精品解析：广东省广州市番禺区广东仲元中学2025-2026学年度第二学期七年级数学学科素养提升练习

广东仲元中学2025-2026学年度第二学期 初一年级数学学科素养提升练习 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 下列各数：3.14，﹣2，0.1010010001…，0，﹣π，，0.6，其中无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，E是延长线上一点，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离等于 B. 点到直线的距离等于 C. 点到直线的距离等于 D. 点到直线的距离等于 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直 B. 如果实数a，b满足，那么 C. 在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 相等的角是对顶角 8. 如图，沿直线BC向右平移得到．若，，则平移的距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 2 D. 10 9. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，共24分，每小题4分） 11. 的算术平方根是________． 12. 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______． 13. 平面直角坐标系中若点P的坐标为，则点P到y轴距离为______． 14. 将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 15. 如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若，，，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） 18. 解下列方程 （1） （2） 19. 如图，，平分，交于点D． （1）按下列要求画出相应的图形： ①作于点E； ②作交于点F （2）若，求的度数． 20. 如图，在三角形中，点，分别在，上，连接，，点在上，连接，，． （1）请补全下面解答过程，证明． 证明：°，°（平角的定义）， ______（____________） （____________） （____________） （已知）， ______ （____________） （2）若平分，，则的度数为______ 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，,，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为． （1）在图中画出平移后的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 22. 已知：和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求： （1）a、b的值； （2）的平方根． 23. 如图，已知，若，则．完成推理过程． 24. 项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． （1）填空：与的数量关系：_____；理由是_____； （2）直接写出与的数量关系：_____； （3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东仲元中学2025-2026学年度第二学期 初一年级数学学科素养提升练习 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 下列各数：3.14，﹣2，0.1010010001…，0，﹣π，，0.6，其中无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，如分数是无理数，因为是无理数． 【详解】解：在所列的实数中，无理数有，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的常见类型． 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限的点的坐标符号特征是，解答即可． 本题考查了坐标与象限的关系，熟练掌握坐标的象限的符号特征是解题的关键． 【详解】解：根据第二象限的点的坐标符号特征是， 故选：B． 3. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断． 先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置． C、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． D、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． 故选：B． 4. 如图，E是延长线上一点，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，无法判定，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； D、若，无法判定，故本选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离等于 B. 点到直线的距离等于 C. 点到直线的距离等于 D. 点到直线的距离等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离．解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可． 【详解】解：A、∵不垂直与，∴点B到直线 的距离不等于4，故本选项错误； B、∵，∴点C到直线的距离等于5，故本选项正确； C、∵，，∴点到直线的距离等于4，故本选项错误； D、点B到直线的距离等于，故本选项错误． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐个计算判断即可． 【详解】解：选项A：，故本选项错误； 选项B：，故本选项错误； 选项C：，故本选项错误； 选项D：，故本选项正确． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直 B. 如果实数a，b满足，那么 C. 在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 相等的角是对顶角 【答案】B 【解析】 【详解】A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，因此A是假命题，不符合题意. B. ∵根据立方根的性质，可得， ， 又已知， ∴，因此B是真命题，符合题意. C. 只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，题干未说明两直线平行，因此C是假命题，不符合题意. D. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此D是假命题，不符合题意. 8. 如图，沿直线BC向右平移得到．若，，则平移的距离为（ ） A. 8 B. 6 C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】 沿直线向右平移得到， ∴点的对应点是点， ∴平移的距离为线段的长． ∵，， ∴． 即平移的距离为 6． 9. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10. 如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握．延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ； ①错误；②正确； ，， ，③正确； 平分， ， ， ， ， ④平分不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：B． 二、填空题（共6小题，共24分，每小题4分） 11. 的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根的定义和有理数的乘方．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义． 12. 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 故答案为： 13. 平面直角坐标系中若点P的坐标为，则点P到y轴距离为______． 【答案】5 【解析】 【详解】解：点的横坐标为，到轴的距离为 14. 将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据题意首先确定原点的位置，进而得出“宝藏”点C的位置． 【详解】解：根据两个标志点，可建立如下所示的坐标系， 由平面直角坐标系知，“宝藏”点C的位置是， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，若，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析前几次旋转后点的坐标，找出其循环规律，进而求出的坐标． 【详解】解：∵ 点为原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上， ∴ ，， ∵ 将绕点顺时针旋转到，点在轴上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 将绕点顺时针旋转到，点在轴上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 将绕点顺时针旋转到，点在轴上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 旋转不改变三角形的形状和大小， ∴ 点到轴的距离等于， 又∵ 由图形位置可知在轴上方， ∴ ， ∵ 将绕点顺时针旋转，使落在轴上的处， ∴ ， ∴ ， ∵ 将绕点顺时针旋转，使落在轴上的处， ∴ ， ∴ ， ∵ 将绕点顺时针旋转，使落在轴上的处， ∴ ， ∴ ， ∴ 点到轴的距离为，横坐标为12， ∴ ， ∴ 规律为：，（为非负整数）， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 原式； 【小问3详解】 解：， ，  原式． 18. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握它们的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 19. 如图，，平分，交于点D． （1）按下列要求画出相应的图形： ①作于点E； ②作交于点F （2）若，求的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出垂线即可． （2）利用平行线的性质由求出，再利用角平分线定义求出，最后利用平行线的内错角相等求出． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为； ②过点作，交于点， 则． 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ． 20. 如图，在三角形中，点，分别在，上，连接，，点在上，连接，，． （1）请补全下面解答过程，证明． 证明：°，°（平角的定义）， ______（____________） （____________） （____________） （已知）， ______ （____________） （2）若平分，，则的度数为______ 【答案】（1）；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角的补角相等，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证，根据平行线的性质可证，再根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立； （2）根据角平分线的定义可知，又因为，根据平角的定义可得：，可得：，从而可得的度数. 【小问1详解】 证明：，（平角的定义）， （同角的补角相等）. （内错角相等，两直线平行）. （两直线平行，内错角相等）. （已知）， （等量代换）. （同位角相等，两直线平行）. 故答案为：；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， （平角的定义），， ， ， . 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、同角的补角相等，熟记平行线的判定与性质是解题的关键. 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，,，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为． （1）在图中画出平移后的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）7 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先根据平移的性质找出各点，然后用线段顺次连接即可； （2）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：平移后的图形如图所示，，， 【小问2详解】 的面积． 22. 已知：和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求： （1）a、b的值； （2）的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，据此可列方程求出的值；再根据立方根的定义求出的值． (2) 将、的值代入，再根据平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：∵ 和是某个正数的两个不相等的平方根， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∵ 的立方根为， ∴ ， 解得：． 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ， ∴ 的平方根为． 23. 如图，已知，若，则．完成推理过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．要灵活应用． 先证明，则，又，所以，则，邓可得出结论． 【详解】解：∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， 即， ∴，（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 24. 项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 【答案】（1）；；（2）2，2；（3）；（4）纸的宽约为，则长约为． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形面积公式、无理数的估算、折叠的性质、算术平方根的应用，等面积转换等知识点；掌握这些和数形结合思想是解决本题的关键． （1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，即可解答； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长的2倍； （3）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （4）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是， 故答案为：； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长2倍； 故答案为：2，2； （3）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （4）解：由（3）可知：纸的长与宽之比是 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． 25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． （1）填空：与的数量关系：_____；理由是_____； （2）直接写出与的数量关系：_____； （3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 【答案】（1），同角的余角相等 （2） （3）①图见解析，；②存在，或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，作，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①如图3，当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②存在， 如图4，当时，， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，， ∴； 如图7，当时，， ∴． 综上，当时，；当时，；当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $