第3讲 代数式与整式(课本梳理精讲)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

忽R 数学·精讲本 (2)求这两个整数的平均数，如2+3=2.5； 者点⑥非负数及其性质 2 常见的 (3)对二次根式和平均数进行平方，如（万）2= (1)1al;(2)a2(或a的偶次幂)；(3)a(a≥0) 非负数 7,2.52=6.25,若二次根式的平方大于平均 数的平方，如7>6.25，则离较大的整数近， (1)非负数有最小值，最小值为0： 非负数 (2)几个非负数的和仍然是四 即√7离3较近，反之离较小的整数近 的性质 (3)若几个非负数的和等于0，则这几个非负数 3.若√a的整数部分为m,则其小数部分为√a-m. 都是2 如7的整数部分为2，小数部分为7-2. 答案P73 《实战演练·品方法》 例》（临沂）设m=5 1 -√45，则实数m所在的 则根据√189m=√3×3×3×7m=3√3×7m可 知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若 范围是 ( A.m<-5 B.-5<m<-4 30是大于1的整数，则n的最小值为 C.-4<m<-3 D.m>-3 最大值为 例2（随州）已知m为正整数，若√189m是整数， 温馨提示 请完成《精练本1》P4-6， 第3讲 代数式与整式 《考点梳理·夯基础》 答案73 考点①)代数式及其求值 3.代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代 1.代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连 入，计算求值； 接起来的式子.特别地，单独一个数或一个字母 (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式 是代数式. 的关系；②通过提公因式、公式法等，将所求 2.列代数式的基本模型 代数式变形后与已知代数式成倍数关系； ③把已知代数式看成一个整体代入求值： (1)原价a增加（减少）10%为工 ;原价 4.非负数的和：若几个非负数的和为0，则这几个 a的n倍多（少）m为an±m; 非负数分别为0，如： (2)原价a的八折为0.8a;按原价a提高x%后 (1)若a2+b2=0,则a=0,b=0; 再打七五折为2 (2)若lal+1b1=0,则a=0,b=0; (3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的 (3)若√a+√b=0,则a=0,b=0; 商品总价为3 元 (4)若a2+1b1+c=0,则a=0,b=0,c=0. 见业图标台抖音微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第一章数与式一2 考点②)整式的相关概念 如2a2b.2a3=(2×2)·a2+3.b=4ab. 由数或字母的积表示的式子.特别地，单独的一个 (2)单项式乘多项式：m(a+b)=⑨ 数或一个字母也是单项式，如2，a,mn (3)多项式乘多项式：(a+b)(c+d)=四 项 系数 单项式中的数字因数 系数次数为3+2=5 式 一个单项式中所有 岛 (4)乘法公式 次数 叫做五次单项式 字母的指数和 ①平方差公式：(a+b)(a-b)=▣ 几个单项式的和，如a+b2+2 多 项 多项式中每个单项式 分 次数项常数项 ②完全平方公式：(a±b)2=四 式 常数项 不含字母的项 3园内 叫做三次三项式 一拓展延伸> 次数 次数最高项的次数 ①常用的平方差公式变形： 整式 单项式和多项式统称为整式 (1)(b+a)(-b+a)=a2-b2; 所含字母相同，且相同字母的指数相同，如 同类项 (2)(-a-b)(a-b)=b2-a2. -2x和3x2 2%y ②常用的完全平方公式变形： 贵点③整式的运算 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; 1.整式的加减运算 (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (1)合并同类项：字母和字母的④ 不变； 同类项的固 相加减作为新的系数.如 (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab; 3xy2+2xy2=5xy2. (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab. (2)去括号法则：括号前为“+”，去括号后每一项 都不变号；括号前为“-”，去括号后每一项都 4.整式的除法 要变号 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别 如a+(b+c)=a+b+c, 相除作为商的因式，对于只在被除式里含有 a-(b-c)=a-b+c. 2.幂的运算(m,n为正整数) 的字母，则连同它的指数作为商的一个因 同底数幂相乘 am.a"=amtn 式.如4a2b÷2a=(4÷2)·a2-1·b=2ab. am÷a”=am-n 同底数幂相除 (2)多项式除以单项式：先用多项式的每一项除 (a≠0，且m>n) 以这个单项式，再把所得的商相加 幂的乘方 (am)=amn 积的乘方 (ab)=⑥ 贵点④因式分解 3.整式的乘法 1.基本方法 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂 (1)提公因式法：ma+mb-mc=3 分别7 ,对于只在一个单项式里含 d-6因式分解(a+b)(a-b): 整式乘法 有的字母，则连同它的⑧ 作为积的 (2)公式法 一个因式 a2 2ab+bB因武分餐(a±b)2. 整式乘法 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、◆ 数学·精讲本 一拓展延伸 (2)若没有公因式，可尝试公式法，如两项考虑 ①十字相乘法：x2+(p+q)x+p9=(x+p)(x+q). 4 公式，三项考虑固 ②分组分解法：a2+b2-c2+2ab=a2+2ab+b2 -c2=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c). 公式； (3)检查各因式分解是否彻底.注意：因式分解 2.一般步骤 的结果一定是几个整式的积的形式： (1)若有公因式，先提公因式； 答案P73 《实战演练·品方法》 例（荆州）若3-√2的整数部分为a,小数部分为 例2（乐山）若m2+n2+10=6m-2n,则m-n= b,则代数式(2+√2a)·b的值是 .温馨提示 请完成《精练本1》P7-9。 第4讲分式 《考点梳理·夯基础》 答案P73 考点①分式的概念与性质 约分.约分的结果必须是④ 分式， 1.概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B 固 分式是指分子与分母没有公因 中含有字母，那么式子合叫做分式，其中A叫做 式的分式 B (2)约分的关键是确定公因式： 分子，B叫做分母 ①分子、分母能分解因式的先分解因式： 2.分式8有意义的条件：回 ②取分子、分母中相同因式的最低次幂（数 字因式的最大公约数)的乘积作为公因式. 3.分式g的值为0的条件：2 2.通分 4.基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一 (1)定义：根据分式的基本性质，把几个异分母 个不等于0的整式，分式的值不变，即台-名：光 的分式分别化成与原来的分式相等的⑥ 的分式，叫做分式的通分 (C≠0，合-台产(C0),其中4，R.C是 (2)通分的关键是确定最简公分母： 整式 ①分子、分母能分解因式的先分解因式； 5.变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其 ②取各分母所有因式的最高次幂（数字因式 中任意两个，分式的值不变例如：号=-马6 的最小公倍数)的乘积作为公分母 3.加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分 考点②分式的运算 子相加减，即±2生色，异分母分式相加减。 1.约分 先通分，变为同分母的分式，再加减，即2±4 2 (1)定义：根据分式的基本性质，把一个分式的 al_bc±ad bc 分子与分母的3 约去，叫做分式的 ac ac ac 69 见业图廊合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、参考答案与解析 参考答案与解析 第一章数与式 第二章 方程（组）与不等式（组） 第1讲实数及其运算 第5讲一次方程（组）及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 工0②无限不循环小数③0④实数⑤大 ⑥互为相反数☑-a80⑨相等四原点 四0 □未知数☑未知数的值③b±c④bc 固6 回131410固6.5⑥0.3137大⑧绝对值 ⑥一718ax+b=0 ⑨最小公倍数0ax=b 四绝对值四0四减去四相反数☒正四负 因倒数2函b+a2☑a+(b+c)2四ba2四a(bc) 回x=。回两国1国消元因一元一次回代入 a 3网ab+ac团负数2正数图-1☒1 351 【实战演练·品方法】 实战演练·品方法】 例1 C例2B 例1B例2解：原式=12. 第6讲 元二次方程及其应用 第2讲数的开方及二次根式 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ①一②2③降次④直接开平方法 5配方法 □√a②3a③±8④8⑤46因数或因式 ⑥公式法☑因式分解法⑧两个不相等⑨两个相等 7a8-a9≥0> 血非负数20 【实战演练·品方法】 四没有 四 ·四c 例1B 【实战演练·品方法】 例2375 例1（√5-1）例2 27 300 /3×2×5×2×5 /3/300 [解析] 第7讲 分式方程及其应用 n n 【考点梳理·夯基础 300 是大于1的整数，心√ 3 -10n >1.n为正整数， 工未知数 ②最简公分母 ③最简公分母④增根 【实战演练·品方法】 n的值可以为3,12,75..n的最小值是3，最大值是75. 例1m>0且m≠1 例2D 第3讲代数式与整式 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 ▣a(1±10%)20.75a(1+x%)③(ax+by) 1> ②<③☒< ④x>b⑤a<x<b⑥> ④指数系数⑥ab☑相乘⑧指数 7<8≥9≤ 回ma+mb四ac+ad+bc+bd▣a2-b2回a2±2ab+b2 重难研析·理要点】 图m(a+b-c)4平方差固完全平方 典例 解：(1)设B款文化衫每件x元， 【实战演练·品方法】 例12[解析]1<√2<2，.1<3-√2<2. ,0-四解得：=0 根据题意可得500 3-√2的整数部分为a,小数部分为b, 经检验，x=40是原分式方程的解，并且符合题意， ∴a=1,b=3-√2-1=2-√2， x+10=50. 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元. (2+√2a)·b=(2+2)(2-√2)=2.故答案为2. (2)设购进A款文化衫a件，B款文化衫(300-a)件，根 例24[解析]：m2+n2+10=6m-2n, .∴.m+n+10-6m+2n=0. 北题意可得0十00测-8三146动： 即(m-3)2+(n+1)2=0, 解得275≤a≤280. .m=3,n=-1,∴m-n=3-(-1)=4. .a取正整数，.a=275,276,277,278,279,280 第4讲分式 ∴一共有六种方案。 【考点梳理·夯基础 (3)设购买资金W元 回B≠0②A=0且B≠0③公因式④最简⑤最简 w=50×0.7a+(40-m)(300-a) 回同分母回 图兴回 =(m-5)a+12000-300m. :(2)中所有购买方案所需资金相同， 【重难研析·理要点】 .w与a的取值无关，∴.m=5. 1 跟踪训练 典例2024 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题 跟踪训练 意，得厂x+y=30, 2 2 130x+25y=850,解得{x=20, 1y=10. 解：原式三+万÷二米+ x2-1 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件. x(x+1) (x+1)(x-1)=2 (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥 2·由J2（x一1)<x+1,可得该不等式 匙扣.依题意，得30m+25(80-m)≤2200，解得m≤40. x(x-1) 15x+3≥2x 设再次购进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 组的解集为-1≤x<3, 的总利润为w元， ∴.该不等式组的整数解为-10、1、2. 则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960. 当x=-1,0,1时，分式无意义，.x=2. 3>0,∴.0随m的增大而增大 把x=2代入得，原式= 1 2=2 ∴.当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960= 1080,此时80-m=80-40=40. 见此图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 73