精品解析：内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗大杨树第一中学2025-2026学年八年级下学期第一次学情自测数学试卷

八年级数学第一阶段性测试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为最简二次根式． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数30不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件； C．，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D．，被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式． 2. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键掌握邻角互补的关系．根据平行四边形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，与是邻角， ∴ ， ∵， ∴， 故选：A． 4. 下面几组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 3，6，7 D. 4，5，8 【答案】B 【解析】 【分析】满足较短两边的平方和等于第三边的平方即可，即，可以构成直角三角形． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6. 如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，如图所示，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转……如此走法，当她第一次走到A点时，发现自己走了72米，的度数为（ ） A. 30° B. 32° C. 35° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】小丽第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可． 【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形， ∴多边形的边数为：72÷6=12． 根据多边形的外角和为360°， ∴他每次转过的角度θ=360°÷12=30°． 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和．解题的关键时判断出小丽第一次返回点A时，所经过的路径构成一个正多边形． 8. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个多边形的边数是． 10. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，根据化简结果即可解答． 【详解】解：是整数，是正整数， 又， 是完全平方数， 最小的正整数的值为． 11. 如图①是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用含角的直角三角形的性质得，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 12. 已知，在中，，点为的中点，过点作，垂足为点，以下结论中，正确的是___． ①是的角平分线；②连接，则；③若，则；④连接，则． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①由平行四边形的性质证明，则可得判断①正确； ②连接，延长交的延长线于点G，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由等腰三角形的性质得出，则可判断②错误； ③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确； ④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出④错误． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的角平分线， 故①正确，符合题意； ②连接，延长交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图2，延长，交延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图可知 ∵， ∴， 故④错误，不符合题意． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． 14. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）边上的高的长为 （3）若以A，B，C及点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为_______． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）2 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，特殊四边形的综合，二次根式的运算，掌握勾股定理的逆定理，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理逆定理求解即可； （2）根据等面积法得到，即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：如图所示， 故D点坐标为：，，． 故答案为：或或． 15. 如图，在中，是对角线，点E、F分别在、上，与相交于点，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： （1）化简：________； （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先化简，再变形 ，最后代入求值即可； （3）先得出 （n为正整数），再将式子变形为 ，最后进行加减，并化简即可． 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解： ， ∵ ， 代入， 得； 【小问3详解】 解：由题意可得 （n为正整数）， ∴   ． 17. 四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）13 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 18. 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【解析】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一阶段性测试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下面几组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2，4，5 B. 5，12，13 C. 3，6，7 D. 4，5，8 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 7. 小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，如图所示，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转……如此走法，当她第一次走到A点时，发现自己走了72米，的度数为（ ） A. 30° B. 32° C. 35° D. 36° 8. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 10. 已知是整数，则正整数的最小值为______． 11. 如图①是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形，若，则______． 12. 已知，在中，，点为的中点，过点作，垂足为点，以下结论中，正确的是___． ①是的角平分线；②连接，则；③若，则；④连接，则． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）． （2）． 14. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）边上的高的长为 （3）若以A，B，C及点为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为_______． 15. 如图，在中，是对角线，点E、F分别在、上，与相交于点，且，求证：． 16. 对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： （1）化简：________； （2）若，求的值； （3）计算：． 17. 四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 18. 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $