精品解析：江苏无锡市第一中学2025-2026学年第二学期期中试卷高一数学

无锡市第一中学2025－2026学年度第二学期期中试卷 高一数学 2026.4 台体体积公式：，其中为台体的高，，分别为上、下底面积 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量，，且与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等 B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D. 圆柱的侧面展开图是矩形 3. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 4. 利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 8. 已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若与的夹角为，则 D. 的最小值为4 10. 在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 若的外接圆半径，且，则角 C. 若为锐角三角形，则 D. 若有两解，，，则 11. 如图，点是棱长为2的正方体表面上一个动点，则（ ） A. 当在侧面内运动时，三棱锥的体积为定值 B. 若，分别是线段和上的动点（都不与端点重合），，，点在侧面内，，且，则为定值 C. 若是线段的中点，则沿正方体的表面从点到点的最短距离为 D. 当在正方体表面上运动且线段长度为定值，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱柱的外接球的表面积为______. 13. 在平行四边形中，，，，点满足，点为直线上一个动点，则的最小值为______. 14. 在中，已知的平分线，则的面积为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 17. 如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． （1）求的值； （2）若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 18. 如图，在长方体ABCD－中，面棱，分别交于点M，N，且M，N均为中点． (1)求证：AC∥平面； (2)若AD＝CD＝2，，O为AC的中点，上是否存在动点F，使得OF⊥平面？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，说明理由． 19. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2025－2026学年度第二学期期中试卷 高一数学 2026.4 台体体积公式：，其中为台体的高，，分别为上、下底面积 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量，，且与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，又与共线， 所以，可得. 2. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（ ） A. 棱柱的侧棱都互相平行且相等 B. 正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D. 圆柱的侧面展开图是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对； B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对； C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点， 如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形， 此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错， D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对. 3. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由，则. 4. 利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，原三角形的面积， 所以其直观图的面积. 5. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平方关系及三角形内角的性质得，根据正弦定理边角关系、余弦定理求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，，则， 由正弦边角关系得，令， 由，则，可得， 所以，则. 6. 三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 7. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 8. 已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若与的夹角为，则 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：由题设，对， B：由，且，则，可得或，对， C：由，则， 所以，可得，则或，错， D：， 当时，的最小值为4，对. 10. 在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 若的外接圆半径，且，则角 C. 若为锐角三角形，则 D. 若有两解，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦边角关系及二倍角正弦公式，结合三角形内角的性质判断A，由正弦定理得，进而求角的大小判断B，由已知得，结合正弦函数的性质判断C，根据三角形解的个数有判断D. 【详解】A：由正弦边角关系得，又， 所以或，正确， B：由正弦定理知，而，则或，错误， C：由三角形为锐角三角形，则，则， 所以，正确， D：由有两解，则，正确. 11. 如图，点是棱长为2的正方体表面上一个动点，则（ ） A. 当在侧面内运动时，三棱锥的体积为定值 B. 若，分别是线段和上的动点（都不与端点重合），，，点在侧面内，，且，则为定值 C. 若是线段的中点，则沿正方体的表面从点到点的最短距离为 D. 当在正方体表面上运动且线段长度为定值，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A三棱锥的高是点到面的距离为定值，即可求锥体体积；B设，由图，用勾股定理求出有关线段，由余弦定理即可解出，从而得出；C将正方体沿剪开，把平面、平面、平面展开在同一平面上，确定最短路径即可得；D设点在面内，由勾股定理可得点的轨迹，同理可得点的轨迹是以为圆心，半径，为圆心角的圆弧，且点在面、面内的轨迹与面内的轨迹相同，代入弧长公式即可. 【详解】A，三棱锥，即棱锥的高是点到面的距离，即为， 所以，正确； B，设，由题意，， 由勾股定理得，，， 又，所以， 在中， 故，因此，正确； C，将正方体沿剪开，把平面、平面、平面展开在同一平面上， 此时最短为， 所以沿正方体的表面从点到点的最短距离为，错误； D，设点在面内，因为长度为，所以点可在棱、上， 不妨分别设为、,由勾股定理得， 在中，，所以，同理， 所以，因此点在面内的轨迹是以为圆心，半径，为圆心角圆弧， 故点在面内的轨迹长为， 根据正方体的性质，点在面、面内的轨迹与面内的轨迹相同， 设点在面中，点不仅可在处，还可在棱上，不妨设为， 因为长度为，所以， 所以点在面内的轨迹是以为圆心，半径，为圆心角的圆弧， 故点在面内的轨迹长为， 且点在面、面内的轨迹与面内的轨迹相同， 因此使线段长度为的点的轨迹长度为，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，则该正三棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，正三棱柱底面正三角形的边长为2，则其外接圆半径， 正三棱柱的侧棱长为3，若正三棱柱的外接球的半径为，则， 所以其表面积为. 13. 在平行四边形中，，，，点满足，点为直线上一个动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】令且，根据已知得，再应用向量数量积的运算律求值即可. 【详解】 由题设，令且，则， 所以 ， 当时，的最小值为. 14. 在中，已知的平分线，则的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平线的性质，可设，，然后结合余弦定理列方程解之得出的值，由余弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式求出，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】如图： 因为是的平分线， 所以， 不妨设，， 由题意得， 由余弦定理得：，， 所以，解得，负值舍去， 所以． 所以， 可得， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 17. 如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． （1）求的值； （2）若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）线面平行的性质定理，根据已知的平行关系推出线段比例关系； （2）通过构建三棱台求出相应体积，进而得出体积比. 【小问1详解】 连接，与交于，连接. 因为平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，所以. 又因为，在和中， 由于平行线分线段成比例定理，可得. 因为，所以. 【小问2详解】 在上取一点，使，连接， 因为，所以四边形即为过三点的截面. 设三棱柱的底面积为，高为，体积为，则. 因为，且，所以与相似，相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为. 对于三棱台，根据体积公式. 因为，，， 所以. 则. 18. 如图，在长方体ABCD－中，面棱，分别交于点M，N，且M，N均为中点． (1)求证：AC∥平面； (2)若AD＝CD＝2，，O为AC的中点，上是否存在动点F，使得OF⊥平面？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1）连接，因为，均为中点，所以， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面，面，所以面； （2）当点满足时，OF⊥平面，证明如下： 连接交于，则经过点，取中点，连接，， 则为三角形的中位线，所以， 因为，且为的中点，所以，所以， 因为底面为正方形，所以，又底面，所以， 又，所以面，又面，所以， 由第（1）问知，所以， 又，是平面四边形的对角线，所以它们必相交，所以面． 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，得，再证明面；（2）当点满足时，OF⊥平面，证，，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查立体几何中线面平行，线面垂直的证明，综合考查了学生的识图能力，空间想象的能力以及计算能力． 19. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）时，面积取最小值为 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【小问1详解】 在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. 【小问3详解】 设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $