第一章整式的乘除 提优测评卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学整式的乘除单元提优测评卷，融合2025年多地中考真题及创新题型，覆盖整式运算、乘法公式等核心知识点，适配单元复习，注重数学抽象与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平方差公式（第1题）、整式运算（第2题）|融合2025年中考真题（如第2题泸州中考题）| |填空题|8/24|完全平方（第11题）、新定义运算（第15题）|设置新定义问题（二阶行列式）及数学文化（杨辉三角，第18题）| |解答题|8/66|乘法公式应用（第19题）、代数推理（第25题）|材料阅读题（第21题）结合问题解决，培养推理意识与应用能力|

第一章 整式的乘除 提优测评卷 用时:120分钟总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列算式不能运用平方差公式计算的是( ). A. (x+a)(x-a) B. (x+a)(-a+x) C. (a+b)(-a-b) D. (-x-b)(x-b) 2.(2025·泸州中考)下列运算正确的是( ). A. 4a-3a=1 B. C. D. 3.(2025·德阳中考)下列各式计算正确的是( ). A. 2a+3b=5ab B. -(a+3)=-a+3 C. - 2×3a=-6a D. 4.下列计算正确的是( ). A. B. C. D. 5.(2025·陕西西安交大附中期中)如图所示，用长为b、宽为a、面积为 的四个长方形拼成一个“回形”正方形，阴影部分小正方形的面积为16.则长方形的周长为( ). A. 4.5 B. 16 C. 4 D. 10 6.由多项式乘法可得 即得等式①(a+b)· 我们把等式①叫作多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行变形正确的是( ). A. B. C. D. 7.如图，下列代数式符合图中运算关系的是( ). A. a B. C. a²b D. a 0.5 3 b 0.25 3 运算结果 1 3 8.已知 则 的值是( ). A. 2 B. C. 3 D. 9.(2025·浙江杭州滨江区期末)若实数x 满足 则 的值为( ). A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 10.(2025·重庆中考)已知整式.M: 其中为自然数，n 为正整数，且 下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为 ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个.其中正确的个数是( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2025·成都中考)多项式 加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可). 12.(2025·河北邢台期末)已知 且M·N+P 的值与y无关,则a= . 13.(2025·陕西西安交大附中期中)已知 则代数 的值是 . 14.利用( 可求某些整式的最值.例如， 由 0知，当x=1时，多项式 有最小值2.对于多项式 ,当x= 时,有最小值是 . 15.中考新考法 新定义问题 4个数a，b，c，d 排列成我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为 若 则x= . 16.(2024·四川成都天府七中期中)已知 则 17.(2025·广东深圳龙岗区期末)如图,正方形ABCD 和正方形AEFG 的面积和为15,D,A,E 三点共线且DE=5，则图中阴影部分的面积为 . 18.如图是我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)”(n=1,2,3,4,…)的展开式的系数规律(按a 的次数由大到小的顺序)，请依据上述规律，写出 的展开式中含有 x²024项的系数是 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)计算: (2)(x+2y-z)(x-2y+z). 20.(6分)(2025·四川成都青羊区期中)已知 (1)①求 2m-n的值; ②计算 的结果. (2)若 求 的值. 21.(8分)[材料阅读] 利用两数和(差)的完全平方公式可以解决很多数学问题. 例:若x满足(9-x)(x-4)=4,求的值. 解:设9-x=a,x-4=b,则 请仿照上面的方法求解下面问题： [初步应用](1)已知 则 [问题解决] 求(n-2022)(2023-n); [拓展延伸](3)已知正方形ABCD 的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1,CF=3,长方形 EMFD 的面积是15，分别以MF，DF 为边长作正方形，求阴影部分的面积. 22.(8分)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则是两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和.它给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)系数的规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应的展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应 的展开式中的系数等. (1)根据上面的规律，写出的展开式； (2)利用上面的规律计算： 23.(8分)(2024·淮北三模)发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数. 如： 160是20的8倍； 640是20的32倍. (1)我们知道32可以写成3×10+2,那么十位数字为1，个位数字为a 的两位数可表示为 ； (2)若(1)中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则 (3)设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y(0<x<10,0≤y<10),且x，y为整数，请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确. 24.(8分)我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗?这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，解答问题. (1)请根据上述规律填空： (2)我们知道，任何一个两位数(个数上的数字为n，十位上的数字为m都可以表示为10m+n,根据上述规律用含m，n的代数式表示的结果，并用所学知识说明你的结论的正确性. 25.(10分)规定两数a，b之间的一种运算记作a※b，如果 ,那么a※b=c.例如：因为 所以3※9=2. (1)根据上述规定,填空:2※16= , ※36=-2. (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ※4，小明给出了如下的证明： 设 则 即 所以 即3※4=x, 所以 ※4. 请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①试说明:5※7+5※9=5※63; ②猜想: ※ ※ ※ (结果化成最简形式). 26.(12分) (2025·陕西宝鸡渭滨区期末)王老师在讲完乘法公式 的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式 的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为 所以当x=-2时， 的值最小，最小值是0， 所以 所以当 时， 的值最小，最小值是1， 所以 的最小值是1. 依据上述方法，解决下列问题 (1)当x= 时, 有最小值是 ； (2)多项式 有最 (填“大”或“小”)值，该值为 ； (3)已知 求y+x的最值； (4)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足 求 的周长. 1. C [解析]A.原式 故该选项不符合题意； B.原式故该选项不符合题意； C.不能运用平方差公式，故该选项符合题意； D.原式故该选项不符合题意.故选 C. 2. C 3. C [解析]A. 2a与3b的字母部分不同，不属于同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B.-(a+3)=-a-3,故本选项的计算错误; C.-2×3a=-6a,故本选项的计算正确; 故本选项的计算错误.故选C. 4. C 5. D[解析]由题意,得 ∴a+b=5或a+b=-5(舍去), ∴长方形的周长=2(a+b)=10.故选 D. 6. B 7. B 8. C [解析]∵ 20×50=1000=10³,∴a+2b=3, 故选 C. 9. B [解析]: =2026. 故选 B. 10. C [解析]当n=1时, 当 时,整式M为4x, 当a₀>0时，整式M不可能为单项式， 当n>1时,∵a₁,a₂,…,an为正整数, ∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当n=3时, 当 时， 则a₁,a₂,a₃中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为 当 时， 则 ，故会有一种情况，对应的整式M为 当a₀>1时, 与a₁,a₂,…,aₙ 为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式M的和为 故②错误； ∵多项式为二次三项式，∴n=2， ∵多项式为三项式，故a₀≠0， 当a₀=1时, 则有 两种， 两种都满足条件， 当a₀=2时, 则有 一种， 满足条件； 当a₀>2时, 与a₁,a₂,…, an为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有 3个，故③正确，其中正确的个数是2.故选 C. 11.4x(答案不唯一)[解析]由题意得，加上的单项式可以为4x，则 (答案不唯一). 12.-5 13.5 [解析] 0+5=5. [解析] ∴当 时， 1有最小值 [解析]∵ ∴(x-2)(x-2)-(x+3)(x+1)=13, 即 ∴-8x=12,解得 16.10 [解析]∵ 17.10 18.-4052 19.(1)原式 (2)原式=[x+(2y-z)][x-(2y-z)]=x²-(2y- 20 即 2m-n=3. ,即2m+n=5, =64×(-1)=-64. 21.(1)22 [解析]∵ ∵a²+b²=56,∴56+2ab=100,∴ab=22. (2)设n-2022=a,2023-n=b, 则 a+b=(n-2022)+(2023-n)=1, ∴2ab=1-11=-10, (3)由题意得,长方形 EMFD 的长DE=a=x-1,宽DF=b=x-3,则有a-b=2, 由题意得DE·DF=(x-1)(x-3)=15,即 ab=15, ∴a+b=8或a+b=-8(舍去). ∴阴影部分的面积为( b)(a-b)=8×2=16, 故阴影部分的面积为16. 10× 23.(1)10+a (2)2[解析]由该两位数的平方与a 的平方的差是20的7 倍可得解得a=2. (3)一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数这个结论正确.理由如下： 又0<x<10,0≤y<10,且x,y为整数, 是正整数， 是20的倍数. 24.(1)(49+9)×40+9² =2401 因为 所以 [解析]∵20=16=2⁴,∴2※16=4. ∵a※36=-2,∴a⁻²=36, (2)①∵设5※7=x,5※9=y, ∴5ˣ=7,5ʸ=9,∴5ˣ×5ʸ=7×9=63, ∴5※63=x+y, 即5※7+5※9=5※63. 26.(1)-3 -24 [解析] ∴当x=-3时, 的值最小，最小值是0， .当 时， 24的值最小，最小值是-24， 的最小值是-24. (2)大 19 [解析] ∴当x=1时, 的值最大，最大值是0， ∴当 时， 19的值最大，最大值是19. ∴当x=2时,(x-2)²的值最小,最小值是0, ∴当( 时， 24的值最小，最小值是-24， ∴y+x的最小值是-24. ∴边长c的范围为4-1<c<4+1,即3<c<5. ∵a,b,c都是正整数,∴边长c 的值为4,则△ABC 的周长为1+4+4=9. 学科网（北京）股份有限公司 $