江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题

2026届高三年级4月测试卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，B={x|2<x<11},则A∩B= A.{x|2≤x≤5} B.{x|2<x≤5} C.{x|-2≤x≤11} D.{x|2≤x<5}》 2.已知复数x满足(1十)x=3+i,则之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x十1)=f(x)一3，则f(一2)= A.-6 B.6 C.-4 D.4 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=AA1=1,则异面直线A1B与AD1所成角的 余弦值为 A细 D.2 y .设双曲线Ca>0,6>0的左焦点为F(一c,0,过F,作C的一条渐近线的艇 线，交y轴于点M.若MF1|=√I0c,则C的离心率为 A.2 B.√10 C.10 2 D①0 3 6.如图，在△ABC中，BD=DC,E在边AC上，且BE⊥AC,若AD=8, BC=10,则|AE|AC|= A.26 B.28 C.36 D.39 7.若a>1,b>10,且na+2=21,6+e0=31,则6-lha= A.-10 B.In 10 C.10 D.10ln10 【高三数学第1页（共4页）】 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A=b(sinB+sinC),则号的 取值范围为 A.(2,2) B.(1,3) C.(2w3) D.(2,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位： 小时)，数据如下：5,6,6,7,7,7,8,8,9,10.下列关于这组数据的说法不正确的是 A.中位数为7 B.众数为8 C.平均数为6.8 D.极差为4 10.已知函数f(x)=sin(2x-牙)，则 A.f(x)的最小正周期为π B.fx)的图象关于点（石，0）中心对称 Cf)在[-，】上单调递增 Df(x)的图象向左平移石个单位长度后所得的图象关于y轴对称 1y 1.已知椭圆C:C十21a>b>0,E(一c,0),P2(c,0)分别为C的左、右焦点，P,Q为 上两个动点，则 A.若PF2=F2Q,则△PQF1的周长为4a B.若c=3,直线PQ过点F2,且线段PQ的中点为(1，一1)，则C的短轴长为6√2 C若c=1,P-派à，且1PQ1=Qr,则C的离心率为号 D若B为C的下顶点，PB≤2，则C的离心率的取值范围是(0，] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类.已知某同学答对所有选择题的 概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答 对所有选择题和填空题的概率为 13.已知cos(a+)=号，且a∈(o,),则cos(2a+5）=▲，sin(2a+) 14.一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截 面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为V=(3R一九)h2,其中R为球 的半径，h为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积 为▲， 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=xlnx+mx+11. (1)设m=-5. (i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (i)求f(x)的单调区间 (2)若f(x)>x恒成立，求m的取值范围. 16.(15分) 已知正项等比数列{am}满足a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)若.-1@+2L-1,求数列.的前n项和S. an 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,CD=DC,C它=2EA,B京=2FA,且AB= BC=3,AA1=2. (1)证明：EF平面AB1C1. (2)在答题卡上，作出平面BDF与AC的交点，并说明你的理由. (3)求平面B1DF与平面ABB1A1夹角的正切值. B D B 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知F(1,0)是抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点，过F的直线l与T交于A,B两点(A在 x轴的上方). (1)求p的值； (2)若|AF|=4|BF|,求L的方程； (3)记O为坐标原点，E为x轴上异于F的点，且AE|=AF|,延长AE交Γ于点C,设直 线OB,BC的斜率分别为1，k2,求|k1十k2的最小值 19.(17分) 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有n(n≥2，n∈N+)种不同类型的卡 片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具 (1)若=2，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率， (2)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为饣(0<饣<1)，用k(k∈N+, ≤n)表示事件A首次发生时的试验次数，且k的分布列为P(k)=(1一p)-1p,k=1, 2,,,则随机变量飞服从几何分布，该几何分布的期望为已知甲集齐n种不同类 型的卡片恰好需要购买的玩具数为X· (i)求Xm的数学期望E(Xm); (i)证明：nln(n十1)<E(Xm)<n+nlnn. 【高三数学第4页（共4页）】2026届高三年级4月测试卷 数学参考答案 1.B因为A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}，所以A∩B={x|2<x≤5}. 2A因为水1+2=3计所以：十得二}4-2-所以2+i所以在 复平面内对应的点位于第一象限. 3.B令x=0,得f(1)=f(0)-3=-3.令x=1,得f(2)=f(1)-3=-6.故f(-2)= -f(2)=6. 4.A连接BC1,A1C1(图略).因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1所成的角即A1B 与BC1所成的角，即∠A1BC1.因为AB=2,AD=AA1=1,所以A1B=√AA+AB2=√5， √② BC,-VBC+CC-2,A,C,=VA,B+B,C=5,所以os∠ABC,=后-10. 2_10 5.D不妨设直线M的方程为y=云(x+c,则M(o,%),因为M11=0c,所以 62 +=e则哈=8所以C的高心率为+- 3· 6.D因为E在边AC上，所以AE1IACI=AE·AC 因为AE=AB+BE,所以AE·AC=(AB+BE)·AC=AB.AC+B2.AC. 因为BE⊥AC,所以B2·AC=0,所以AE·AC=AB.AC. 因为AB=AD+DB,AC=AD+DC,且B=DC, 所以AB·AC=(AD+DB)·(AD+DC)=(AD+D)·(AD-DB)=|AD1?-|DB1?. 因为AD=8,BC=10,所以AB·AC=82-52=39. 7.C设1=b-10,则>0，b=1+10,所以t十+10+e=31,即lne+。=21.设f(x)=hx +上，则f)=是-，当x>1时，fx>0,所以fx)在1，+)上单调递增， x x2 则lnx+=21在1，十∞)上有唯一解，因为a>1,e>1,所以a=t,所以6-na=6-1 =10. 8.C因为asin A=b(sinB十sinC),所以a2=b2+bc. 因为a2=b2+c2-2 bccos A,所以c2-2 bccos A=bc,所以c=b(2cosA+1), 所以sinC=sinB(2cosA+l). sin C=sin(A+B)=sin Acos B++cos Asin B=sin B(2cos A+1), 化简得sin Acos B-cos Asin B=sinB,所以sin(A-B)=sinB. 因为△ABC是锐角三角形，所以A一B=B,即A=2B, 因为sinA=sin2B=2 sin Bcos B,所以a=2 2bcos B,所以分=2c0sB. 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 0<B<5, 因为0<A=2B<受， 所以8<B<晋，故分∈(2w3). 0<C=元-A-B=元-3B<2, 9.CD数据已按认小到大的顺序排列，共10个样术中位数为7生7-7，放A正确：众数为7， 故B错误；平均数为5+6+6+7+7+7+8+8+9+10 10 7.3,故C错误；极差为10-5=5，故 D错误 10.ABCf(x)的最小正周期为=，故A正确；因为f(石)=0，所以f(x)的图象关于点 (答，o)中心对称，故B正确；当x∈[一8，]时，2z一号∈[一，]，而函数y=snt在 t∈[-受，]上单调递增，因此了x)在该区间单调递增，故C正确， 将f)的图象向左平移否个单位长度后，得到函数g(x)=sim[2(x十）-]=sin2x 的图象，因为g(x)是奇函数，图象关于原点对称，不关于y轴对称，所以D错误 11.ACD若PF2=F2Q,则直线PQ经过C的右焦点，由椭圆定义知△PQF1的周长为4a,故 A正确； 若直线PQ经过C的右焦点，c=3,F2(3,0),PQ的中点为G(1,一1)，则c=一1，kQ= kas-,则由点若法可得c·k0=-名，所以a3-2,又因为a3-6-2-9,所以6 3,a=3√2，C的长轴长为6√2，故B错误； 若PF2=2F2Q,c=1,|PQ|=|QF1l,设QF2|=x,则|PF2=2x,|QF1|=3x, 因为QF2+|QF1=4x=2a,则x=号，故PF2-|PF=a, s∠Q,-日-4结文解得。-5，则C约离心率为月放C正箱： 设P(xoy)为C上任意一点，则|PB|2=x6+(y。十b)2, 因为+器=1，a2=6+2,所以1PB1:=z+0+6=a(1-9)+(+6= -（w)+g+a2+6,且-6≤3≤b,当≥0，即8≥c时，PB到=6，即 PB1m=26,符合题意，由6°≥c可得a≥2，则0<e号， 当会<b,即62<c时，PB1名+a2+62,即略+a2+6<6,化简得(c-6)<0,显 然该不等式不成立，故D正确。 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 12.0.6设事件A=“该同学答对所有选择题”，事件B=“该同学答对所有填空题”.由题意知 P(A)=0.8,P(B|A)=0.75,故P(AB)=0.8×0.75=0.6. 731V2 13.一2550 因为a∈(0，受)，所以e+晋∈（百，》.因为cos(a+）)=号，所以sin(e+ )=1-cos(a+)=因为2a+号=2(e+),所以cos(2a+5)=cos(a+若) -sim(e+若）-一名sm(2+）-2sn(e+看)os(e+看)-20因为2a+臣-2z+号 -子，所以m(+-装×号+若×号- -50 14,75r如图，记正四面体PABC外接球的球心为O,半径为R, 8 △ABC外接圆的圆心为O1.因为O1C=√3，所以PO1=√6，所以 (0,-Ry+0,C=R,得R-39,0,-9,h=R-00, 誓所以球块的体积V-子aR-AA一苔×（巴5-）×()广-2一 8 15.解：(1)若m=-5,则f(x)=xlnx-5x+11,f'(x)=lnx+x· 1-5=lnx-4.… …1分 (1)f(1)=ln1-5+11=6,f(1)=1n1-4=-4,…2分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y一6=一4(x一1)，即y=一4x+10, …4分 (ii)令f'(x)>0,得x>e4,所以f(x)的单调递增区间为(e4,十o∞)；…5分 令f(x)<0,得0<x<e,所以f(x)的单调递减区间为(0，e).…6分 (2)(方法一)若f(c)>z恒成立，则nx十m+>1,即1nx+>一m十1恒成立.… 8分 设ge)=hx+品则gx)=上是- 9分 当x>11时，g(x)>0,g(x)在(11，十o∞)上单调递增，…10分 当0<x<11时，g'(x)<0,g(x)在(0,11)上单调递减，…11分 所以g(x)≥g(11)=1+ln11,… ……12分 则-m+1<1+ln11,即m>-ln11,所以m的取值范围为(-ln11,+∞).…13分 (方法二)设h(x)=f(x)一x, 则h'(x)=lnx十m.…8分 令h'(x)<0,得0<x<em,… 9分 令h'(x)>0,得x>em,…10分 则h(x)血=h(em)=11-em>0,…l2分 得m∈（-ln11,十∞).…13分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 16.解：(1)设等比数列{am}的公比为q(q>0).…1分 因为2a1,a3,3a2成等差数列，所以2a1十3a2=2a3.…2分 因为a1=2,所以2×2十3×2q-2×2g2,整理得2g2一3q-2=(q-2)(2q十1)=0， 解得g=2或g=-2 …4分 因为q>0,所以q=2,故{an}的通项公式为an=2m. 6分 （2油1)知6，-1og0+2m-1-=2+2m-1.… …7分 an 记数列经}的前项和为P则R,=号十号-是+…+长。 2L3 因为二Pn=2千23十24十…十士九 2n 2n十7，………………8分 所以两式相得，十++… 1 1-(》] n+2 22n+灯 =1 1一2 2n+1 2n+1, 所以Pn=2-n十2 2n 13分 因为数列(2m一1的前n项和为1十2？一1)n=,… 2 14分 所以S.=2nt2+2 …… 2n 15分 17.(1)证明：因为C克=2EA,BF=2FA,所以EFBC.…1分 又BC/B1C1,所以EF∥B1C1,…2分 因为EF中平面AB1C1,B1C1C平面AB1C1,所以EF∥平面 AB1C1.……4分 (2)解：延长B1D,交BC延长线于点G,…5分 连接FG,交AC于点H.…6分 B 因为G∈BD,所以G∈平面BDF,所以FGC平面B1DF,所以 H为平面BDF与AC的交点.…7分 (3)解：以B为坐标原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,之轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,2),D(0,3,1),F(2, 0,0),… 8分 B1D=(0,3,-1),B1F=(2,0,-2). …9分 设平面B,DF的法向量为m=(x,y,之)，则 6D.m=0得3y-0 B市.m=0, …10分 12x-2x=0, 令y=1,得m=(3,1,3).…11分 易知平面ABB1A1的一个法向量为n=(0,1,0).…12分 设平面B,DF与平面ABBA:的夹角为，则cos0=mm=√ m·n1 ,…14分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 则sin0=3 2,tan0=sin32, √1 cos 0 故平面B1DF与平面ABB1A1夹角的正切值为3√2.…15分 18.解：1)因为F1,0)是r的焦点，所以号-1， …1分 得p=2. 2分 (2)由(1)知Γ的方程为y2=4x.由题意可设l的方程为x=ty十1，A(x1,y1),B(x2,y2). hy=4)得y2-4y-4=0, 由 …3分 x=ty+1, 则y1十y2=4t,y1y2=一4.…4分 因为AF|=4|BF|,所以y1=-4y2.…6分 由y1>0,解得y1=4,y2=-1,…7分 ,的方程为4红-3y4=0。 (3)由E为x轴上异于F的点，且AE引=|AF|,得E(2x1一1,0)，…9分 则直线AC的方程为y-21十1.即x-g+2z1设C(. y1 …10分 y2=4x, =y+21-1 由1一x1， 得y24-4 y1y-8.x1十4=0，…11分 x- 则1，=-8x1十4，y,=-8+4=-2+4=-21十 4 …12分 则k2=y一y=4 4 -2+4 …13分 x3-x2y3+y2 y2 4 2 由y1y2=一4，得k2= 14分 -2y1+4+y: y1 又1=y2=4 一y1,… …15分 x2 y2 所以+是+≥2。 …16分 当且仅当y1=√2时，等号成立，故|k1十2的最小值为2√2 17分 19.(1)解：甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第 三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的 卡片的概率为2X号×号×号子： 3分 (2)(ⅰ)解：设Xo表示在甲已获得第(i一1)种类型的卡后，获得第i(i∈N+,i≤n)种类型 卡片需要购买的玩具数，则Xn=X)十X2)十…十X.…4分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为”二1 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为”一2 2 依此类推，在甲已获得第(n一1)种类型的卡片后，每次试验中获得第n种类型卡片的概率 为，则XX@…,Xm均服从几何分布，…6分 所以EX.)=EXw)+EXo)+…+E(Xw)=1+n马十n2+…中% …8分 ()证明：E(X,)=1+”1十n”2十…+n=a(分十n十n2十…+)=n(1+习 +叶》. …9分 设)=i(x+D-x,则f'w)中一1=希 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0，十∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递 减，所以f(x)≤f(0)=0,得ln(x十1)≤x,当且仅当x=0时，等号成立.…10分 令z-是得1n”<,则aa+1)=n2+n名++lh”<1+号+…+D n …12分 设gx)-ln(x+1)-z千1则g(x)=z干1 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，十o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递 增，所以g(x)≥g(0)=0,得千1≤nx+1,当且仅当x=0时，等号成立.。…14分 3 14 令x=a≥2，得<n”1则1+名++1+n2+n名++nn” nn.②……16分 由①②得ln(a+1)<1+号+号++<1+lhnm, 所以nln(n+1)<n(1+2+…+)<n+nlnn,即nln(n+l)<E(X,)<n十nlnn.… …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】