四川峨眉第二中学校2025-2026学年高三下学期3月检测数学试题

**基本信息** 该试卷以航天器轨道校准、泰勒公式应用等真实情境为载体，通过基础概念到创新应用的梯度设计，全面覆盖函数、几何、统计等核心模块，适配高三检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、集合、双曲线、三角函数图像、导数|第7题结合航天向量平移考查运算能力，第6题以泰勒公式为背景比较大小，体现数学思维| |填空题|3/15|导数几何意义、等比数列、概率期望|第14题通过正四面体抛掷考查二项分布与条件概率，落实数据观念| |解答题|5/77|统计案例、导数应用、立体几何、解析几何、新定义|第15题以人工智能问卷为情境设计独立性检验与分布列，第19题“和扩充”新定义问题考查逻辑推理，呼应高考创新趋势|

峨眉二中23级高三3月检测数学试卷 命题人：徐梦 审题人：杨绍君 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项中，只有一项符合要求的． 1．已知复数z满足(1＋i)z＝|2i|，则的虚部为(　　) A．1　 B．－1　 C．i　 D．－i 2．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{x∈Z|x2－4x－5≤0}，则∁B A＝(　　) A．{1，3}　 B．{3，5} C．{0，3，5}　 D．{－1，0，3，5} 3．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，|F1F2|＝3，则双曲线C的离心率为(　　) A．2　 B．　 C．　 D．3 4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<，则该函数解析式为(　　) A．y＝sin　B．y＝sin C．y＝sin　D．y＝sin 5.由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A．3 B． C．2 D．2－1 6．在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式．其中ex＝1＋x＋＋＋＋…，ln(x＋1)＝x－＋－＋…．通过这些公式可以计算一些无理数的近似值．将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知a＝0.1e0.1，b＝－ln 0.9，c＝0.111．根据以上公式，则这三个数的大小关系为(　　) A．a>c>b　 B．a>b>c　 C．c>b>a　 D．c>a>b 7．在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0，0)的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量v1＝(a，1)补偿平移；第二次沿向量v2＝(－1，a)修正平移；第三次沿向量v3＝(2，1)校准平移．若卫星最终精准到达坐标是(3，4)的同步轨道点，则实数a＝(　　) A．4　 B．3　 C．2　 D．1 8．已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，且f (x)满足f (2－x)＝f (x)，f (x＋2)＝－f (x),当x∈[0，1)时，f (x)＝2，则f '＝(　　) A．　 B．－　 C．　 D．－ 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．将一个直径为10 cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A．底面直径为8 cm，高为6 cm的圆柱体 B．底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C．底面直径为7 cm，高为9 cm的圆锥体 D．各棱长均为8 cm的四面体 10．过点P(4，0)的直线l交抛物线C：y2＝4x于A，B两点，线段AB的中点为M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，下列说法正确的是(　　) A．以AB为直径的圆过坐标原点 B．·<0 C．若直线l的斜率存在，则斜率为 D．若y0＝2，则|AF|＋|BF|＝12 11．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝，△ABC的周长为12，面积为6，则(　　) A．△ABC内切圆的半径为1 B．△ABC外接圆的半径为6 C．sin A＋sin B＋sin C＝ D．acos A＋bcos B＋ccos C＝2 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线y＝ex+a＋b的切线为y＝x＋2，则a＋b＝________． 13．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4＝________． 14．将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷n次(n为正整数)．当n＝5时，设X为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则E(X)＝________；当n＝2时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则P(B|A)＝________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 单位：人 成绩 性别 合计 男教师 女教师 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 合计 30 20 50 (1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关? (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 16．(15分)已知函数f (x)＝ex－ax－1． (1)当a＝1时，求f (x)的最小值； (2)若f (x)≥x2对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 17．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，PA⊥AD． (1)证明：PA⊥平面ABCD． (2)若底面ABCD是正方形，AP＝AB＝2，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． (ⅰ)求PF的长度； (ⅱ)平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 18．(17分)平面直角坐标系Oxy中，已知点P(0，1)，动点M在x轴上的投影为M'，且|M'M|＝|M'P|，记动点M的轨迹为曲线Γ． (1)求曲线Γ的方程． (2)已知点A，B在曲线Γ上，点A在x轴上方且异于点P，点B在x轴下方，直线AP，BP，AB与x轴分别交于点C，D，Q． (ⅰ)若PA⊥PB，求|AB|的取值范围；(ⅱ)求证：|QC|·|QD|＝|PQ|2． 19．(17分)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为Sn． (1)若a＝2，b＝3，c＝4，求P2，S2； (2)若Pn≥2 024，求正整数n的最小值； (3)是否存在数列a，b，c，使得数列为等比数列？请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 峨眉二中23级高三3月检测数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项符合要求的． 1．已知复数z满足(1＋i)z＝|2i|，则的虚部为(　　) A．1　 B．－1　 C．i　 D．－i A　[由题意，z＝＝＝1－i，则＝1＋i，所以的虚部为1．] 2．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{x∈Z|x2－4x－5≤0}，则∁B A＝(　　) A．{1，3}　 B．{3，5} C．{0，3，5}　 D．{－1，0，3，5} D　[B＝{x∈Z|－1≤x≤5}＝{－1，0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，4}，则∁B A＝{－1，0，3，5}] 3．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且AF1⊥F1F2，|AF1|＝3，|F1F2|＝3，则双曲线C的离心率为(　　) A．2　 B．　 C．　 D．3 C[由题意2c＝3，|AF1|＝3，AF1⊥F1F2，故|AF2|＝＝6，故2a＝6－3＝3，故e＝＝＝．] 4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<，则该函数解析式为(　　) A．y＝sin　B．y＝sin C．y＝sin　D．y＝sin A　[由题图知A＝，＝＋＝，所以T＝π，所以ω＝2．所以y＝sin(2x＋φ)， 代入点可得，2×＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z． 又因为|φ|<，所以φ＝，所以y＝sin．] 5.由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A．3 B． C．2 D．2－1 B　[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝＝，要使切线长最小，则|PC|最小，而|PC|的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|min＝＝2，故切线长的最小值为＝．故选B．] 6．在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式．其中ex＝1＋x＋＋＋＋…，ln(x＋1)＝x－＋－＋…．通过这些公式可以计算一些无理数的近似值．将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知a＝0.1e0.1，b＝－ln 0.9，c＝0.111．根据以上公式，则这三个数的大小关系为(　　) A．a>c>b　 B．a>b>c　 C．c>b>a　 D．c>a>b D　[由题意可得，a＝0.1e0.1≈0.1＝0.110 5，b＝－ln 0.9＝ln＝ln≈－×＝≈0.104 9，又c＝0.111，则c>a>b．] 7．在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0，0)的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量v1＝(a，1)补偿平移；第二次沿向量v2＝(－1，a)修正平移；第三次沿向量v3＝(2，1)校准平移．若卫星最终精准到达坐标是(3，4)的同步轨道点，则实数a＝(　　) A．4　 B．3　 C．2　 D．1 C[点(0,0)沿v1＝(a，1)平移后,坐标为(a，1);点(a，1)沿v2＝(－1，a)平移后,坐标为(a－1，a＋1)；点(a－1,a＋1)沿v3＝(2,1)平移后坐标为(a＋1,a＋2).因为三次平移后坐标为(3,4),故得a＝2．] 8．已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，且f (x)满足f (2－x)＝f (x)，f (x＋2)＝－f (x),当x∈[0，1)时，f (x)＝2，则f '＝(　　) A．　 B．－　 C．　 D．－ B　[由f (x＋2)＝－f (x)可得f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期是4，且f '(x)的周期也是4．因为f (2－x)＝f (x)，故－f '(2－x)＝f '(x)，故f '(x)的图象关于点(1，0)对称．对f (x)＝2求导得f '(x)＝，f '＝．则f '＝f '＝f '＝f '＝－f '＝－．] 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．将一个直径为10 cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A．底面直径为8 cm，高为6 cm的圆柱体 B．底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C．底面直径为7 cm，高为9 cm的圆锥体 D．各棱长均为8 cm的四面体 ABD　[对于A，若圆柱的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为＝3，故圆柱的高可以为6，A符合；对于B，若圆锥的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆锥底面的距离为＝3，故圆锥的高最大时为3＋5＝8，B符合；对于C，若圆锥的底面直径为7，则半径为，此时球心到圆锥底面的距离为＝<＝4，故圆锥的高最大时为＋5<9，C不符合；对于D，若将各棱长均为8 cm的四面体放入到棱长为4 cm的正方体中，此时正方体的外接球直径为×4＝4<10，故D符合．] 10．过点P(4，0)的直线l交抛物线C：y2＝4x于A，B两点，线段AB的中点为M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，下列说法正确的是(　　) A．以AB为直径的圆过坐标原点 B．·<0 C．若直线l的斜率存在，则斜率为 D．若y0＝2，则|AF|＋|BF|＝12 ABC　[由题意可知直线l的斜率不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， l：x＝my＋4，联立得y2－4my－16＝0，Δ＝16m2＋64>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋8＝4m2＋8，x1x2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝16，因为·＝x1x2＋y1y2＝0，所以OA⊥OB，即以AB为直径的圆过坐标原点，A说法正确；·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝－4m2－7<0，B说法正确；因为M(x0，y0)为线段AB的中点，所以M(2m2＋4，2m)，若直线l的斜率存在，则m≠0，直线l：y＝x－的斜率k＝＝，C说法正确；若y0＝2，则m＝1，由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝14，D说法错误．] 11．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝，△ABC的周长为12，面积为6，则(　　) A．△ABC内切圆的半径为1 B．△ABC外接圆的半径为6 C．sin A＋sin B＋sin C＝ D．acos A＋bcos B＋ccos C＝2 ABD　[令△ABC的内切圆半径为r，△ABC的面积为S，所以S＝6，a＋b＋c＝12， 所以S＝(a＋b＋c)r＝×12×r＝6，即r＝1,故A正确；因为A＋B＋C＝π，故sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)，所以sin 2A＋sin 2B＝sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝2sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin Ccos(A－B)，又sin 2C＝2sin Ccos C＝－2sin Ccos(A＋B)，所以sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝2sin Ccos(A－B)－2sin Ccos(A＋B)＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)] ＝2sin C×2sin Asin B＝4sin Asin Bsin C，又sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝，所以sin Asin Bsin C＝， 令△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 所以S＝absin C＝×2Rsin A×2Rsin B×sin C＝6，所以R＝6，故B正确；因为由选项B知，a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B＋sin C)＝12(sin A＋sin B＋sin C)＝12，所以sin A＋sin B＋sin C＝1，故C错误；正弦定理倍角公式:sin2A＋sin2B＋sin2C＝2sinAcosA＋2sinBcosB＋2sinCcosC＝2×cosA＋2×cosB＋2×cos C＝＝,由选项B知R＝6,故acos A＋bcos B＋ccos C＝2,故D正确] 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．若曲线y＝ex+a＋b的切线为y＝x＋2，则a＋b＝________． 1　[设切点为(x0，y0)，由y＝ex+a＋b，得y'＝ex+a，则由题意得所以1＋b＝x0＋2， x0＋a＝0，所以1＋b＝－a＋2，所以a＋b＝1．] 13．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4＝________． 15　[由题意可得a2a5＝a3a4＝2a4，解得a3＝2，因为a3与2a6的等差中项为，所以a3＋2a6＝，则a6＝，得到q3＝＝，解得q＝，故a1＝＝8，由等比数列求和公式得S4＝＝15．] 14．将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷n次(n为正整数)．当n＝5时，设X为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则E(X)＝________；当n＝2时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则P(B|A)＝________． 　，　[由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率P＝＝，且在桌面上连续独立地抛掷5次，X为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量X服从二项分布， 即X~B，则E(X)＝np＝5×＝；正四面体与桌面接触面上的数字分别为x，y的包含的事件总个数为4×4＝16，事件A为“x＋y为偶数”包含的事件个数为8，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”包含的事件个数为2．则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝＝．] 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 单位：人 成绩 性别 合计 男教师 女教师 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 合计 30 20 50 (1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关? (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)零假设为H0：这次成绩是否优秀与性别之间无关联．..........................1分 由列联表中的数据,得χ2＝＝＝≈0.397<2.706＝x0.1，..........4分 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为这次成绩是否优秀与性别无关．....................................................7分 (2)由题意随机变量X的可能取值为0,1,2，.......................................8分 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以随机变量X的分布列为 ................11分（写对一个1分） X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝．...............................13分 16．(15分)已知函数f (x)＝ex－ax－1． (1)当a＝1时，求f (x)的最小值；(2)若f (x)≥x2对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，因为f (x)＝ex－x－1，所以f ′(x)＝ex－1，................2分 所以当x<0时，f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0， 所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，.............................4分 所以f (x)min＝f (0)＝0．................6分 (2)因为x>0，所以f (x)≥x2等价于a≤，...............7分 令g(x)＝，则g′(x)＝，................8分 由(1)得当x>0时，f (x)＝ex－x－1>0，................9分 所以当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，...............11分 所以g(x)min＝g(1)＝e－2，................13分 所以a≤e－2．所以实数a的取值范围为(－∞，e－2]．...............15分 17．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，PA⊥AD． (1)证明：PA⊥平面ABCD． (2)若底面ABCD是正方形，AP＝AB＝2，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． (ⅰ)求PF的长度； (ⅱ)平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． [解]　(1)证明：因为CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA， 又因为PA⊥AD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD∩CD＝D， 所以PA⊥平面ABCD．..............................4分 (2)(ⅰ)由(1)可知PA⊥平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)， 所以＝(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(2，0，－2)，................5分 设＝λ＝(0，2λ，－2λ)(0≤λ≤1)，则＝＋＝(0，2λ，2－2λ)，................6分 因为异面直线AF与PB所成的角为60°， 所以cos 60°＝|cos<，>|＝＝＝，解得λ＝，................8分 所以PF＝PD＝．...............9分 (ⅱ)设＝μ(0≤μ≤1)， 则＝＋＝＋μ＝(0，0，2)＋μ(2，2，－2)＝(2μ，2μ，2－2μ)，..................10分 ＝(1，0，1)，＝(0，1，1)， 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即 取x＝－1，y＝－1，z＝1，得n＝(－1，－1，1)，...............................11分 因为n⊥，所以n·＝0，即－2μ－2μ＋(2－2μ)＝0，解得μ＝，................12分 所以G，所以＝， 因为点M在线段PB上，所以＝t＝(2t，0，－2t)(0≤t≤1)， 则M(2t，0，2－2t)，＝(0，2，0)，＝(2t，0，2－2t)， 设平面MAD的法向量m＝(x1，y1，z1)，则即 取x1＝t－1，y1＝0，z1＝t，得m＝(t－1，0，t)，...............13分 设EG与平面MAD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝＝＝，................14分 由于t∈[0，1]，所以＋∈，所以sin θ∈， 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．................................15分 18．(17分)平面直角坐标系Oxy中，已知点P(0，1)，动点M在x轴上的投影为M'，且|M'M|＝|M'P|，记动点M的轨迹为曲线Γ． (1)求曲线Γ的方程． (2)已知点A，B在曲线Γ上，点A在x轴上方且异于点P，点B在x轴下方，直线AP，BP，AB与x轴分别交于点C，D，Q． (ⅰ)若PA⊥PB，求|AB|的取值范围；(ⅱ)求证：|QC|·|QD|＝|PQ|2． [解]　(1)设M(x，y)，则M'(x，0)，由|M'M|＝|M'P|得|y|＝，................2分 整理得曲线Γ的方程为y2－x2＝1．................3分 (2)(ⅰ)联立直线PA：y＝kx＋1与Γ得，(k2－1)x2＋2kx＝0，故xA＝，.............5分 又PA⊥PB，以－替代k，得xB＝＝，................7分 所以xA＝xB，即AB⊥x轴．................8分 于是，|AB|＝2yA>2，即|AB|的取值范围为(2，＋∞)．................10分 (ⅱ)证明：联立直线AB：x＝my＋t与Γ得， (1－m2)y2－2mty－(t2＋1)＝0，..............................11分 由根与系数的关系，yA＋yB＝，yAyB＝，................13分 由Δ>0⇒t2＋1>m2，................14分 在直线AP：y＝x＋1中，令y＝0，得C，同理D，又Q(t，0)，..............15分 于是|QC|·|QD|＝·＝· ＝(t＋m)2＝(t＋m)2＝t2＋1＝|PQ|2．................17分 19．(17分)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn，所有项的和为Sn． (1)若a＝2，b＝3，c＝4，求P2，S2； (2)若Pn≥2 024，求正整数n的最小值； (3)是否存在数列a，b，c，使得数列为等比数列？请说明理由． [解]　(1)a＝2，b＝3，c＝4，第一次“和扩充”后得到数列2，5，3，7，4，.............................1分 第二次“和扩充”后得到数列2，7，5，8，3，10，7，11，4，..............................2分 P2＝9，..........................................................................................................3分 S2＝2＋7＋5＋8＋3＋10＋7＋11＋4＝57．.............................................................5分 (2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列a，b，c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为Pn， 则经第次“和扩充”后增加的项数为Pn－1， 所以Pn＋1＝Pn＋＝2Pn－1，............................................................6分 所以Pn＋1－1＝2Pn－2＝2，.............................................7分 其中数列a，b，c经过1次“和扩充”后，得到a，a＋b，b，b＋c，c，故P1＝5，P1－1＝4， 故是首项为4，公比为2的等比数列，................8分 所以Pn－1＝4×2n-1＝2n+1，故Pn＝2n+1＋1，................9分 则2n+1＋1≥2 024，即2n+1≥2 023． 又n∈N*，解得n≥10，最小值为10．................11分 (3)因为S1＝a＋a＋b＋b＋b＋c＋c＝2a＋3b＋2c， S2＝S1＋3，S3＝S2＋32，..............................................12分 依次类推，Sn＝Sn－1＋3n-1，..............................................13分 故Sn＝Sn－1＋3n-1＝Sn－2＋3n-2＋3n-1 ＝…＝S1＋＝2a＋3b＋2c＋ ＝·3n＋，...............................................................................15分 若使为等比数列，则 或. 所以存在数列a，b，c(a，b，c∈R)，使得数列{Sn}为等比数列，a，b，c满足的条件为a＋c＝0，b≠0或2b＋a＋c＝0，a＋c≠0．................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $