精品解析：广东肇庆市封开县广信中学2025-2026学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期高一年级第一次教学质量检测数学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知向量且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】由，得，解得， 故选：A 3. 若复数z满足则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 则复数对应点为，则其所对应的点在第四象限. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 6. 对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设的夹角为，的夹角为，的夹角为，按照题目所定义的新运算逐项判断正误. 【详解】设的夹角为，的夹角为，的夹角为． 因为，，由得，故A不正确； ，，不一定共线，故B不正确； ，故C正确； 若，且不共线，则，，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查向量的数量积知识迁移，属于中档题. 7. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 由为线段上一点，得， 而点在线段上，则，A B错误； 由，得，解得，当且仅当取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：C 8. 在菱形中，，，，是菱形内部及边界上一点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得出，、分别为、的中点，建立平面直角坐标系将转化为坐标运算，利用几何意义即可求解. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 由，所以， 因为，所以， 因为，所以为的中点， 因为，所以为的中点， 如图以为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 则，， 所以 表示点到定点距离的平方减去， 由图知当点与点重合时距离的平方减去最大，即最大， 所以最大为， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量的加减法则进行判断. 【详解】根据向量减法可得，故A正确； 因为是的中点，所以，故B正确； 由题意知是的重心， 则，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 10. 已知两个复数与，下列结论错误的是（ ） A. 若，则与互为共轭复数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】举反例即可求解AB，利用复数的几何意义即可求解CD. 【详解】A选项：若，，与并不互为共轨复数；A错误； B选项：虚数不能比较大小；必如，，，但无法比较大小，B错误， C选项：由于，故C错误； D选项：设在复平面对应的点为，由 可知点的集合是以为圆心，1为半径的圆． 表示点到的距离，所以最大值为,D正确， 故选：ABC 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若不是直角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有2个 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化判断A；利用正切的和差角公式化简判断B；利用正弦定理求解判断C；利用余弦定理边角互化判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，则， 于是或，即或，为等腰三角形或者直角三角形，A错误； 对于B, 不是直角三角形，则， 因此，B正确； 对于C, 由，，得，因此符合条件的有1个，C错误； 对于D, 由, 得，即， 由正弦定理得，则，角为钝角，为钝角三角形，D正确， 故选：BD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的性质可求题设中的和. 【详解】对于任意的，设，其中，则 ， 故， 故答案为：. 13. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线时的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得， 若，则，解得. 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【解析】 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 四、解答题 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若与平行，求实数的值； （2）若，，且，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出； （2）表达出，根据模长得到方程，求出的值. 【小问1详解】 因为与平行，且与不共线 所以 所以，解得 【小问2详解】 因为 所以，解得或. 经检验，均满足与不共线，故或 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 17. 设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若三点共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可； （2）根据求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 由于复数是纯虚数，则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，，则点，，点 所以，　　　　 因三点共线，所以，所以， 所以 18. 在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 在中，角所对的边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【解析】 【分析】(1) 选择条件①由正弦定理角化边后，用余弦定理求角；选择条件②，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求角；选条件③，由正弦定理边化角，再利用倍角公式化简，可求角. (2) 由已知条件结合正弦定理角化边，得，再利用余弦定理得到，代入面积公式既可. 【小问1详解】 选择条件①，由 及正弦定理，可得 ，即 ， 由余弦定理， 得 ， 因为 ， 所以 . 选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ， 即 ，即 . 在 中， ，所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 . 若选条件③， ， 则 ， 由 ， 有 ，由，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 . 【小问2详解】 由正弦定理得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 若 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 的面积为 . 19. 已知平行四边形中，，，和交于点． （1）用，表示向量． （2）若的面积为，的面积为，求的值． （3）若，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解； （2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比； （3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 因为点在上，则， 又因为，，可知，解得， 所以． 【小问2详解】 由可得，则，即， 因为，则， 即，可知，即， 所以． 【小问3详解】 由，即， 则， 所以，即，又， 所以平行四边形是正方形，如图所示的建系， 不妨设，则，可得，， 可得， 因为是向量和的夹角，所以的余弦值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级第一次教学质量检测数学科试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 2. 已知向量且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3. 若复数z满足则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 7. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 8. 在菱形中，，，，是菱形内部及边界上一点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个复数与，下列结论错误的是（ ） A. 若，则与互为共轭复数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若不是直角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有2个 D. 若，则为钝角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 四、解答题 15. 已知两个非零向量与不共线. （1）若与平行，求实数的值； （2）若，，且，求. 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 17. 设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若三点共线，求实数的值. 18. 在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 在中，角所对的边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知平行四边形中，，，和交于点． （1）用，表示向量． （2）若的面积为，的面积为，求的值． （3）若，，求的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $