精品解析：上海市华东理工大学附属闵行科技高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025学年第二学期期中考试高一数学试卷 满分分值：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______． 2. 已知，，若，则实数______． 3. 已知角的终边经过点，则______. 4. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形弧长为__________． 5. 已知，则______． 6. 已知，则______ 7. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 8. 设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 9. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 10. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 12. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）． 13. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 16. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17－19题每题14分，第20－21每题18分）. 17. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 18. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若，的面积为，求. 19. 已知． （1）求函数的最小正周期，并求方程的解集； （2）若关于的方程，上有解，求实数的取值范围． 20. 设向量． （1）求的单调减区间； （2）在中，若角A满足，且边，求三角形周长的最大值； （3）将图象向右平移个单位，向下平移个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有30个最大值，求实数的取值范围． 21. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试高一数学试卷 满分分值：150分 考试时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切型函数周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 2. 已知，，若，则实数______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，解得. 3. 已知角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由三角函数的定义可直接求得. 【详解】解：∵角的终边经过点， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 4. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把角度化为弧度，然后由弧长公式计算． 【详解】， 所以弧长为． 故答案为：． 5. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 6. 已知，则______ 【答案】4 【解析】 【详解】已知，因此．对所求分式的分子分母同除以得， 代入得到． 7. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 8. 设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得共线，推得，再利用二倍角公式计算即得. 【详解】由题意可知，，因，则， 解得，则 . 故答案为：. 9. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，得到， ∵的图象关于轴对称， ∴是偶函数， ∴，，即，， ∵， ∴． 10. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 12. 已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据点的广义坐标的几何意义及向量的线性运算与数量积运算分别判断即可. 【详解】由题意：，， 对于①：设为中点， 所以， 所以线段的中点的广义坐标为，故①正确； 对于②，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时， ，两点间的距离为，否则距离不为，②错误； 对于③：向量平行于向量，即，， 即， 则，故③正确； 对于④：向量垂直于向量， 即， 则， 化简可得， 故④不一定成立； 故答案为：①③. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）． 13. 如图，在中，是的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的中点， 所以， 所以． 故选：D. 14. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，所以三角形是直角三角形. 故选：B 15. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，函数的最小正周期为，所以选项A错误； 对于B，， 所以直线不是图象的一条对称轴，所以选项B错误； 对于C，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，所以选项C正确； 对于D，，所以选项D错误. 16. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17－19题每题14分，第20－21每题18分）. 17. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 18. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及二倍角公式即可求解， （2）根据面积公式可得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由已知及正弦定理可得. 因为， 所以， 即. 又，所以， 则. 因为，所以，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 故. 因为，所以. 由余弦定理得， 故. 19. 已知． （1）求函数的最小正周期，并求方程的解集； （2）若关于的方程，上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）π， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正弦型函数的周期性、零点求解，以及给定区间上值域和方程有解问题. （1）利用周期公式和正弦函数零点性质求解即可； （2）将求实数的取值范围的问题，转化为求正弦型函数在给定闭区间值域的问题， 利用正弦函数的性质求出值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意得，所以函数的最小正周期为π， 因为，由正弦函数性质可得，， 所以方程的解集为. 【小问2详解】 解：由，可得， 即，由，可得， 则，，即. 所以的取值范围为． 20. 设向量． （1）求的单调减区间； （2）在中，若角A满足，且边，求三角形周长的最大值； （3）将图象向右平移个单位，向下平移个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有30个最大值，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示及辅助角公式得到，再通过整体代入即可求解； （2）由（1）求得，再由余弦定理及基本不等式求得范围，即可求解； （3）由伸缩平移变换得到，结合正弦函数轴右侧及左侧第15个最大值点构造不等式求解即可. 【小问1详解】 由， 解得， 所以的单调减区间为． 【小问2详解】 由， 所以，所以，所以， 根据余弦定理，， 则 得，当且仅当取等， 所以周长最大值为. 【小问3详解】 将图象向右平移个单位，向下平移个单位， 可得：，再将其图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍 可得：，因为， 又在轴右侧的第15个最大值点为， 在轴左侧的第15个最大值点为， 所以，又，解得：. 21. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $