专题17.6 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题17.6 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 2 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 3 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 4 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 5 【题型5 三角形的稳定性】 6 【题型6 灵活选用方法证明三角形全等】 8 【题型7 二次证明三角形全等】 9 【题型8 尺规作图】 12 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【变式1-3】（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ． 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 【例2】如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【变式2-3】如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【变式3-3】如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是 ． 【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【题型6 灵活选用方法证明三角形全等】 【例6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【变式6-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【题型7 二次证明三角形全等】 【例7】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，．求证：． 【变式7-3】在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 【题型8 尺规作图】 【例8】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【变式8-1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【变式8-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 【变式8-3】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.6 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 2 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 6 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 8 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 11 【题型5 三角形的稳定性】 14 【题型6 灵活选用方法证明三角形全等】 15 【题型7 二次证明三角形全等】 19 【题型8 尺规作图】 29 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得， ，再判定，最后证明即可． 【详解】解： 平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“”判定即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【变式1-3】（2025·安徽·一模）在中，平分，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 从而， 又， ∴，从而， ∴， ∴， 故答案为：9． 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 【例2】如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】根据证明，即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定； 先求出，再根据即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2-3】如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， ， ， ， 故答案为：14． 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明． 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【答案】 【分析】由于， 于，得，则，可判断正确；根据“同角的余角相等”推导出，即可证明， 可判断正确；由垂线段最短可证明， ，则，可判断错误；由， ，且，得，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】∵，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，， ∵， ∴，故正确； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析. 【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行. 【详解】（1）∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （2）成立.理由如下： ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （3）AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边， ∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系， ∴AD与CB不一定平行， 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数． 证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 【题型5 三角形的稳定性】 【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是 ． 【答案】③ 【详解】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案是③． 【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【答案】2 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 【题型6 灵活选用方法证明三角形全等】 【例6】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②， 故答案为：②． 【变式6-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 【详解】（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【题型7 二次证明三角形全等】 【例7】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【变式7-3】在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且．求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 【答案】（1）见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了角的平行线，三角形全等的判定和性质，探索线段之间的关系． 阅读中的判定方法为 (1)在上截取，连结，证明，再利用等腰三角形的判定证明即可． (2)在上截取，连结，证明，即可． 【详解】根据题意，得判定方法为， 故答案为：． (1)在上截取，连结， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）在上截取，连结， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别是、的平分线，且交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【题型8 尺规作图】 【例8】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 【答案】作图和说明见详解 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接，则即为所求，再根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接， 在和中， ， ∴， 则即为所求． 【变式8-3】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；全等三角形对应角相等 【分析】本题主要考查了作三角形，全等三角形的性质与判定等等， （1）根据题意作图即可； （2）利用证明得到，再由可知所作三角形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ， ∴．（全等三角形对应角相等） ， ， ∴就是所求作的三角形． 故答案为：；全等三角形对应角相等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $