陕西榆林市靖边县靖边中学2026年普通高等学校招生全国统一考试考前自测(一) 数学

2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷（一） 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数x满足，5=一3引，则之的虚部为 A.-i c司 Di5 2.已知集合E={xx=2m+1,n∈N},F={xx=4n+1,n∈N},则E∩F= A.0 B.E C.F D.N 3.已知F为双曲线E:-首=1的左焦点直线1过点F与E的右支有公共点，则直线L的倾 斜角的取值范围为 A[o,)U(8x) B(-晋】 c[o.5)U(x) D(-5·) 4.已知两非零向量a,b满足a=2b,a+b=a一b,则a一b与b夹角的正切值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.已知正数a,b满足ab=2a十b,则a十2b的最小值为 A.3 B.4 C.6 D.9 6已知实数a>0且a≠16eR.两数f)十十hr++1,若fI)=3则(-1) A.-2 B.2 C.-3 D.3 【2026年冲刺押题卷（一）·数学第1页（共4页）】 7.已知直线x=t(一4<t<4)与圆C:x2十y2=16交于不同的两点P,Q,圆C与x轴交于点A, B,直线PA,QB交于点M,则当t变化时，点M(x,y)满足的方程是 Ay-=品 B2-y=品 C.y2-x2=16 D.x2-y2=16 8.在四棱锥P-ABCD中，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB∥CD,AB=6,CD=8, Os∠ADC%若点P,A,B,C,D均在球O的表面上，则当四棱锥P-ABCD的体积最 时，球O的表面积为 A.25π B.85元 C.100π D500r 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的是 A.若X~B(n,p),且E(X)=2,D(X)=1,则p=0.5 B.若X~N(1,4),Y~N(2,4),则P(X<1)<P(Y<2) C.若X~N(4,a2),则P(X≥-o)=P(X≤+o) D.若M,N为随机事件，则P(MUN)=P(M)十P(N) 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，点P是C上的动点，A(2,4),则 A.过点A与C仅有1个公共点的直线有3条 B.满足PA⊥AF的点P仅有2个 C.满足PA⊥PF的点P仅有3个 D.满足到点A距离与到l距离之和为√17的点P有2个 11.已知函数f(x)=sinx|十√3cosx,下列结论正确的是 A.f(x)的图象关于直线x=π对称 B.(x)的最大值为3 C.f(x)的最小值为一√3 D.当方程)=1在(0，m)上有6个实根时m的取值范围是(，1] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=3,A=,b=1,则c= 13.两批次同种规格的产品，第一批占60%，次品率为4%，第二批占40%，次品率为5%，将两 批产品混合，从混合产品中任取一件，若取到的产品为合格品，则该合格品是第一批产品的 概率为 .(结果精确到0.001) 14.设函数f(x)=g_4血(x+D+r十2(a∈Z),若对任意1，，…，∈(0，十oo), 三fx)≥2，则a的最小值为 【2026年冲刺押题卷（一）·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 下表为S品牌新能源汽车2025年1~6月在A地区的销售量（单位：百辆）： 月份x 2 5 6 销售量y 5.1 6.6 7.0 7.6 t 9.8 若y关于x的经验回归方程为y=bx十4.44，且相关系数r=0.986. (1)求的值（精确到0.01）： (2)求t的值（精确到0.1）. 附：b= 2(x,-x)(y一） ,相关系数r= 含红-0到 2(x,-x) 2x-x)2y-) 参考数据：√含(0-5)≈3.649，V17.5≈4.183. 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}满足a1=1,anam+1=2”. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sm 17.(本小题满分15分) 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD,EF∥BC,AB=4, AF=EF=2. (1)求证：平面ACE⊥平面CDE; (2)若点G在平面ABCD内，且DG⊥F心. (ⅰ)求点G的轨迹的长度； (ii)设直线EG与平面ACE所成的角为0，求sinO的取值B 范围。 【2026年冲刺押题卷（一）·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:活+芳=1（®>6>0）的一个长轴端点A和-个短轴端点B,且线段AB的中点 为D1.-2)片 (1)求C的方程； (2)已知垂直于AB的直线l与C在第四象限交于点P,点Q在L上，且AP+AQ与AB共线. (1)若点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积； (ⅱ)若直线AQ与C交于另外一点R,判断直线PR是否过定点，并证明你的结论. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=tanx(1-2cosx)+x(0≤x<受) (1)求f(x)的最小值； (2)证明：f(x)<2tanx; (3)若f(x)≥2ln(x十1)十ax十tanx,求a的取值范围. 【2026年冲刺押题卷（一）·数学第4页（共4页）】参考答案·数学（一） 1B因为、=-3i所以1+）=5己=63D=号受放选R 2.C因为4+1=2×(2n)+1,所以Vx∈F,x∈E,即F二E,又3∈E,但3在F,所以FE,故E∩F=F.故 选C. 3.C由题意得直线1的斜率的取值范围为（一3，B),所以其倾斜角的取值范围为[0，号）U(三x).故选C 4.A由a十b=|a-bl,得a·b=0,所以a⊥b,令OA=a,O店=b(如图)，则 a一b=BA,所以a一b与b的夹角为r一∠OBA,故a一b与b夹角的正切值 为m(x-∠OBA)=-a∠0BA=路-丹=-2.故选A D由h=2a+6,得2+号=1，又。>0,6>0，所以a+26=a+2)(日+号)-5+必+会5+ a 2√·要=9，当且仅当会，即a==3时等号成立放a+%的最小值为9.故选D 6.B令g)。十h加，则g《-)=。中十6(-一)=千一加，所以g)+g(一)=1.所以 f(x)+f(-x)=g(x)+x2+1+g(-x)+(-x)2+1=2x2+3,所以f(1)+f(-1)=2×1+3=5,因 为f(1)=3,所以f(-1)=2.故选B. 7.D设P(,%)(-4<1<4),则Q(1,-b),且+听=16,16”=1，不失一般性，设A(-4,0), B(4,0),直线PA,QB的方程分别为y=治(x+4),y=产(x-4,相乘得y=产72-16)= -16,所以x2一y2=16,即点M的坐标满足x2-y2=16.故选D, 8.C如图，由题意可得A,B,C,D共圆，且AB∥CD,所以四边形ABCD必 为等腰梯形，取AB中点E,CD中点F,则EF⊥AB,因为AB=6,CD=8, Ca之ADC-号，所以EF=-7,桃形ABCD的面积为定值因为△PAB是等 DE- 腰直角三角形，E为斜边AB的中点，AB=6,所以PE=3,要使四棱锥 F P-ABCD的体积最大，必有PE⊥平面ABCD,由题意可得点O在EF上.设OE=x,球O的半径为R,则R =PE+OE=OF2+FD,即R2=32+x2=(7一x)2+42,解得x=4,所以R2=25,球O的表面积S=4πR =100π.故选C. 【CC·数学（一）参考答案第1页（共6页）】 6C 9.AC对于A,因为X~B(n,p),则E(X)=np=2,D(X)=p(1一p)=1,解得p=0.5,故A正确；对于 B,C,由正态分布的对称性知当X~N(1,4),Y~N(2,4)时，P(X<1)=0.5,P(Y<2)=0.5,所以 P(X<1)=P(Y<2),当X~N(4,)时，P(x≥一o)=P(X≤+o),故B错误，C正确；对于D,当M, N互斥时，P(MUN)=P(M)+P(N)成立，否则不成立，故D错误.故选AC. 10.AB对于A,由题意知点A在抛物线C外，过点A与C的对称轴平行的直线与C有1个公共点，过点A可 作两条直线与C相切，故过A与C仅有一个公共点的直线有3条，故A正确：对于B,直线AF的斜率为4， 因为PA⊥AF,所以直线PA的斜率为一子，过点A斜率为一子的直线与C仅有2个交点，故点P仅有 2个，故B正确：对于C,易求|AF|=√7，以AF为直径作圆，该圆与C有2个交点，点P仅有2个，故C 错误，对于D,由抛物线定义知点P到点A距离与到l距离之和为|PA|+|PF|≥|AF=√17，当P,A, F共线且点P在线段AF上时取等号，故点P仅有1个，故D错误.故选AB. 11.ACD对于A,由f(x)是偶函数，且f(x十2π)=f(x),所以∫(2x一x)=f(一x)=f(x),f(x)的图象 关于直线x=π对称，故A正确：对于BC,由f(x)是偶函数，且最小正周期为2π，得f(x)在R上的值域等 于f(x)在[0，x]上的值域，当x∈[0，x]时，f(x)=sinx+3cos=2sin(x+）∈[-3,2]，故B错 误，C正确；对于D,由上知，f(x)=1在(0，x]上有唯一实根，由f(x)的图象关于直线x=元对称，得方 程f(x)=1在(x,2x]上的实根为，由f(x)的周期性可得f(x)=1在(0，十o∞)上的前7个实根分别 为受，受受，受，竖，，竖所以些<m<,放D正确，放选AD 12.2法1：由bcos C+ccos B=√3，得a=√3，由余弦定理，得a2=b十2-2 bccos A,即c2一c-2=0,解得c=2 或c=-1(舍). 法2：由asC叶osB=尽，得a-厅，由正弦定理，得A5所以s血B=令，因为a,所以B< A,所以B为锐角，所以B=石，所以C-交，所以c=√a+F=2. 13.0.603记事件A(i=1,2)为从混合产品中取出的是第i批产品，事件B为取出的产品为合格品，则 P(A1)=0.6,P(A)=0.4,P(B)=0.6×(1-4%)+0.4×1-5%)=0.956,所以P(A1|B)= P(AB2_0.61-46)≈0.603. P(B) 0.956 142要满足对任意…，∈(0，十∞)，含f(x)≥12，只需当>0时，f(x)≥2恒成立，即a≥ 4. n(x+1)一x2恒成立.设g(x)=4n(x+1D-2,则g(x)三市2x=-,易得当z x+1 (0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以Hx>0,g(x) 6C 【CC·数学（一）参考答案第2页（共6页）】 ≤g(1)=4ln2-1,所以a≥4ln2-1=n16-1,因为e2<16<e3,所以1<ln16-1<2,又a∈Z,所以a的 最小值为2. 15.解：0)由题意得=1+2+34十5十6-3.5， 1分 6 含(-)2=(-25+(-1.5)2+(-0.52+0.+1.5+25=17.5.…3分 2(,-x)(y-y） 所以r三 含x-04- 2(y一) 4.183X3.649=0.986, 4分 所以含(x-)0J)=0.986×4.183X364915.50, 6分 所以6= 2(z-x0y一2≈15.050=0.86.… 8分 含- 17.5 (2)由(1)知，y关于x的经验回归方程为y=0.86.x十4.44， 9分 T=3.5,y=5.1+6.6+7.0+7.6+1+9.8=36.1+4 6 11分 因为(，y)在回归直线上，所以36.1士=0.86×3.5十4.44=7.45， 6 所以1=6×7.45-36.1=8.6.… 13分 16.解：(1)因为aa+1=2m,所以a+1a+2=2m+, 所以m1at2=t2=2 =2,…… 2分 anan+1 an 2 所以a,a3,5,…,a2g-1,…成以2为公比的等比数列， a2,Q4,a6,…,a2m,…也成以2为公比的等比数列， 3分 又a1=1,所以a2=2, 所以a2w-1=1X2-1=2-1,a2n=2X2-1=2, 5分 2号，n为奇数， 所以an 6分 22,n为偶数. (2)当1为偶数时，{a}中奇数项和偶数项均为号项， 7分 所以S.=(a十as十…+a1)+(a+a4+…+a)=1X24)+21-24) 1-2 1-2 =2登-1+2X2-2=3X2登-3.. 10分 当n为奇数时，{a中奇数项有”，偶数项有”2， 11分 【CC·数学（一）参考答案第3页（共6页）】 6C 所以S.=(a+a十…+a.)+(a+a+…+a-1)=1X1-2空)+21-2) 1-2 1-2 =2空-1+2×2号-2=2中+2中-3=2Ψ-3. …14分 2号-3，n为奇数， 所以Sn 15分 3×2登-3，n为偶数， 17.(1)证明：因为AF⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以AF⊥CD,… 1分 因为四边形ABCD为正方形，所以CDLAD, 因为AD∩AF=A,AD,AFC平面ADEF,所以CD⊥平面ADEF, 2分 因为AEC平面ADEF,所以CD⊥AE,… 3分 由题意易求得ED=AE=2/2,AD=4, 所以AE十ED=AD,所以AE⊥ED,…4分 因为CD∩ED=D,CD,EDC平面CDE,所以AE⊥平面CDE,…5分 因为AEC平面ACE,所以平面ACE⊥平面CDE.…6分 (2)解：由题意知，直线AB,AD,AF两两垂直，以直线AB,AD,AF分别 为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系Axy2,则A(0,0,0),D(0,4,0), C(4,4,0),E(0,2,2),F(0,0,2).…7分 (1)设G(x,y,0),则DG=(x,y-4,0),F心=(x,y,-2), B 因为DGL下G,所以D亡.FG=x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4, 所以点G的轨迹是以棱AD为直径的圆，其长度为4π.… …9分 (1)由(1)知EG=(x,y-2,-2),AC=(4,4,0),AE=(0,2,2), n·AC=0,f4a+4b=0, 设平面ACE的一个法向量n=(a,b,c),则 即 m·Ai=0,2b+2c=0, 令c=1,得a=1,b=-1,所以n=(1,-1,1),… 11分 则sin0=|cos庇，ml=变·nl lz-yl 1EG||nl√x2+(y-2)+(-2)FX5 Iz-yl 由)知2+y-22=4,所以m年、22X石2X=2后…3分 因为4=2+(2-y)2≥1二)+2)2，得-22-2≤1-22-2， 2 所以0<1一≤2厄+2，所以sn0的取值范用是0,2。] …15分 【CC·数学（一）参考答案第4页（共6页）】 18.解：(1)因为A为C的长轴端点，B为C的短轴端点，且线段AB的中点为D(1,一)， 所以A(2,0),B(0,-1),所以a=2,b=1, 所以C的方程为十=1.口 …3分 (2)(1)由(1)知A(2,0),B(0,-1),|AB引=5，直线AB的方程为y=2x-1,…4分 因为AP+AQ与AB共线，所以线段PQ的中点在AB上， 所以四边形APBQ的面积S=号PQIX IAB=51PQ引.6分 因为点P的横坐标为1，代人C的方程可得P(1,-), 7分 ×1-()-1 所以点P到AB的距离d 5-1 √(3)+(-1) 5 所以|PQ=2d=23-1) 9分 √5 所以四边形APBQ的面积S=5×2B_1卫=5-1，… 10分 5 (i)设P(x1,y),R(x2,2),直线PR的方程为y=nx+n, y=1x+, 由 若+=1， (42+1)x2+8.x十4n2-4=0, 所以△=(8m)2-4(4m2+1)(4n2-4)=16(4m2-n2+1)>0, 且x1十x2= 都羊 82n 11分 因为P,Q关于直线AB对称， 一边=-2， T1-xo 设Q(xn%),则 解得=3西十4y十4,6=4红一3当一8， 5 …12分 5 =×- 2 2 因为AQ=(n一2，h),A求=(2-2，为)，且A,Q,R共线，所以AQ∥A, 所以(。-2)-(m-2)=(3+y+4-2）2-40-3y-8(-2) 5 5 =(3西+4m0+4+4-2）0m十n)-40-3m5-3W-8(n-2)=0,. 5 14分 5 整理得(4m2+61-4)x1x2+(4m1-6m+3十8)(x1+x2)+4(n2-31一4) =(4mr+6m一号+(4m一6n+3a+8(骨）十4-3r一=0， 【CC·数学（一）参考答案第5页（共6页）】 6C 整理得(n十2m)(3十10m十3)=0.… 15分 若n十2m=0,n=-2m,直线PR为y=m(x一2)，此时A,P两点重合，不合题意， 所以3n+10m+3=0.即1=-9m-1,代人y=m十n得y=m(2-9）-1, 所以直线PR过定点(，-1）.…】 7分 19.(1)解：因为f(x)=tanx(1-2c0sx)十x=1mY-2sinx十，…1分 cos 所以/(x)=L-2cosx+1=1oz+1-osx=（1-osx)+os+oL+1）, cos2r …3分 cos2x cosx 因为0≤<受，0<cos≤1， 所以了(x)>0,f(x)在[o,)上单调递增， …5分 所以f(x)的最小值为f(0)=0. 6分 (2)证明：因为x∈[0，受)，所以1-2cos<1, 所以f(x)<tanx十x.… 7分 设g()=anx-x(0r<受），则g(x)=,-1=1co≥0， cos2x cOS 所以g(x)在[0，受)上单调递增，… 9分 所以g(x)≥g(0)=0,即x≤tanx,所以tanx+x≤2tanx, 所以f(x)<2tanx. 11分 (3)解：f(x)≥2ln(x+1)+a.x+tanx,即2sinx+2ln(x+1)+(a-1)x≤0，…12分 2 设h()=2sinx+2h(u+1)+(a-1)z(0<受)，则'(x)=2osx+千+a-1,显然M'(x)在 [0,受）上单调递减，所以(x)<'(0)=a十3.… 13分 当a+3≤0，即a≤-3时，(x)≤0，h(x)在[0，受)上单调递减， 所以h(x)≤h(0)=0,满足题意；… 15分 当a+3>0,即。>-3时，N(0)>0,(受)=2十a-1,无论（受）≥0，还是（受）<0，均可得到 存在∈(0，交)，使得当x∈(0，n)时，h'(x)>0, 所以h(r)在(0，x)上单调递增，所以当x∈(0，xo)时，h(x)>h(0)=0,不满足题意 综上所述，实数a的取值范围是（一∞，一3].…17分 C 【CC·数学（一）参考答案第6页（共6页）】