精品解析：海南海口市海南中学2025-2026学年第二学期月考测试高一数学试题

海南中学2025-2026学年度第二学期月考测试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数，在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 一个多面体至少有4个面 C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 8. 如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的模为 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 已知点M在所在平面内一点，则（ ） A. 若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B. 若，则面积比 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 11. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球的体积是 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 第II卷（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为__________. 13. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 14. 已知为所在平面内一点，且，若，，，则______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数为虚数. （1）若是关于的方程的一个根，求. （2）若是实数，求复数的模； 16. 海南中学计划在校园内举办定向越野比赛，设立了两个相距的打卡点（操场主席台）和（图书馆正门）.如图，参赛队伍从点出发，需依次经过两个打卡点和，裁判分别在两点用测向仪记录队伍的方向.某一时刻，某队伍出现在点处，裁判测得，经过一段时间后，该队伍出现在点处，裁判分别测得（注：在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 17. 如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. （1）设，试用表示： （2）设，求的最小值. 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度第二学期月考测试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数，在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数z,再求并确定它对应的点的位置得解. 【详解】由题得， 所以对应的点为(-1,-2),位于第三象限. 故选C 【点睛】本题主要考查共轭复数的求法和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 一个多面体至少有4个面 C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可. 【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误； 用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知中，，求出、的长，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在斜二测直观图中，，且， 所以为等腰直角三角形，所以， 且，由斜二测画法可知，在中，， 且，， 故. 故选：C. 4. 在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 故选：C 5. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直求出m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小． 【详解】已知，则， ∵，∴，解得， ∴． ∴，， ∴， ∵，∴． 故选：C． 6. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为，高为， 则，，， 故. 故选：D 7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出，由两角差的余弦公式和辅助角公式求出，从而可判断的形状. 【详解】， ，即， 由正弦定理及余弦定理得，， ∵，∴， 又，，整理得， 因为，，所以， 所以，为等腰三角形． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】由 因为，所以是正三角形， 在中，， ， 在上，， ，则取值范围是 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的共轭复数 C. 复数的模为 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据化简即可判断选项A；根据复数的除法运算及共轭复数的定义即可判断选项B；根据复数模的计算公式即可判断选项C；由复数减法的几何意义即可判断选项D. 【详解】对于A，，故选项A正确； 对于B，复数，所以的共轭复数为，故选项B错误； 对于C，复数的模为，故选项C错误； 对于D，由复数减法的几何意义可知：表示在复平面内对应的点到点的距离， 表示在复平面内对应的点到点的距离. 由可知在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确. 10. 已知点M在所在平面内一点，则（ ） A. 若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B. 若，则面积比 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A,先由是BC中点得，设单位向量、，根据条件知与共线，推出AM是角平分线，又是中点，得等腰且，从而判断是投影向量. 对于选项B，对变形得，因两三角形高相同，根据底边比求面积比. 对于选项C，由向量夹角两两相等得夹角为，通过求，利用向量运算及数量积公式计算，再开方得结果. 对于选项D,坐标法计算数量积得关于的二次函数，根据二次函数性质求取值范围. 【详解】对于A，两边平方得，即，即，且是角的角平分线，又M为BC中点，即是等腰三角形，，则是在方向上的投影向量，故A正确； 对于B，因为，所以点在线段上，如图所示 取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接，则有且，所以的高是的高的，所以，故B错误； 对于C， ，，故C正确； 对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面坐标系 易知直线的方程为，设， 因为，所以， ， 又，所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为3， 所以，即，故正确． 故选：ACD 11. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的高为2 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台外接球的体积是 D. 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】在圆台轴截面利用勾股定理计算判断A选项；利用圆台的侧面积公式计算判断B选项；利用轴截面计算圆台外接球的半径，再利用球的体积公式计算得出结果判断C选项；在圆台的侧面上，从到的最短路径，在计算求得判断D选项； 【详解】对于A,如图所示， 过作交于点，过作交于点, 根据题意在中，, 故A错误； 对于B，圆台的侧面积为，故B正确； 对于C，设圆台外接球的球心为，半径.由题意可得：. 设，则，由，即， 解得：.即重合，所以.圆台外接球的体积是.故C正确； 对于D，如图示， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确. 故选：BCD. 第II卷（共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【详解】由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径， 设底面圆的半径为， 则有，所以， 于是圆锥的高为， 该圆锥的体积为：. 13. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 【答案】8 【解析】 【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可. 【详解】解：因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 14. 已知为所在平面内一点，且，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的边长，再利用向量的运算法则将转化为边长相关的表达式，进而求出结果. 【详解】因为是三角形内角，， 所以. 在中，根据正弦定理得，解得. 因为，所以为的外心， 所以. ，而. 所以. 在中，根据余弦定理，所以. 设的外接圆半径为，则根据正弦定理得，解得. 所以，所以. 故答案为：-18. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数为虚数. （1）若是关于的方程的一个根，求. （2）若是实数，求复数的模； 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由是方程的一个根得，利用求根公式即可求解. （2）是实数得，即可求复数的模. 【小问1详解】 由是方程的一个根， 由，所以. 【小问2详解】 由复数为虚数，则， 又， 因为是实数，所以，即， 所以. 16. 海南中学计划在校园内举办定向越野比赛，设立了两个相距的打卡点（操场主席台）和（图书馆正门）.如图，参赛队伍从点出发，需依次经过两个打卡点和，裁判分别在两点用测向仪记录队伍的方向.某一时刻，某队伍出现在点处，裁判测得，经过一段时间后，该队伍出现在点处，裁判分别测得（注：在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理依次求出即可求解； （2）先由题设得到，接着依次求出，再在中，由余弦定理可得结果. 【小问1详解】 在中，，则. 因为，， 所以由正弦定理，得， 所以的面积为； 【小问2详解】 在中，， 则，因此， 在中，由余弦定理 ， 因此. 17. 如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点. （1）设，试用表示： （2）设，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而， 因此，而共线，则， 又，于是， 由于 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 又， ， ， . 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由②①得， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知， 所以 . 因为为锐角三角形，所以， 即， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为. 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设数据先得到，再结合“莱莫恩点”的定义求解即可； （2）结合（1）可得，延长交于点，进而得到，，进而求证即可； （3）由结合（2）可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 连接，将分割为， 根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为. 所以 . 代入已知数据，得，故. 【小问2详解】 由（1）可知，点到三边的距离分别为， 则. 如图，延长交于点，根据面积法可知， 所以. 另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以. 所以. 【小问3详解】 为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由可知， 由（2）知，所以， 展开得， 又因为，所以. 因为，所以有以下两种情况： 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $