，过M作于G，则易得，点G是 的中点；利用三角函数知识可求得 的长，进而求得 的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【小问1详解】 解：结论：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴四边形为矩形． ∵， ∴四边形为正方形． 【小问2详解】 解：结论：． 理由：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵，即， ∴ ∵， ∴． 由（1）得 ， ∴． 【小问3详解】 解：如图：设 ， 的交点为M，过M作于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴点G是 的中点， 由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定 与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形 是解题的关键． 25. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 组成的封闭图形，点 ， 在矩形的边 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2， 米， 的垂直平分线与抛物线交于点 ，与 交于点 ，点 是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段 上确定点 ，使 ，用篱笆沿线段 ， 分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段 上取点 （不与 ， 重合），过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， ．用篱笆沿 ， 将线段 ， 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩12米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完12米材料，需确定 与 的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求12米材料恰好用完时 与 的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 ， 上．求出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1）坐标系见解析， （2） 的长为 米, 的长为 米 （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）在中， ，则 得到，即可求解； （3）由矩形周长，即可求解. 【小问1详解】 建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是 的垂直平分线，且 ， ∴点 的坐标为， ， ∴点 的坐标为， ∵点 是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 点在抛物线上， ∴设点 的坐标为 ，交 轴于点 ， ， ， ∵在中，， ， ， 根据题息， 得 ， 解得：(不符合题意，舍去)， ， ， 答： 的长为 米， 的长为 米； 【小问3详解】 如图矩形灯带为， 由点的坐标得， 设直线 的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线 的解析式为， 同理 的表达式分别为：， 设点，， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $