福建福州市福清第二中学2025-2026学年高二下学期期中适应性练习数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷以导数、排列组合、概率统计等为核心，融入“绿水青山”植树、移动支付调查等现实情境及《孙子算经》、杨辉三角等文化素材，梯度覆盖基础运算到综合应用，体现数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数几何意义、排列组合（偶数三位数）、条件概率|《孙子算经》同余问题考查数学抽象| |多选|3/18|随机变量分布列、函数性质、杨辉三角|杨辉三角问题（11题）体现文化传承与推理意识| |填空|3/15|导数计算、条件概率（植物浇水）、函数最值|植物浇水问题（13题）考查条件概率应用| |解答|5/77|排列组合应用（6人拍照）、函数极值、移动支付统计|移动支付调查（18题）结合现实数据，考查数据观念与模型意识|

2025~2026学年第二学期期中适应性练习 高二数学 试卷（参考答案） 2026.4. 班级_________ 座号__________ 姓名___________________ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 【答案】B 【解题思路】根据分类加法和分步乘法计数原理，分类讨论，求出结果. 【解答过程】由题意可知，分为两种情况： 情况一：个位是0，则有不同的结果个； 情况二：个位不是0，则有不同结果个； 所以共有个； 故选：B. 3.如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，． 故选：D． 4. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天某中学高二年级1至6班共6个班级决定去马鼻镇3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ） A. 48 B. 36 C. 18 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】平均分成三组，再全排列即可求解. 【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有， 再分配到3个林场，共种方法， 故选：C. 5.的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 40 C. 60 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】由，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：C 6 .在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用相互独立事件、互斥事件及条件概率公式即可求出结果. 【详解】记事件E：在某次通电后有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换， 则，， 由条件概率公式可得． 故选：D． 7. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 即被8除得的余数为，结合选项可知只有2024被8除得的余数为. 故选：A 8.函数的两个极值点，满足，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 【解析】解：由  ，得  ， 令  ，则  ， 因为函数  有两个极值点  ， 所以  ，  ，得  ， 设  ，则  且  ，代入得  ，   ， 设  ，则 ， 设  ， 则  ，  在  单调递增，  ， 从而  ，  在  单调递增，  ，  ， 故 - 的最大值为  ． 故选：． 2、 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则(     ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的性质及应用，属于基础题． 利用离散型随机变量的分布列依次判断各选项． 【解答】 解：对于，由分布列的性质可得：，解得，故A正确 对于，，故B正确 对于，，故C错误 对于，，故D正确． 故选：． 10. 已知函数f(x)是定义域上的偶函数，当时，且f(1)=0，下列选项正确的是（ AC ） A.函数f(x)有两个零点； B.函数f(x)的极值点; C.函数y=xf(x)>0的解集为； D.函数y=f(x)<0的解集为 【答案】-1 1 x y O 【解答】解：构造函数，，当时，，∴在(0,+)单调递增. ∵函数f(x)是定义域上的偶函数，∴为奇函数 ∵f(1)=0∴f(-1)=0，A正确，∴g(1)=g(-1)=0,∴在(-)单调递增，如图所示， y=xf(x)>0等价于>0,解集为,C正确；y=f(x)<0等价于,∴解集为,D错误 故选：． 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数是120 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为220 【答案】ABC 【解析】A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数是，故A正确； B．因为,令得，故B正确； C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故C正确. D．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故D错误； 故选：ABC 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12.若，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项展开式的系数与项的系数和，为基础题． 分别令，，进而即可求解． 【解答】 解：， 令，得，令，得， 于是． 故答案为：． 13.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为，浇水，植物枯萎的概率为邻居记得浇水的概率为如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为          ． 【答案】 【分析】本题考查概率计算，属于基础题．根据题意，结合全概率计算公式，即可求解． 【解答】 解：记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，，，， 因此． 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的单调性及特值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，借用导数求最值即可. 详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，， 所以的最大值为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）尚德中学某班级6个学生在活动中拍照，其中男女生各3个. （1）6人要求站两排，女生站前排，有多少种排法；（列式并用数字作答） （2）6人要求站一排，男生不相邻，有多少种排法；（列式并用数字作答） （3）6人要求站一排，3名男生中有且只有甲乙两个男生相邻；（列式并用数字作答） 【解析】 (2)根据题意，3名女生站前排有种，3名男生站后排有种，根据分步计数原理可得=636种排法............................4分 (2)6名学生站一排，男生不相邻，先排女生有种，有4个空位再排3名男生，有种，根据分步计数原理可得=6144种排法............................. 8分 (3)根据题意，先排3个女生种，再把甲乙捆绑和另外一个男生插入4个空位有种，根据分步计数原理可得=144种排法.............................13分 （备注：解法列式不一，答案对，就给满分） 16．（本题15分）（改编）已知函数在时取得极大值4. (1)求实数a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) ；(2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）依题意有，据此求解即可； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值． 【详解】（1）由题可知，......................................... 1分 ，解得．......................................... 3分 此时，......................................... 4分 当时，，所以在单调递增，......................................... 5分 当时，，所以在单调递减，.........................................6分 当时，，所以在单调递增，......................................... 7分 所以在时取得极大值．所以．.........................................8分 （备注：列表格或有判断导数符号，单调性得满分，没有单调性判断，扣3分；如果写经检验，符合题意，得满分） （2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．................... 9分 ∴极大值f（-2)=4,极小值f(0)=0.................................................................................... 11分 又因为，...................................... 13分 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为．......................................... 15分 （备注：没有说明的单调性，直接算，扣1分） 17.（模拟卷1改编）（本题15分）已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. （3）在（2）题的条件下，求系数的绝对值最大的项是第几项. 【解析】 （1）二项式的展开式中第7项为 ， .............................3分 由题意得，解得.............................. 5分 （2）令，得，所以或， 解得，或（舍去）..............................6分 该二项式展开式通项为 ，.............................8分 令，解得，............................. 9分 故展开式中的系数为.............................. 10分 （3）设第r+1项的系数绝对值最大. 因为，∴,.......................................... 11分 ,.......................................... 12分 解得,.......................................... 13分 ∵r为整数，∴r=8，.......................................... 14分 即第9项系数的绝对值最大.......................................... 15分 18.（本题17分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下： 大于 仅使用 人 人 人 仅使用 人 人 人 (1) 从全校学生中随机抽取人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率； 从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，求的分布列和数学期望； 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由．（生活中的极小概率事件，参考值P） 【分析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 从全校学生中随机抽取的人中，，两种支付方式都不使用的有人，仅使用的有人，仅使用的有人，从而，两种支付方式都使用的人数有人，由此能求出从全校学生中随机抽取人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率． 从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，则的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望． 求出随机抽查的人他们本月的支付金额都大于元的概率，根据概率的意义即可判断． 【答案】解：由题意得：从全校学生中随机抽取的人中，，两种支付方式都不使用的有人， 仅使用的有人，仅使用的有人， ，两种支付方式都使用的人数有：，....................... 2分 从全校学生中随机抽取人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．.......................4分 从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，则的可能取值为，，，....................... 5分 样本仅使用的学生有人，其中支付金额在的有人，超过元的有人，................ 6分 样本仅使用的学生有人，其中支付金额在的有人，超过元的有人，................ 7分 ，.......................8分 ，....................... 9分 ，....................... 10分 的分布列为：                 .................................................................................................................................................. 11分 数学期望． ....................... 13分 （备注：数学期望没有列式直接得到1，扣1分） 可以认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化， ............... 14分 理由如下： 从样本仅使用的学生有人，其中人月支付金额不大于元，有人月支付金额大于元， 随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元的概率为<0.001， ............... 15分 是极小概率事件，不可能发生．................................................... 16分 故可以认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化． ....................... 17分 19.（本题17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若任意x满足f(x)>,求a的取值范围． (3)若在a>1时存在,且,证明： 【答案】(1)；（3）略 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，可知-alna>可得，构建函数解不等式即可； （3）构建函数，证明f (x)<f(2lna-x)，即可得证明 【详解】（1）当时，则，，................................... 1分 可得，，..................................2分 即切点坐标为，切线斜率，..................................3分 所以切线方程为，即.................................... 4分 （2）解法一：因为的定义域为，且， ①若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，值域为R，故不满足题意................................... 5分 ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，.................................6分 则有极小值，所以f(x)min=,...................................7分 因为任意x满足f(x)>, 所以>在（0，+）恒成立，即<0在（0，+）恒成立................................... 8分 构建，则， 可知在内单调递增，且，,................................... 9分 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为；................................... 10分 解法二： 因为的定义域为，且， ①若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，值域为R，故不满足题意................................... 5分 ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，..........................6分 则有极小值，所以f(x)min=,...................................7分 因为任意x满足f(x)>, 所以>在（0，+）恒成立，即<0在（0，+）恒成立...............................8分 <1-,构造函数f(x)=lnx与g(x)=1-x2，画图易知，......................... 9分 所以a的取值范围为................................... 10分 解法三：任意x满足f(x)>，得到>， 即0在上恒成立................................... 5分 设g(x)=，且， ①若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，值域为R，无最小值，故不满足题意.................................6分 ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，所以g(x)min=,...................................7分 因为任意x满足0在上恒成立.∴>0 所以<0在（0，+）恒成立................................... 8分 构建，则， 可知在内单调递增，且，,................................... 9分 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为；................................... 10分 （3）设................................... 11分 则 ................................... 12分 ∵,当且仅当时，即x=lna时取等号成立。.................... 13分 ∵x<lna,所以>0,即F(x)在上单调递增。................................... 14分 当x<lna时,F (x)<F(lna)=0,即f (x)<f(2lna-x).................................... 15分 令x=,则f ()<f(2lna-).∵，∴f ()<f(2lna-)，.................................. 16分 ∵，∴2lna-> 由（2）可知f(x)在(_lna,+)上单调递增，∴<2lna-,即................................... 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中适应性练习 高二数学 试卷 2026.4. 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分 班级_________ 座号__________ 姓名___________________ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 3.如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 4.为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天某中学高二年级1至6班共6个班级决定去马鼻镇3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班、2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ） A. 48 B. 36 C. 18 D. 12 5.的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 40 C. 60 D. 100 6 .在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 8.函数的两个极值点，满足，则的最大值为(     ) A. B. C. D. 2、 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则(     ) A. B. C. D. 10. 已知函数f(x)是定义域上的偶函数，当时， 且f(1)=0，下列选项正确的是（ ） A. 函数f(x)有两个零点； B. 函数f(x)的极值点; C. y=xf(x)>0的解集为； D. y=f(x)<0的解集为. 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数是120 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．在“杨辉三角”中，当时，从第3行起，每一行的第3列的数字之和为220 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12.若，则           ． 13.某人出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为，浇水，植物枯萎的概率为邻居记得浇水的概率为如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为          ． 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为_________． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）尚德中学某班级6个学生在活动中拍照，其中男女生各3个. （1）6人要求站两排，女生站前排，有多少种排法；（列式并用数字作答） （2）6人要求站一排，男生不相邻，有多少种排法；（列式并用数字作答） （3）6人要求站一排，3名男生中有且只有甲乙两个男生相邻；（列式并用数字作答） 16．（本题15分）已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 17.（本题15分）已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. （3）在（2）题的条件下，求系数的绝对值最大的项是第几项. 18.（本题17分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下： 大于 仅使用 人 人 人 仅使用 人 人 人 （1）从全校学生中随机抽取人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，求的分布列和数学期望； （3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由． （生活中的极小概率事件，参考值P） 19.（本题17分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若任意x满足f(x)>,求a的取值范围． （3）若在a>1时存在,且,证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $