精品解析：河南省新乡市第一中学2025-2026学年　九年级下学期数学期中试题

2026年河南省普通高中招生考试试卷 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分 ，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 四个实数0、、、2中，最小的数是　　 A. 0 B. C. D. 2 2. 2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角三角形中，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为．则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上） 11. 请写出一个随的减小而增大的一次函数的表达式：______． 12. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）． 13. 实数a在数轴的位置如图所示，则_________． 14. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 15. 矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为___________. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）． （2）. 17. 某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数． （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 18. 如图，在中，是边上一点，且． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点． （2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系． 19. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，） 20. 如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，，求的长． 21. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+． （1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标； （2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形； （3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）； ①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由； ②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 23. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在（其中是一个可以变化的角）中，，以为边在的下方作等边，求的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将逆时针旋转得到，连接，当点A落在上时，此题可解（如图2）． （1）请你回答：的最大值是 ． （2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰．边，P为内部一点，则的最小值是 ．（结果可以不化简）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省普通高中招生考试试卷 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分 ，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 四个实数0、、、2中，最小的数是　　 A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数大小比较的方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】根据实数比较大小的方法，可得， ﹣3.14＜0＜＜2， 所以最小的数是﹣3.14， 故选C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，要熟练掌握比较方法，解答此题的关键是要明确实数大小比较的方法，即：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】A、若，，则，利用了平行公理，正确； B、若，则，利用了内错角相等，两直线平行，正确； C、，不能判断，错误； D、若，则，利用同旁内角互补，两直线平行，正确． 4. 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B． 故选B． 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故原计算错误，该选项不符合题意； B、，故原计算正确，该选项符合题意； C、，故原计算错误，该选项不符合题意； D、，故原计算错误，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关计算法则．合并同类项法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：（m、n都为正整数）；积的乘方：（n为正整数）；完全平方公式：． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，根据勾股定理可得BC=6，又因DE垂直平分AC，∠ACB=90°，可得DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得DE=BC=3， 【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10， 勾股定理可得BC=＝6， 又∵DE垂直平分AC，∠ACB=90°， ∴DE为△ABC的中位线， 根据三角形的中位线定理DE=BC=3， 故答案选D. 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，掌握勾股定理，三角形的中位线定理是解题关键． 7. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率． 详解：令3张 用A1，A2，A3，表示， 用B表示， 画树状图为： ， 一共有12种可能的情况，其中两张卡片正面图案相同的有6种情况， 故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是：． 故选D． 点睛：此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 10. 如图，在直角三角形中，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为．则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，设正方形的边长为，当移动的距离时，如图1，；当移动的距离时，如图2，，根据函数关系式即可得到结论； 【详解】解：∵在直角三角形中，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为， 如图1当移动的距离时， ； 当移动的距离时，如图2， ， ∴关于的函数图象大致为C选项， 故选C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型． 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上） 11. 请写出一个随的减小而增大的一次函数的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，结合一次函数的性质解答即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】设一次函数的表达式为， ∵随的减小而增大， ∴， 则可以取， ∴一次函数的表达式为， 故答案为：．（答案不唯一） 12. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）． 【答案】x﹣y（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可. 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 而1﹣1＝0， ∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y． 故答案为：x﹣y（答案不唯一）. 【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键. 13. 实数a在数轴的位置如图所示，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值．根据数轴可知，然后利用绝对值的意义即可求解． 【详解】解：由图可知， ∴， 则， 故答案为：． 14. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥2． 【解析】 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围． 【详解】解：2x﹣4≥0 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件. 15. 矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为___________. 【答案】3或1.2 【解析】 【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8， ∴BD=10， ∵△PBE∽△DBC， ∴∠PBE=∠DBC， ∴点P在BD上， 如图1，DP=DA=8时，BP=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=2：10， ∴PE：6=2：10， ∴PE=1.2； 如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=1：2， ∴PE：6=1：2， ∴PE=3； 综上，PE的长为1.2或3， 故答案为1.2或3． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）． （2）. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数． （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 【答案】 （1）直方图如图所示： ； （2）144°； （3）这次测试成绩的中位数的等第是良好； （4）估计该校获得优秀的学生有300人 【解析】 【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题； （2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可； （3）根据中位数的定义判断即可； （4）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）30÷15%＝200（人）， 200﹣30﹣80﹣40＝50（人）， （2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°； （3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间， ∴这次测试成绩的中位数的等第是良好； （4）1500×＝300（人）， 答：估计该校获得优秀的学生有300人． 【点睛】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图，在中，是边上一点，且． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点． （2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系． 【答案】 （1）如图，①即为所求作的的角平分线， ②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）如图，连接， 平分 由作图可知： 是的中位线， 【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 19. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，） 【答案】51 【解析】 【分析】由三角函数求出，得出，在中，由三角函数得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：炎帝塑像DE的高度约为51m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中． 20. 如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，，求的长． 【答案】 （1）证明：连接OD，如图： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∴∠B=∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DE是切线， ∴OD⊥DE， ∴AC⊥DE； （2）4.8． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立； （2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度． 【详解】（1）略； （2）连接AD，如（1）图， ∵AB为直径，AB=AC， ∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线， ∴CD=BD=，∠ADC=90°， ∵AB=AC=， 由勾股定理，得：， ∵， ∴； 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度． 21. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+． （1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标； （2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形； （3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）； ①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由； ②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值． 【答案】（1）（1，0）；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）①（0，3）；②3． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到B，A的坐标，解方程组得到抛物线的函数关系式，令y=0，于是得到C的坐标； （2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到结论； （3）①根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； ②根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：（1）在中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6， ∴B（0，），A（﹣6，0）， 把B（0，），A（﹣6，0）代入得：， ∴， ∴抛物线的函数关系式为：， 令y=0，则=0， ∴x1=﹣6，x2=1， ∴C（1，0）； （2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点， ∴D（m，）， 当DE为底时，作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=， ∴=，解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去）， ∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形； （3）①存在， ∵ON=OM′=4，OB=， ∵∠NOP=∠BON， ∴当△NOP∽△BON时，， ∴不变，即OP==3， ∴P（0，3）； ②∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，， ∴NP=NB， ∴（NA+NB）的最小值=NA+NP， ∴此时N，A，P三点共线， ∴（NA+NB）的最小值==． 22. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【答案】(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数); (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元; (3)当时，， 解得：，， ∴当时，， 当时，， ∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润为2200元，当售价不低于51元不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元． 【解析】 【详解】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件,得 （0＜x≤15且x为整数）； （2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润. （3）当时，，解得：,． 当时，，当时，． 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． （1）（且为整数）； （2）． ∵a=-10＜0， ∴当x=5.5时,y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15且x为整数， ∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）略 23. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在（其中是一个可以变化的角）中，，以为边在的下方作等边，求的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将逆时针旋转得到，连接，当点A落在上时，此题可解（如图2）． （1）请你回答：的最大值是 ． （2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰．边，P为内部一点，则的最小值是 ．（结果可以不化简）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转得到，有是等边三角形，当点三点共线时，，最大即可； （2）由旋转得到结论，只有，四点共线时，（）最短，即线段最短，根据勾股定理，即可． 【小问1详解】 解：∵逆时针旋转得到， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中，，即， 则当点三点共线时，， 即， 即的最大值是：6； 【小问2详解】 解：如图， ∵是等腰三角形，∴． 以B为中心，将逆时针旋转得到．则，， ∴． ∵当四点共线时，最短，即线段最短， ∴， ∴长度即为所求． 过作延长线于D． ∵（由旋转可知）， ∴． ∵， ∴， ∴； 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $