2026年中考数学专题模块复习一图形的相似

**基本信息** 以图形相似为核心，构建“概念-判定-性质-综合应用”逻辑链，通过分类讨论、辅助线构造等方法实现从基础到动态问题的系统性突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与判定|单选1-3|比例线段定义、相似判定（AA/SAS）、分类讨论|从比例线段到相似判定，形成概念到判定的认知链| |性质应用|单选4-6、填空9-12|面积比与相似比关系、平移性质、中线性质|以相似性质为核心，结合平移、中线等几何要素拓展应用| |综合与动态问题|单选7-8、填空13、解答14-18|旋转构造全等、动点轨迹分析、折叠对称|整合相似与动态几何、图形变换，培养数学思维与问题解决能力|

2026中考数学专题模块复习一 图形的相似 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 4．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　）    A．2 B．3 C． D． 5．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则________． 10．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________ 11．如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 12．如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为______． 13．如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为（点在边上）． （1）当点为的中点时，_____； （2）当点为的三等分点时，_____． 三、解答题 14．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为24，求各边的长． 15．如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，和的顶点A重合，，． (1)若，，求的长； (2)连接，求证：． 17．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 18．如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 4．A 【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得． 【详解】解：如图，    ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线， ∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'， ∴A′EAB， ∴△DA′E∽△DAB， 则， 即， 解得A′D=2或A′D=-（舍）， 故选A． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 5．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ，，， ， 点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为 ∴， ，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， 解得， ， 当四边形是菱形时，的值为； 故选A． 6．A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°， ∵∠PAQ＝45°， ∴∠BAP+∠QAD =45°， ∵BM是正方形的外角的平分线， ∴∠MBC=135°， ∴∠BAP+∠APB=45°， ∴∠QAD＝∠APB， ∴②正确； ∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线， ∴∠ABP=∠QDA=135°， ∵∠QAD＝∠APB， ∴△ABP∽△QDA， ∴BP：DA=BA：DQ， ∴BP•DQ＝， ∴①错误； ∵△ABP∽△QDA， ∴BP：DA=BA：DQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， ∴BP：BC=DC：DQ， ∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线， ∴∠PBC=∠QDC=45°， ∴△BPC∽△DCQ， ∴∠BCP=∠DQC， ∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°. ∴③正确； 如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接PF．则△ABF≌△ADQ． ∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD． ∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°． ∴∠PAF=∠PAQ． 又∵AP=AP， ∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ． ∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°． ∴在Rt△BPF中，， ∴． ∴④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质．熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解题的关键. 9． 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 10．或． 【分析】先画草图借草图分析．如图 重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值． 【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论： 第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点． ∵∠BCA=90° ∴∠MNC=∠BCA 又由对折知：∠MCN=∠A ∴△MCN∽△ABC 由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得 （㎝）； 第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点． ∵∠C=90° ∴∠C=∠NMB 又由对折知∠A=∠NBM ∴△ABC∽△BNM ∴ 又由对折知 ∴（㎝）． 综上分析得MN=㎝或㎝． 故答案为：或． 【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之． 11．81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 12．24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 13． 或 【分析】（1）连接，根据三线合一和折叠得到，，进而得到，再证明是等边三角形即可得到即可求出结果； （2）分两种情况，和，用k表示和，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示， ∵点D为的中点，为等边三角形， ∴，，， ∵将等边折叠，使点A与点D重合，折痕为， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ , ∴； 故答案为：； （2）当时， 设， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴； 当时， 设， 同上一种情况得： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用折叠得出等边三角形是解第一问的关键，利用相似三角形的周长比等于相似比，再适当的用k表示边是解第二问的关键. 14．(1) (2) 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立方程求解，进而代入求出答案． 【详解】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 16．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等证明，再由对应边成比例即可求解； （2）由，得到，变形为，再由夹角相等，即可证明相似． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴; （2）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 18．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $