广东肇庆市封开县广信中学2025-2026学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题

**基本信息** 高一年级数学月考卷，聚焦复数、向量、解三角形核心知识，通过定义新运算（题6）、塔高测量情境（题14）及三选一条件（题18），考查抽象能力、模型观念与探究思维，适配基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量垂直、投影向量|基础概念辨析，如向量投影（题4）| |多选题|3/18|向量中点、复数性质、三角形判定|多维度推理，如三角形结论判断（题11）| |填空题|3/15|复数化简、向量共线、实际测量|情境应用，如塔高测量（题14）| |解答题|5/77|向量平行、解三角形、复数综合|分层探究，如三选一条件（题18）及平行四边形向量应用（题19）|

《2025-2026学年第二学期高一年级第一次教学质量检测数学科试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A D C C B AB ABC 题号 11 答案 BD 1．B 2．A 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】由，得，解得， 故选：A 3．D 【详解】因为，所以， 则复数对应点为，则其所对应的点在第四象限. 4．A【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 5．D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 6．C 【解析】设的夹角为，的夹角为，的夹角为，按照题目所定义的新运算逐项判断正误. 【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为． 因为，，由得，故A不正确； ，，不一定共线，故B不正确； ，故C正确； 若，且不共线，则，，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查向量的数量积知识迁移，属于中档题. 7．C 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 由为线段上一点，得， 而点在线段上，则，A B错误； 由，得，解得，当且仅当取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：C 8．B 【分析】根据已知条件得出，、分别为、的中点，建立平面直角坐标系将转化为坐标运算，利用几何意义即可求解. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 由，所以， 因为，所以， 因为，所以为的中点， 因为，所以为的中点， 如图以为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 则，， 所以 表示点到定点距离的平方减去， 由图知当点与点重合时距离的平方减去最大，即最大， 所以最大为， 故选：B 9．AB 【分析】利用向量的加减法则进行判断. 【详解】根据向量减法可得，故A正确； 因为是的中点，所以，故B正确； 由题意知是的重心， 则，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 10．ABC 【分析】举反例即可求解AB，利用复数的几何意义即可求解CD. 【详解】A选项：若，，与并不互为共轨复数；A错误； B选项：虚数不能比较大小；必如，，，但无法比较大小，B错误， C选项：由于，故C错误； D选项：设在复平面对应的点为，由 可知点的集合是以为圆心，1为半径的圆． 表示点到的距离，所以最大值为,D正确， 故选：ABC    11．BD 【分析】利用正弦定理边角互化判断A；利用正切的和差角公式化简判断B；利用正弦定理求解判断C；利用余弦定理边角互化判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，则， 于是或，即或，为等腰三角形或者直角三角形，A错误； 对于B, 不是直角三角形，则， 因此，B正确； 对于C, 由，，得，因此符合条件的有1个，C错误； 对于D, 由, 得，即， 由正弦定理得，则，角为钝角，为钝角三角形，D正确， 故选：BD 12． 【分析】根据的性质可求题设中的和. 【详解】对于任意的，设，其中，则 ， 故， 故答案为：. 13．0.5 14．60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 15．(1) (2)或 【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出； （2）表达出，根据模长得到方程，求出的值. 【详解】（1）因为与平行，且与不共线 所以 所以，解得 （2）因为 所以，解得或. 经检验，均满足与不共线，故或 16．【详解】（1）变形为：， 所以，因为，所以； （2）因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可； （2）根据求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 由于复数是纯虚数，则，解得； （2）由（1）可得，，则点，，点 所以，　　　　 因三点共线，所以，所以， 所以 18．(1)条件选择见解析， (2) 【分析】(1) 选择条件①由正弦定理角化边后，用余弦定理求角；选择条件②，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求角；选条件③，由正弦定理边化角，再利用倍角公式化简，可求角. (2) 由已知条件结合正弦定理角化边，得，再利用余弦定理得到，代入面积公式既可. 【详解】（1）选择条件①，由 及正弦定理，可得 ，即 ， 由余弦定理， 得 ， 因为 ， 所以 . 选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ， 即 ，即 . 在 中， ，所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 . 若选条件③， ， 则 ， 由 ， 有 ，由，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 . （2）由正弦定理得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 若 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 的面积为 . 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解； （2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比； （3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解. 【详解】（1）因为点在上，则， 又因为，，可知，解得， 所以． （2）由可得，则，即， 因为，则， 即，可知，即， 所以． （3）由，即， 则， 所以，即，又， 所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，    不妨设，则，可得，， 可得， 因为是向量和的夹角，所以的余弦值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级第一次教学质量检测数学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A．i B．−i C．1 D．-1 2．已知向量且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．-1 3．若复数z满足则复数z在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角。有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 7．在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 8．在菱形中，，，，是菱形内部及边界上一点，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。 9．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知两个复数与，下列结论错误的是（   ） A．若，则与互为共轭复数 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 11．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等腰三角形 B．若不是直角三角形，则 C．若，，，则符合条件的有2个 D．若，则为钝角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：______． 13．已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 14．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 四、解答题 15．(本小题满分13分)已知两个非零向量与不共线. (1)若与平行，求实数的值； (2)若，，且，求. 16．(本小题满分15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c 17．(本小题满分15分)设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若三点共线，求实数的值. 18．(本小题满分17分)在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 在中，角所对的边分别为，且 . (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．(本小题满分17分)已知平行四边形中，，，和交于点．    (1)用，表示向量． (2)若的面积为，的面积为，求的值． (3)若，，求的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年第二学期高一年级第一次教学质量检测数学科试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A D C C B AB ABC 题号 11 答案 BD 1．B 2．A 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】由，得，解得， 故选：A 3．D 【详解】因为，所以， 则复数对应点为，则其所对应的点在第四象限. 4．A【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 5．D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 6．C 【解析】设的夹角为，的夹角为，的夹角为，按照题目所定义的新运算逐项判断正误. 【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为． 因为，，由得，故A不正确； ，，不一定共线，故B不正确； ，故C正确； 若，且不共线，则，，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查向量的数量积知识迁移，属于中档题. 7．C 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 由为线段上一点，得， 而点在线段上，则，A B错误； 由，得，解得，当且仅当取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：C 8．B 【分析】根据已知条件得出，、分别为、的中点，建立平面直角坐标系将转化为坐标运算，利用几何意义即可求解. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 由，所以， 因为，所以， 因为，所以为的中点， 因为，所以为的中点， 如图以为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 则，， 所以 表示点到定点距离的平方减去， 由图知当点与点重合时距离的平方减去最大，即最大， 所以最大为， 故选：B 9．AB 【分析】利用向量的加减法则进行判断. 【详解】根据向量减法可得，故A正确； 因为是的中点，所以，故B正确； 由题意知是的重心， 则，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 10．ABC 【分析】举反例即可求解AB，利用复数的几何意义即可求解CD. 【详解】A选项：若，，与并不互为共轨复数；A错误； B选项：虚数不能比较大小；必如，，，但无法比较大小，B错误， C选项：由于，故C错误； D选项：设在复平面对应的点为，由 可知点的集合是以为圆心，1为半径的圆． 表示点到的距离，所以最大值为,D正确， 故选：ABC    11．BD 【分析】利用正弦定理边角互化判断A；利用正切的和差角公式化简判断B；利用正弦定理求解判断C；利用余弦定理边角互化判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，则， 于是或，即或，为等腰三角形或者直角三角形，A错误； 对于B, 不是直角三角形，则， 因此，B正确； 对于C, 由，，得，因此符合条件的有1个，C错误； 对于D, 由, 得，即， 由正弦定理得，则，角为钝角，为钝角三角形，D正确， 故选：BD 12． 【分析】根据的性质可求题设中的和. 【详解】对于任意的，设，其中，则 ， 故， 故答案为：. 13．0.5 14．60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 15．(1) (2)或 【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出； （2）表达出，根据模长得到方程，求出的值. 【详解】（1）因为与平行，且与不共线 所以 所以，解得 （2）因为 所以，解得或. 经检验，均满足与不共线，故或 16．【详解】（1）变形为：， 所以，因为，所以； （2）因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可； （2）根据求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 由于复数是纯虚数，则，解得； （2）由（1）可得，，则点，，点 所以，　　　　 因三点共线，所以，所以， 所以 18．(1)条件选择见解析， (2) 【分析】(1) 选择条件①由正弦定理角化边后，用余弦定理求角；选择条件②，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求角；选条件③，由正弦定理边化角，再利用倍角公式化简，可求角. (2) 由已知条件结合正弦定理角化边，得，再利用余弦定理得到，代入面积公式既可. 【详解】（1）选择条件①，由 及正弦定理，可得 ，即 ， 由余弦定理， 得 ， 因为 ， 所以 . 选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ， 即 ，即 . 在 中， ，所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 . 若选条件③， ， 则 ， 由 ， 有 ，由，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 . （2）由正弦定理得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 若 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 的面积为 . 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解； （2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比； （3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解. 【详解】（1）因为点在上，则， 又因为，，可知，解得， 所以． （2）由可得，则，即， 因为，则， 即，可知，即， 所以． （3）由，即， 则， 所以，即，又， 所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，    不妨设，则，可得，， 可得， 因为是向量和的夹角，所以的余弦值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $