精品解析：上海市卢湾高级中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

卢湾高级中学高一年级第二学期期中考试数学试卷 （完卷时间：90分钟满分：120分） 2026年04月 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出点到原点的距离，再根据三角函数定义即可求解. 【详解】由题意，角的终边经过点， 所以， 所以. 2. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 【答案】. 【解析】 【详解】已知扇形的圆心角为，半径为3， 则该扇形的弧长为. 故答案为：. 3. 若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得. 4. 已知，，且与的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题设. 5. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 6. 对数表达式中的的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的定义可得，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查了对数式的定义，对数的底数大于零且不等于 、真数大于零，属于基础题. 7. 已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用共线定理和平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又、、三点共线，所以存在，使得，即， 因为、是两个不平行的向量，所以，解得. 8. 在中，，则的最小内角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得是最小的角，设，再由余弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理可得， 可得是最小的角，设，则， 由余弦定理得. 9. 方程，的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式和正弦型函数的图象及性质即可求解. 【详解】 ， 解得， 又，， ，解得． 10. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过整体代换的方法及正弦函数的单调递增区间可得不等式组，解不等式组可得. 【详解】因为，，因此： ， 又因为函数在区间上严格增， 所以且,得且, 所以当时，,得；当时，由,所以不等式组无解； 当时，由,不等式组无解； 综上所述，，故的取值范围为. 11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 12. 已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，代入不等式并求得，令函数，求得函数的周期及定义域，作出函数的部分图象，讨论的取值结合函数图象得到不等式的整数解的值，然后得到结果. 【详解】令，则不等式化简为，则， 由的周期，且，则， ∴函数的定义域为，函数大致图象如下， 在中的可能值讨论如下： 若，； 若，则内整数解为1，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为3，所以； 若，则内整数解为，所以； 若，则内整数解为1，所以； 若，. 综上：m的所有可能值的集合为. 二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置. 【详解】因为，所以，， 所以点在第四象限． 故选：D． 14. 以下命题中正确的命题的为（ ） A. 若存在一个使，则； B. 若，则； C. 若单位向量共线，则； D. 若，则． 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则，则与不一定相等，故A错误； 对于B，若，， 则的方向相同模相等，的方向相同模相等 所以的方向相同模相等，所以，故B正确； 对于C，若单位向量，共线， 则的方向相同或相反，所以为相等向量或相反向量，故C错误； 对于D，当时，， 此时无法判断是否相等，故D错误. 15. 将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为， 由图象得：①， 解得：，又有图可知，最小正周期满足，即② 结合①②得： 平移后的图象所对应的函数的解析式为：. 故选：C． 16. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知． （1）求与的夹角大小； （2）求在方向上的投影与数量投影． 【答案】（1）； （2）投影为，数量投影为. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据投影和数量投影的概念计算即可. 【小问1详解】 由题可知， 所以， 则，， 又，所以夹角为. 【小问2详解】 在上的投影为. 在上的数量投影为. 18. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果； （2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出. 【小问1详解】 由，且， 可得； 由二倍角公式可得； ； 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 19. 某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN. （1）求M，N两地间的直线距离； （2）求观光线路长的取值范围. 【答案】（1） （2）长的取值范围是（单位：）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得正确答案. （2）设，利用三角函数表示出，并求得取值范围. 【小问1详解】 由余弦定理得. 【小问2详解】 设， 由正弦定理得， ， 所以， 所以 ， 由于，所以. 即长的取值范围是（单位：）. 20. 已知． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）令，若函数的最大值为1，求的取值范围． 【答案】（1）和； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调区间整体代入求解即可； （2）通过诱导公式及二倍角公式得到，再结合最大值为1，得到的范围内包含最大值点，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由， 得： ， 结合，取得，取得， 故单调增区间为和. 【小问2详解】 ， 当时，， 因为最大值为， 即区间内必须包含使得的点， 又得：， 当，解得； 当，解得. 故的取值范围为. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）由跃点函数定义，解得，即可证明； （3）由跃点函数定义，即在上个根，根据正弦函数的周期性和图像。讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由已知得存在实数， 使得. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. ⑤当，即，有个根，不符合. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 四、附加题（本大题共有3题，满分20分，其中22题5分，23题5分，24题10分） 22. 已知，，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的组数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】令，可得，求得或，结合函数的周期性反正否定,的情况，讨论得出所有可能的值，最后利用乘法计数原理求出有序实数对的组数． 【详解】对任意实数x均有，令，则，故， ，又， 或，共2个，此时. 令，依题意，恒成立. 当时显然，恒成立. 当时，的周期依次为为，. 若，则，于是当正数足够大时，在区间内的上顶点数比多，所以存在，使得在处取到最大值而不是，即而，，所以不恒成立，不合题意． 若，则，当正数足够大时，在区间内，的零点比的零点多，所有存在，使得在处是的零点而不是的零点，即而，，所以存在的点，不合题意． 当时，，成立； 所以的取值共3个：． 所以有序实数对共组． 故答案为：6． 23. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，由圆的性质可知当为弧的中点时，到的距离最大， 此时阴影部分的面积取最大值， 此时， 面积的最大值为 . 故答案为：. 24. 在锐角中，，为外角平分线上的一点，若，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理结合两角差正弦公式及辅助角公式化简，最后应用数量积运算律结合三角函数值域计算求解. 【详解】如图，为角对应的旁心，设， 由正弦定理得外接圆直径 可得， 而，于是． 又设，则， 且， 由于， 所以． 故答案为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学高一年级第二学期期中考试数学试卷 （完卷时间：90分钟满分：120分） 2026年04月 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 2. 已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 3. 若幂函数的图像经过点，则的值为______． 4. 已知，，且与的夹角为，则________． 5. 函数的最小正周期为________. 6. 对数表达式中的的取值范围是________ 7. 已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 8. 在中，，则的最小内角的余弦值为___________． 9. 方程，的解为______． 10. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则_________． 12. 已知，若不等式在中的整数解有m个，则m的所有可能值构成的集合为________． 二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若，则点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. 以下命题中正确的命题的为（ ） A. 若存在一个使，则； B. 若，则； C. 若单位向量共线，则； D. 若，则． 15. 将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知． （1）求与的夹角大小； （2）求在方向上的投影与数量投影． 18. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 19. 某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN. （1）求M，N两地间的直线距离； （2）求观光线路长的取值范围. 20. 已知． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）令，若函数的最大值为1，求的取值范围． 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 四、附加题（本大题共有3题，满分20分，其中22题5分，23题5分，24题10分） 22. 已知，，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的组数为________． 23. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为_________． 24. 在锐角中，，为外角平分线上的一点，若，则实数的取值范围为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $