5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 （一）课标要求 结合实例，借助函数图象，探索并掌握函数在闭区间上的最大值和最小值的求法；能利用导数解决简单的函数最值问题，能对含参数的函数最值问题进行分类讨论，提升数学运算和逻辑推理素养. （二）课标分析 本节课是人教A版2019选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》的核心内容，是导数在研究函数性质中的重要应用，承接上一课时函数极值的概念与求法，进一步将函数的局部性质拓展到整体性质.课标要求学生不仅要掌握闭区间上连续函数最值的求解步骤，更要理解极值与最值的区别与联系，能运用导数工具分析含参数函数的最值问题，这既是对导数运算、函数单调性与极值知识的综合运用，也是培养学生数形结合、分类讨论、逻辑推理等数学思想的重要载体，为后续解决导数的实际应用问题奠定基础. 2、 教材分析 “函数的极值与最大（小）值（第2课时）”是导数应用的关键内容，在一元函数导数的知识体系中起到承上启下的作用.它建立在函数的单调性、导数的运算以及函数极值的概念和求法基础之上，将导数的工具性作用从研究函数局部性质延伸到整体性质，完善了导数研究函数性质的知识框架.本节课的内容包括闭区间上连续函数有最值的结论、极值与最值的区别与联系、闭区间上函数最值的求解步骤以及含参数函数的最值问题，不仅是数学知识体系的重要组成部分，更是培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的重要素材，同时为后续学习导数在实际生活中的优化问题提供了理论和方法支撑. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了导数的运算公式和法则，理解了函数单调性与导数的关系，学会了求函数的极值，具备了一定的数形结合思想和简单的逻辑推理能力.然而，学生对函数极值的局部性和最值的整体性理解容易混淆，对闭区间上连续函数必有最值的结论的理解缺乏直观和理论支撑；含参数函数的最值问题需要对参数进行分类讨论，分类的标准和思路对学生来说是难点，学生容易出现分类不全面、推理不严谨的问题.但学生已有的导数和函数极值知识为学习本节课提供了基础，教师应通过图象直观分析、问题链引导、典例探究等方式，帮助学生厘清极值与最值的关系，掌握最值的求解方法，突破含参数分类讨论的难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过对闭区间上函数图象的分析，抽象概括出闭区间上连续函数必有最值的结论，理解函数极值与最值的本质区别与联系，提升从具体图象到抽象概念的思维能力. 1. 逻辑推理素养：推导闭区间上函数最值的求解步骤，能对含参数函数的最值进行分类讨论，能结合最值条件求参数的取值范围，培养逻辑推理和严谨论证的能力. 1. 数学运算素养：熟练掌握闭区间上函数最值的求解方法，能准确求导、判断单调性、求极值和端点值，能完成含参数函数的最值计算，提高运算的准确性和规范性. 1. 直观想象素养：借助函数图象直观分析极值与最值的关系，通过图象理解闭区间上函数最值的存在性，增强利用图形思考和解决导数问题的能力. 1. 数学建模素养：能将简单的最值问题转化为导数模型进行求解，体会导数在解决函数整体性质问题中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：闭区间上连续函数最值的存在性结论，极值与最值的区别与联系，闭区间上函数最值的求解步骤，含参数函数的最值求解. 1. 难点：对函数极值的局部性和最值的整体性的理解，含参数函数最值问题中参数分类讨论的标准和思路，由函数最值求参数的值或取值范围. 六、教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题，让学生口答并说明思路： 函数在区间上的极值为______，最值为______.（答案：极小值；最小值，最大值） 已知函数在上连续，且在内只有一个极值点，若是极大值，则在上的最大值为______.（答案：） 函数在区间上的最小值为______.（答案：） 对回答正确的学生给予肯定，对回答错误的学生引导其结合图象分析错误原因，进行纠正，初步感知极值与最值的联系. 环节二：引入课题 1. 请学生回顾上节课所学知识，随机提问学生： 函数极大值点、极小值点的定义：若函数在点处，且左侧、右侧，则为极小值点；若左侧、右侧，则为极大值点. 求函数极值的步骤：①求导；②求的根；③判断根两侧的符号；④确定极值点和极值. 1. 对学生的回答进行点评，强调极值是函数的局部性质，为引入函数的最值（整体性质）做铺垫. 环节三：合作探究 1. 闭区间上连续函数的最值存在性（5分钟） 提出问题链，引导学生结合图象探究： ① 观察函数在闭区间上的连续图象，能否找到其最大值和最小值？ ② 若函数在开区间内连续，是否一定有最值？举例说明（如在内连续，无最值）. ③ 什么样的函数一定有最大值和最小值？ 引导学生通过画图、分析、讨论，抽象概括出核心结论：一般地，如果在闭区间上函数的图象是一条连续曲线，那么它必有最大值和最小值. 强调：开区间内的连续函数不一定有最值；若开区间内的连续函数有最值，则最值必在极值点处取得. 2. 极值与最值的区别与联系（5分钟） 结合闭区间上的函数图象，组织学生分组讨论：极值和最值的研究范围、个数、取得位置有何不同？二者有何联系？ 引导学生总结，教师补充完善极值与最值的关系： (1) 研究范围：极值是比较极值点附近的函数值得出（局部），最值是比较整个定义域/闭区间上的函数值得出（整体）. (2) 个数：极值可以有多个（极大值、极小值可交替出现），最值在一个区间上最大值、最小值最多各有一个. (3) 取得位置：极值只能在区间内部取得，最值可在区间端点或内部取得. (4) 联系：有最值未必有极值；极值有可能成为最值，若最值在区间内部取得，则该最值一定是极值. 3. 闭区间上函数最值的求解步骤（5分钟） 提出问题：结合极值与最值的关系，如何求闭区间上连续函数的最值？ 引导学生结合实例分析、归纳，推导出求解步骤： ① 求函数在内的导数； ② 求在内的极值（包括极大值和极小值）； ③ 求函数在区间端点处的函数值和； ④ 将的各极值与、进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. · 强调：步骤的核心是“极值与端点值比较”，这是由最值的整体性决定的. 环节四：学以致用 1. 基础练习（4分钟）：求闭区间上简单函数的最值 让学生独立完成，教师巡视指导，完成后核对答案并强调解题步骤. 例1：求函数在区间上的最大值和最小值. 解：①求导：；②令，得； ③判断极值：当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取得极小值； ④求端点值：，； ⑤比较：最大值为，最小值为. 答案：最大值，最小值. 例2：求函数在区间上的最值. 解：①；②令，得或； ③极值：（极大值），（极小值）； ④端点值：，； ⑤比较：最大值，最小值. 答案：最大值，最小值. 2. 综合练习（8分钟）：含参数函数的最值+由最值求参数 教师板书讲解典例，引导学生分析分类讨论的标准，总结解题方法，学生跟随思考并记录解题思路. 例3：求函数在区间上的最小值（）. 解：①求导：； ②分类讨论： 情况1：时，在上恒成立，单调递增，故最小值为； 情况2：时，令，得（舍去）； 子情况1：即时，在上恒成立，单调递减，最小值为； 子情况2：即时，在单调递减，单调递增，最小值为. 综上，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 例4：已知函数在区间上的最小值为，求实数的值. 解：，对称轴为，结合二次函数单调性（或导数）分类讨论： ①当时，在单调递增，最小值，解得（符合）； ②当时，最小值，解得（均不符合，舍去）； ③当时，在单调递减，最小值，解得（符合）. 综上，的值为. 例5：判断下列说法的正误（正确打√，错误打×）： 1 函数的最大值一定是极大值（×）； 2 ② 函数的极小值可能大于极大值（√）； 3 闭区间上的连续函数一定有极值（×）； 4 ④ 开区间上的函数一定没有最值（×）. 答案：. 小试牛刀： 1. 函数 在区间 上的最小值为（） A. 72 B. 36 C. 12 D. 0 1. 若函数 ，则 的（） A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为 1. 若函数 在区间 内存在最小值，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 1. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是________. 1. 已知 是实数，函数 ，求 在区间 上的最大值. 环节五：课堂小结 1. 请学生自主回顾本节课所学内容，同桌之间相互交流，梳理知识点： (1) 闭区间上连续函数的最值存在性结论； (2) 极值与最值的区别与联系； (3) 闭区间上函数最值的求解步骤； (4) 含参数函数最值的分类讨论思路. 教师进行补充和完善，构建知识体系，强调核心要点：分类讨论的关键是“根据参数的取值确定函数的单调性和极值点的位置”，由最值求参数的核心是“根据最值的取得位置列方程求解并验证”. 环节六：布置作业 1. 布置作业： 书面作业：完成课本P94练习题，完成课时达标检测，巩固闭区间上函数最值的求解方法； 拓展作业：整理含参数函数最值的分类讨论题型，总结不同题型的分类标准. 2. 预习引导：引导学生预习下一课内容，思考导数在实际生活中的应用，如利润最大、用料最省等问题，思考如何将实际问题转化为函数最值问题.. 授课人个案修改记录： 教学反思 在教学过程中，要注重借助函数图象帮助学生直观理解极值与最值的区别与联系，突破“局部与整体”的理解难点；对于含参数的最值问题，要通过问题链引导学生探索分类讨论的标准，避免直接告知结论，培养学生的逻辑推理能力.教学中要加强对学生解题过程的指导，及时发现学生在求导、判断单调性、分类讨论等方面的问题并纠正，注重培养学生运算的规范性和推理的严谨性.鼓励学生积极参与课堂讨论和探究活动，关注学生数学核心素养的发展，针对学生在分类讨论中出现的问题，在后续教学中进行针对性的强化训练. 学科网（北京）股份有限公司 $