专题06全等三角形的性质与判定复习讲义(知识梳理+17大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题06全等三角形的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解：全等三角形的概念，能准确识别对应顶点、对应边、对应角。 2.掌握：全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行线段与角度计算。 3.熟记：三角形全等的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），明确每种方法的条件与适用场景。 4.辨析： “SSA” 不能作为判定依据，理解 SAS 中 “两边夹角” 的位置要求。 5.了解：尺规作图（作三角形、等角、平行线）的本质是利用全等判定。 1.识别：能在复杂图形中精准定位全等三角形的对应元素。 2.运用：能根据已知条件灵活选用判定方法证明三角形全等。 3.推理：能规范书写证明过程，做到 “条件→结论→依据” 清晰严谨。 4.转化：能将 “证线段相等 / 角相等” 转化为 “证三角形全等”，掌握几何转化思想。 5.构造：初步掌握倍长中线、旋转、垂线等辅助线构造全等的方法。 1.基础题：熟练解决对应元素识别、性质计算、直接判定全等的基础题型。 2.中档题：能解决添加条件、灵活选方法、结合内角和 / 角平分线的综合证明题。 3.压轴题：能突破辅助线模型，解决线段和差、中线长度等几何综合问题。 4.衔接：为后续等腰三角形、相似三角形等内容奠定核心推理基础。 题型01.图形的全等 题型02.全等三角形的概念 题型03.全等三角形的性质 题型04.尺规作图--作三角形 题型05.用SSS证明三角形全等 题型06.全等的性质和SSS综合应用 题型07.尺规作一个角等于已知角 题型08.过定点作已知直线的平行线 题型09.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合应用 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 题型14.添条件证全等 题型15.灵活选方法证全等 题型16.倍长中线模型 题型17.全等三角形综合问题 解答题11题 知识点01:全等形与全等三角形的概念 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小都相同，位置可不同。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 3.对应元素 重合的顶点：对应顶点 重合的边：对应边 重合的角：对应角 表示方法：用符号 ≌ 表示，记作 △ABC △DEF；对应顶点必须写在对应位置。 4.全等变换：平移、旋转、轴对称（翻折），变换前后图形全等。 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，则△ABC≅△DEF。 如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则△ABC≅△DBC。 如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≅△AED。 知识点02:全等三角形的性质（核心） 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点03:三角形全等的判定 黄金性质：全等三角形 =“完全复刻”，对应边、对应角、对应中线 / 高 / 角平分线全相等，周长、面积也完全一样！ 3.解题大招： (1)找 “隐藏条件”：公共边、公共角、对顶角，都是天然相等条件 (2)证边 / 角相等：把要证的边/角，放进两个三角形里，证全等即可“一键得出” (3)图形模型速判:平移型.对称（翻折）型、旋转型，认准模型直接找对应关系 知识点04:不能判定全等的两种情况（高频易错） AAA（三角对应相等）：只能判定相似，不能判定全等（大小可不同）。 SSA（两边及其中一边的对角）：一般不能判定全等（可画出两个不同三角形）。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:作一个角等于已知角 题型01.图形的全等 【典例】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【跟踪专练1】对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形和全等图形的性质，掌握全等图形和全等图形的性质是解题关键； 利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案； 【详解】解：选项A中，周长相等的两个图形不一定全等，故选项A错误； 选项B中，两个正方形不一定是全等图形，故选项B错误； 选项C中，形状相同的两个图形不一定是全等图形，故选项C错误； 选项D中，两个全等图形的面积一定相等，故选项D正确； 故选：D 题型02.全等三角形的概念. 【典例】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【跟踪专练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型03.全等三角形的性质 【典例】如图，若，且，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选A． 【跟踪专练1】如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【跟踪专练2】如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 题型04.尺规作图--作三角形 【典例】已知，求作：，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判断三角形全等即可． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用所学知识解决问题． 【跟踪专练1】已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 题型05.用SSS证明三角形全等 【典例】如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练1】如图，在和中，，要利用“”证明，还需增加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，找到最后一组对应边相等即可． 【详解】解：在和中，， ∴当时，； 当时，则：，； 故答案为：（或）． 【跟踪专练2】如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06.全等的性质和SSS综合应用 【典例】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【跟踪专练1】如图，，，点是的中点，若，则______. 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据SSS证明，再根据全等的性质即可求解． 【详解】是的中点， , 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 题型07.尺规作一个角等于已知角 【典例】如图所示，过点P画直线a的平行线b的作图依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【详解】解：如图所示，根据图中直线a、b被c所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行 【跟踪专练1】数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，作一个角等于已知角．如图，用尺规过的边上一点(图1)作(图2)，我们可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点． ④以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 请将作图步骤进行正确排序______． 【答案】②④③① 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角的步骤，关键是遵循“先在已知角上画弧确定半径和弦长，再在目标位置复制相同的弧与弦长”的逻辑． 【详解】解：尺规作的步骤为： 首先以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，； 然后以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； 接着以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点； 最后作射线； 故正确排序为②④③①． 故答案为：②④③①． 【跟踪专练2】如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图作一个角等于已知角．由作图可得，利用平行线的判定得到，再利用平行线的性质得到，由题意无法证明，结合选项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可得，， 故A选项正确； ， （同位角相等，两直线平行）， 故B选项正确； （两直线平行，内错角相等）， 故C选项正确； 由题意无法证明， 故D选项错误； 故选：D． 题型08.过定点作已知直线的平行线 【典例】如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是___________________________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息，掌握平行线的判定．根据同位角相等两直线平行，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 【跟踪专练2】过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图中的“过直线外一点作直线的平行线”，解题关键是掌握平行线的判定定理，以及基本的尺规作图方法． 分析每个选项的作图，再根据平行线的判定定理一一判断即可． 【详解】解：A、作图中只是截取了两条相等的线段，不能判定两直线平行，作图不正确； B、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，作图正确； C、由作图可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，作图正确； D、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P且与直线l的平行直线，作图正确． 故选：B． 题型09.用SAS证明三角形全等 【典例】下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 对于①②两个三角形利用即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，其余均不能判断， 故选：A． 【跟踪专练1】在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据“”证明即可． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴证明的依据是． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 【典例】如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 题型11.全等的性质和SAS综合应用 【典例】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若，，．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可知利用判定，继而选出答案． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先说明，再根据求解即可． 【详解】解：∵与相交于点O， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 根据判断三角形全等可得结论． 【详解】解：，， ， 在△和△中， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 【典例】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质与同角的余角相等等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答此题的关键． 先根据直角三角形的性质、同角的余角相等得，再证明即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：10． 【跟踪专练2】如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．已知，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明，可得到，进而得到，从而求出长． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ，， ， ． 题型14.添条件证全等 【典例】如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充的条件是___________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了利用判定直角三角形全等，已知，，只需要斜边相等即可判定，可以直接添加；也可以添加，利用线段的关系证明． 【详解】解：，， 方法一、 若添加， 在和中，， ； 方法二， 若添加， 可得：， ， 在和中，， ； 需补充的条件是或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 题型15.灵活选方法证全等 【典例】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题关键． 由中点得两组对应边相等，由对顶角相等得到一组对应角相等，根据判定定理证出． 【详解】解：为两根木条的中点， ，， ， 在与中， ， ． 故选：． 【跟踪专练2】根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（    ） A．如图1，线段相交于点O，，，和 B．如图2，，，和 C．如图3，线段相交于点E，已知，，和 D．如图4，已知，，和 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B. 在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C. 在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D. 在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意； 故选：C. 题型16.倍长中线模型 【典例】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________． 【答案】1＜AD＜7 【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中, ， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB， ∵AB=6，AC=8， ∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14， ∴1<AD<7， 故答案为：1<AD<7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 题型17.全等三角形综合问题 【典例】下列说法正确的是(    ) A．全等三角形的边相等 B．全等三角形的角相等 C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质的判断即可． 【详解】A、全等三角形的对应边相等，缺少“对应”两字，故此选项错误，不符合题意； B、全等三角形的对应角相等，缺少“对应”两字，故此选项错误，不符合题意； C、全等三角形的能重合，面积相等，故此选项正确，符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与它全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图： 共5个三角形符合， 故选：C． 【跟踪专练2】如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 【解答题】 1．如图，，，的延长线交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】根据全等三角形的性质以及三角形的外角定理即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 2．如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与平行线的判定，掌握利用判定三角形全等，以及通过全等三角形的对应角相等推导平行线是解题的关键． 3．如图，已知，点为射线上一点，用无刻度的直尺和圆规作出． (1)尺规作图：过点向右作射线，使平行． (2)证明：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧，与前弧交于点，过点作射线，则平行． （2）由得,,结合得，可得出是的角平分线． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）证明：∵， ∴,, ∵， ∴， ∴射线平分． 4．如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 5．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明， 得到， 即可得证； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得， 再根据外角的性质可得的度数， 最后根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】（1）证明：为中点， ， 在和中 ， ， ， ； （2）解：， ， 平分，平分， ， ， ， ， ，， ． 6．通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，不规则面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【模型呈现】根据角角边的证明方法证明与全等即可得证； 【模型应用】由上一问同理可证，，，由此可求解边的长度，再由五边形的面积为梯形的面积减去四个三角形的面积求解即可； 【深入探究】添加辅助线，构造全等三角形，再证明与全等，由此可得，再根据边长的关系求解边长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 7．如图，在中，为边上一点，以为边作，使，．若，，求的长度． 【答案】 【分析】利用“”证明，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ，即． ， ． 又， ， ， ． 8．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④（3）见解析 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 【详解】（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH．                 E是AC的中点， ． 又，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 9．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 10．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 11．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06全等三角形的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解：全等三角形的概念，能准确识别对应顶点、对应边、对应角。 2.掌握：全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行线段与角度计算。 3.熟记：三角形全等的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），明确每种方法的条件与适用场景。 4.辨析： “SSA” 不能作为判定依据，理解 SAS 中 “两边夹角” 的位置要求。 5.了解：尺规作图（作三角形、等角、平行线）的本质是利用全等判定。 1.识别：能在复杂图形中精准定位全等三角形的对应元素。 2.运用：能根据已知条件灵活选用判定方法证明三角形全等。 3.推理：能规范书写证明过程，做到 “条件→结论→依据” 清晰严谨。 4.转化：能将 “证线段相等 / 角相等” 转化为 “证三角形全等”，掌握几何转化思想。 5.构造：初步掌握倍长中线、旋转、垂线等辅助线构造全等的方法。 1.基础题：熟练解决对应元素识别、性质计算、直接判定全等的基础题型。 2.中档题：能解决添加条件、灵活选方法、结合内角和 / 角平分线的综合证明题。 3.压轴题：能突破辅助线模型，解决线段和差、中线长度等几何综合问题。 4.衔接：为后续等腰三角形、相似三角形等内容奠定核心推理基础。 题型01.图形的全等 题型02.全等三角形的概念 题型03.全等三角形的性质 题型04.尺规作图--作三角形 题型05.用SSS证明三角形全等 题型06.全等的性质和SSS综合应用 题型07.尺规作一个角等于已知角 题型08.过定点作已知直线的平行线 题型09.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合应用 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 题型14.添条件证全等 题型15.灵活选方法证全等 题型16.倍长中线模型 题型17.全等三角形综合问题 解答题11题 知识点01:全等形与全等三角形的概念 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小都相同，位置可不同。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 3.对应元素 重合的顶点：对应顶点 重合的边：对应边 重合的角：对应角 表示方法：用符号 ≌ 表示，记作 △ABC △DEF；对应顶点必须写在对应位置。 4.全等变换：平移、旋转、轴对称（翻折），变换前后图形全等。 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，则△ABC≅△DEF。 如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则△ABC≅△DBC。 如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≅△AED。 知识点02:全等三角形的性质（核心） 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点03:三角形全等的判定 黄金性质：全等三角形 =“完全复刻”，对应边、对应角、对应中线 / 高 / 角平分线全相等，周长、面积也完全一样！ 3.解题大招： (1)找 “隐藏条件”：公共边、公共角、对顶角，都是天然相等条件 (2)证边 / 角相等：把要证的边/角，放进两个三角形里，证全等即可“一键得出” (3)图形模型速判:平移型.对称（翻折）型、旋转型，认准模型直接找对应关系 知识点04:不能判定全等的两种情况（高频易错） AAA（三角对应相等）：只能判定相似，不能判定全等（大小可不同）。 SSA（两边及其中一边的对角）：一般不能判定全等（可画出两个不同三角形）。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:作一个角等于已知角 题型01.图形的全等 【典例】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 题型02.全等三角形的概念. 【典例】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【跟踪专练1】如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【跟踪专练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型03.全等三角形的性质 【典例】如图，若，且，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【跟踪专练1】如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 题型04.尺规作图--作三角形 【典例】已知，求作：，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型05.用SSS证明三角形全等 【典例】如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在和中，，要利用“”证明，还需增加的一个条件是______． 【跟踪专练2】如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 题型06.全等的性质和SSS综合应用 【典例】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，，点是的中点，若，则______. 【跟踪专练2】如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型07.尺规作一个角等于已知角 【典例】如图所示，过点P画直线a的平行线b的作图依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【跟踪专练1】数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，作一个角等于已知角．如图，用尺规过的边上一点(图1)作(图2)，我们可以通过以下步骤作图： ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点． ④以点为圆心，的长为半径作弧，交于点． 请将作图步骤进行正确排序______． 【跟踪专练2】如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型08.过定点作已知直线的平行线 【典例】如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是___________________________． 【跟踪专练1】如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【跟踪专练2】过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型09.用SAS证明三角形全等 【典例】下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【跟踪专练1】在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 【典例】如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【跟踪专练1】下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【跟踪专练2】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 题型11.全等的性质和SAS综合应用 【典例】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若，，．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】如图，与相交于点O，，不添加辅助线，用ASA判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，为了测量池塘两岸相对的，两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点，，．再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，可得，从而．判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 【典例】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【跟踪专练1】已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 【跟踪专练2】如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．已知，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14.添条件证全等 【典例】如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充的条件是___________．（填写一个即可） 【跟踪专练2】如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 题型15.灵活选方法证全等 【典例】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（    ） A．如图1，线段相交于点O，，，和 B．如图2，，，和 C．如图3，线段相交于点E，已知，，和 D．如图4，已知，，和 题型16.倍长中线模型 【典例】如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________． 【跟踪专练1】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【跟踪专练2】在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型17.全等三角形综合问题 【典例】下列说法正确的是(    ) A．全等三角形的边相等 B．全等三角形的角相等 C．全等三角形的面积相等 D．面积相等的两个三角形全等 【跟踪专练1】如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【解答题】 1．如图，，，的延长线交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 2．如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 3．如图，已知，点为射线上一点，用无刻度的直尺和圆规作出． (1)尺规作图：过点向右作射线，使平行． (2)证明：是的角平分线． 4．如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 5．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 6．通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 7．如图，在中，为边上一点，以为边作，使，．若，，求的长度． 8．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 9．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 10．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 11．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $