专题：相似-2026年中考数学提优练习（江苏南京适用）

专题：相似-2026年中考数学提优练习（江苏南京适用） 一、单选题 1．已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．如图，中，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，则的值（    ） A． B． C． D． 4．如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径（），测得的长度为，则零件的内孔直径的长度为（    ）． A．18 B．12 C．10 D．8 6．如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 7．为了验证光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点在上，且，连接交点，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 9．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 10．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在反比例函数，的图像上，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果，那么__________． 12．如图是某校音乐社团购买的一种乐器．乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D之间的距离为________．（结果精确到） 13．如图，树在路灯O的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离，则树影________． 14．如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 15．如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为，C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接．当所在直线与所在直线垂直时，点P的坐标为_____． 三、解答题 17．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 19．已知，，，，． (1)求和的相似比． (2)求，的长． (3)若，分别为和的高，求的值． (4)若中的平分线长为a，求中的平分线的长． 20．如图1，在中，，点，分别在边，上(不与端点重合)，，垂足为． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的长； ②如图2，若，直接写出的值． 21．在中，，，，点在线段上运动，过点作的垂线交线段（如图）或线段的延长线（如图）于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点与点重合时，求的长； (3)若点从点以每秒个单位长的速度向点运动，求点与点的距离不大于的时长； (4)当为等腰三角形时，直接写出的长． 22．如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点G，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题：相似-2026年中考数学提优练习（江苏南京适用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A B C D A C 1．A 【分析】本题可根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中， 将，代入，得． 2．C 【分析】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，根据题意得出四边形是平行四边形，则，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∵，则 ∴ ∴ 故选：C． 4．B 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误，符合题意 故选：B． 5．A 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 6．B 【分析】先利用正方形的性质和证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 得（负值舍去）， ∴． 7．C 【分析】根据题意易证，然后利用相似三角形的高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知，，到点的距离为，，， ∴， ∴，即， ∴． 8．D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明，可以判定选项A，C错误，若，则，显然，推出选项B 错误，证明选项D正确即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∴，故选项C错误，不符合题意； 若，即， ∵， ∴， ∴， 显然，故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了折叠几何图形的性质和中位线定理的应用，通过折叠可判断，根据平行线分线段成比例可得出，，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D， ∴，， ∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质以及勾股定理．点、落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积，证，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、， 点在反比例函数上，点在上， ，， 又，， ，， ， ， ， 设，则，， 在中， 故选：． 11．/0.6 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例关系，设参数代入计算即可． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．根据黄金分割点的定义，得解答即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，得， 解得， 故， 故答案为：． 13．6 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：由题意知，， 又， ， ， ， 解得， 故答案为：6． 14．/ 【分析】本题考查位似图形的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．先根据垂径定理求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，然后根据位似图形的性质得到与相似，最后根据相似三角形的性质求出的长度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与交相切， ∴， ∴， 即：， 解得：． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造平行线是解题的关键． 延长交于点G，过点D作交于点H，则，设，则，再由平行线分线段成比例定理得，得，从而，再证明，得，由此求得x的值，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点D作交于点H， 则， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 16．或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似． 延长交于点F，求出点C的坐标为，得出，，，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，设，则，得出，求出，，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F，如图所示： 则， ∴， ∵点C为的中点，A、B的坐标分别为、， ∴点C的坐标为：， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，， 经检验或是原方程的解， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 17．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 18．水塔的高度是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意得，进而得，可得，最后，代入相关数据计算即可． 【详解】解：能算出水塔的高度，；理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：， ∴水塔的高度是． 19．(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）直接利用相似三角形的性质得出相似比； （2）直接利用相似三角形的性质得出，的长； （3）直接利用相似三角形的性质得出对应高的比等于相似比； （4）直接利用相似三角形的性质得出对应角平分线的比等于相似比． 【详解】（1）解：∵， ∴和的相似比为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵，，分别为和的高， ∴； （4）解：设中的平分线的长是b， ∵，中的平分线长为a， ∴， ∴， ∴中的平分线的长是． 20．(1)证明见详解； (2)①；② 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，同时考查了线段比例的计算和参数法在几何计算中的应用． （1）借助直角三角形两锐角互余，由推出与互余，再结合得到与互余，根据同角的余角相等即可证明角相等． （2）①过点作构造平行线，利用平行线判定与相似，结合的比例关系求出、和的长度，再结合（1）的结论，利用两个直角证明与相似，最后根据相似三角形对应边成比例计算出相关线段的长度． ②过点作，由且确定为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，设为参数，依次表示出、、、、和的长度，再在中运用勾股定理求出的长度，最后通过参数法计算与的比值，消去参数得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵，， ∴，解得，， ∴． 由（1）得， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 21．(1)证明见解析； (2)的长为； (3)点与点的距离不大于的时长为秒； (4)的长为或． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （）说明，再结合即可证明结论； （）先用勾股定理求得，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （）分点在线段上和延长线上两种情况，分别求得所需的时间，然后作差即可； （）分点在线段上和延长线上两种情况，分别根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，， 由（）知，， 当点与点重合时，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：当点在线段上时，若，则， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴的运动时长为（秒）； 当点在线段延长线上时，若，则， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴的运动时长为（秒）； 综上可得：点与点的距离不大于的时长为：（秒）； （4）解：如图，当点在线段上时， ∵为钝角， ∴当为等腰三角形时，只可能是， 由（）知，， ∴， ∴，解得， ∴； 如图，当点在线段延长线上时，若为等腰三角形， ∵为钝角， ∴当为等腰三角形时，只可能是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或． 22．（1）30，；（2），理由见解析；（3）的长为2或 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识点，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）先把绕B顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，进一步可得，，，从而可得，最后利用含角的直角三角形的性质可得结论； （3）需分情况讨论，当点P在线段上时，记与交于点H，先证明，可得，设，（），则，可得，再证明，再进一步解答即可；当点P在线段上时，延长交于点H，同理可得，设，（），可得，进一步可得，同理可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）四边形为菱形， ，． ， ∴为等边三角形． ∵点P与线段的中点O重合， ∴，． 故答案为：30，； （2）， 理由：如图，把绕B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵点E在线段上，且，， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3）如图，当点P在线段上时，记与交于点H， 由旋转得，，． ∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 设，（），则， ∴． 又， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ； 如图，当点P在线段上时，延长交于点H， 同理可得：，， ∴， ， ． 设，（），而，则， ， ∴． ， ∴． 同理：，， ． ∵为等边三角形， ∴， ， 综上：的长为2或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $