2026年九年级中考数学二轮复习专题：代数综合 复习讲义

专题一 代数综合 【考前概览】 代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点. 掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键． 在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 【方法点拨】 解决代数综合题应注意以下几点： （1）重视知识关联，梳理函数、方程、不等式等知识间的内在联系，通过相互转化寻找解题思路 . （2）加强计算训练，保证计算准确，同时结合逻辑推理，有条理地推导结论，书写步骤完整规范. （3）面对复杂代数表达式，尝试因式分解、换元等方法化简，将问题转化为熟悉的形式. （4）遇到含参数问题，依据参数范围或条件分类讨论，全面分 析各种情况. （5）熟练运用函数与方程、转化与化归等数学思想方法，提升解题效率. 【重点题型】 类型一 方程与不等式综合 例1已知方程组的解满足 求a的取值范围． 点拨：本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题． 解： ①×3－②×2得：y＝13a－4 ①×4－②×3得：x＝18a－5 由题意令x＞0，y＞0得： ∴. 【总结】 在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解． 变式：某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元. （1） A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件. 根据题意得 解得 答:A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件. （2）设购进m件A商品，则购进(60-m)件B商品. 根据题意得 解得19≤m≤20 ∴m的最大值为20. 答:购进A商品的件数最多为20件 类型二 函数与不等式综合 例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a<0)与反比例函数 y=(k≠0)交于 A(-m，3m)，B(4，-3)两点，与 y轴交于点 C，连接 OA，OB. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求△AOB 的面积; (3)请根据图象直接写出不等式k/x<ax+b 的解集. 点拨：本题考查了函数解析式的求法、三角形的面积以及函数与不等式间的关系． (1) 利用待定系数法求函数的解析式． (2)观察图可知，S△AOB=S△AOC+S△BOC . (3)不等式的解集是反比例函数图象在 一次函数图象的下方时对应的x的取值范围． 解:(1)因为点B(4，-3)在反比例函数y=的图像上 ∴-3=，∴k=-12. ∴反比例函数的解析式为 y=- ∵A(-m，3m)在反比例函数y=-的图象上， ∴3m=-，解得m=2或-2(负舍) 所以点A的坐标为(-2，6). 因为点 A，B 在一次函数 y=ax+b 的图象上，把点A(-2，6)，B(4，-3)分别代入，得 所以一次函数的解析式为 y=- x+3. (2)因为点C为直线 AB与y轴的交点，所以OC=3. ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC (3)由图可知，当x＜-2或0＜x＜4时，<ax+b. 所以，不等式<ax+b 的解集为x＜-2或0＜x＜4. 【总结】 一次函数y1=k1x+b，反比例函数y2=: ①当k1x+b＞，即y1＞y2时，表示一次函数的图象在反比例函数的图象上方，据此找到对应x的范围； ②当k1x+b＜，即y1＜y2时，表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方，据此找到对应x的范围. 变式：如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3). (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式2x＞ax＋4的解集. 解：(1)∵函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)， (2) 由图象可知，不等式2x＞ax＋4的解集为x＞ 类型三 函数综合 例3 已知函数和y＝kx+1(k≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 点拨：本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数． 解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)， ∴ 解得 (2)将代入y＝kx+1，消去y，得． ∵k≠0， ∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1+8k． ∴1+8k≥0，解得k≥． ∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点． 【总结】 两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断． 若△＞0，两图象有两个公共点； 若△＝0，两图象有一个公共点； 若△＜0，两图象没有公共点． 变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，以C为顶点的抛物线M:y=ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合. (1) 求点A，B的坐标. (2)求b，c的值. 解：直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x=0时，代入得y=6，点B的坐标为(0,6). 当y=0时，代入得x=-8， 所以点A的坐标为(-8,0). 设点C的坐标为(m，m+6)，则可设抛物线M的函数解 析式为y=a(x-m)2+m+6. 因为抛物线M经过点B，将B(0,6)代入得am2+m+6=6. 因为m≠0，所以am=-,即m=-. 将m=-代入y=a(x-m)2+m+6，整理得y=ax2+x+6，所以b=，c=6. 类型四 函数与方程综合 例4 已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点． (1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点； (2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标； (3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小? 点拨：本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质． 解：(1)对于关于x的二次函数， 由于△＝(-m)2－4×1×， 所以此函数的图象与x轴没有交点． 对于关于x的二次函数， 由于△＝， 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点． 故图象经过A，B两点的二次函数为． (2)将A(-1，0)代入，得． 整理，得． 解之，得m＝0，或m＝2． ①当m＝0时，．令y＝0，得． 解这个方程，得，． 此时，B点的坐标是B(1，0)． ②当m＝2时，．令y＝0，得． 解这个方程，得x3＝-1，x4＝3． 此时，B点的坐标是B(3，0)． (3)当m＝0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小． 当m＝2时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小． 【总结】 从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解． 变式：已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0． （1）求证该方程有两个实数根； （2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式； 解：（1）证明：∵ △= (3m+1)2－4×m×3 =(3m－1)2. ∵ (3m－1)2≥0， ∴ △≥0， ∴ 原方程有两个实数根． （2）解：令y=0，那么 mx2+(3m+1)x+3=0. 解得 ，. ∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数， ∴m=1. ∴抛物线的表达式为. 类型五 与代数为主的综合题 例5 如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB． (1)求点B的坐标； (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． 点拨：(1)由∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标； (2)利用待定系数法可求出解析式； (3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点； (4)利用转化的方法列出关于点P的横坐标x的函数关系式求解． 解：(1)过点B作BG⊥x轴的垂线，由题意知∠AOB＝120°，OB=2，所以∠BOG=60°，OG=2cos60°=1，BG=2sin60°=，即B(1， ). (2)设抛物线的解析式为，代入点B(1，)，得．所以． (3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小． 设直线AB的解析式为，则 解得 因此直线AB的解析式为． 当时，． 因此点C的坐标为． (4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F． 设点P的横坐标为x． 则 ． 当时，△PAB的面积的最大值为，此时． 【总结】 本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法． 因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为就是利用了这一规律． 学科网（北京）股份有限公司 $