5.3.2函数的极值与最大（小）值 第2课时 教案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值 第2课时 利用导数研究函数的极值   一、教学目标 1.掌握利用导数求函数的极值的方法，会利用导数求函数的极值； 2.能利用导数解决与函数极值相关的问题； 3.通过学习，体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，增强数形结合、分类讨论的意识.   二、教学重难点 重点：利用导数解决函数极值的相关问题 难点：含有参数的函数极值问题.   三、教学过程 （一）复习导入 师生活动：教师提出问题，让学生回顾上一节课学习的内容，请几名同学回答，根据学生的回答情况点评、指导. 思考1：什么叫函数的极小值与极小值点、极大值与极大值点？ 答：(1)极小值点与极小值：若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，则把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值； (2)极大值点与极大值：若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，则叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 注意：极值点是横坐标，极值是纵坐标. 思考2：函数的极值与导数的关系是什么？ 答：函数的极值与导数的关系为： 左侧 右侧 左侧 右侧 增↗ 极大值 ↘减 ↘减 极小值 增↗ 思考3：求函数的极值的方法是什么？ 答：求函数的极值的具体步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求及方程的根； (3)方程的根将函数的定义域划分成若干个区间，把、、的变化情况列成表格； (4)判断得结论，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在 附近的左侧，右侧，那么是极小值，如果左右不改变符号，那么不是极值. 设计意图：温故知新，在复习的基础上提出问题，激发学生对运用导数进一步研究函数极值问题的兴趣，为学习新知识作铺垫. （二）探究新知 任务一：利用导数求不含参数的函数的极值 探究：求下列函数的导数： (1)； (2). 师生活动：教师出示问题，学生自主作答，教师评价. 分析：先求导，再求的零点，通过列表研究在其零点附近处的符号，进而确定极值点. 解：(1)函数的定义域为. . 令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表所示. 1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从表中可知，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为. (2)函数的定义域为. . 令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表所示. 1 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 从表中可知，当时，有极小值； 当时，有极大值. 总结：该类问题只要按照利用导数求函数的极值的步骤逐步求解即可. 设计意图：通过探究，让学生进一步加深对极值点与极值概念的理解，熟悉利用导数求函数极值的过程，为下一步利用导数求含参数的函数的极值作铺垫. 任务二：利用导数求含参数的函数的极值 探究：已知函数，试求的极值. 师生活动：教师提出问题，启发学生尝试思考解答，教师点评并示范解答过程. 解：函数的定义域为， ， 令，解得，或1. ①当时， 当变化时，，的变化情况如下表所示. ↗ 极大值 ↘ ↗ 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为. ②当时，，即在上单调递增，此时无极值； ③当时， 当变化时，，的变化情况如下表所示. ↗ 极大值 ↘ ↗ 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为. 综上所述， 当时，的极大值为，极小值为；当时，无极值； 当时，的极大值为，极小值为. 总结：对于求含参数的函数的极值问题，本质上仍然属于求函数极值的范畴，所以主体步骤仍遵循不含参数的函数的极值的求解过程，但因为含有参数，一般会涉及方程的根的分布问题，所以通常需进行分类讨论，讨论的原理可类比含参数的一元二次不等式的解法. 任务三：已知函数的极值求参数的值 探究1：已知在处有极值，且极大值为，极小值为，试确定的值. 师生活动：教师提出问题，启发学生尝试思考解答，教师点评并给出解答过程. 解：函数的定义域为， . 由题意可知，应有根，故，即， 所以. ①若，列表如下： 1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可得，，即，又， 解得，，. ②若，列表如下： 1 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可得，，即，又， 解得，，，. 综上所述，当时，的值分别为，，； 当时，的值分别为，，. 探究2：若函数在处取得极值，试求的值. 师生活动：学生尝试解答，教师根据学生的作答情况进行点评. 错解：，依题意得，，即， 解得，或. 错因分析：由于函数在一点的导数值为是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件，因此在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错.一般地，根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得的极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍. 正解：，依题意得，，即， 解得，或. 因为当，时，，故在上单调递增，不可能在处取得极值，所以不符合题意，应舍去. 而当时，经检验符合题意，故，的值分别为，. 总结：对于由已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为，极值点两侧的导数值异号. (1)一般地，已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数； ②由极值点的导数值为，列出方程（组），求解参数. 注意：求出参数后，有时要验证是否满足题目的条件. (2)对于函数无极值的问题，通常转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需要注意不等式中的等号是否成立. 设计意图：通过探究问题，让学生了解根据已知函数的极值求参数的值的一般做法，同时通过对比，进一步理解是函数在该点存在极值的必要而非充分条件，培养学生数学运算及逻辑推理的学科素养. 任务四 利用导数探究三次函数的极值 探究：试求三次函数的极值 师生活动：教师提出问题，引导让学生思考，教师点评. 分析：因为，其导函数是二次函数，. 当时，有两个不相等的实数根，，. 思考1：当时，三次函数有没有极值？ 答：当且时，恒成立，所以在上单调递增； 当且时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，不存在极值. 思考2：当且时，你能画出导函数的大致图象，并分析三次函数极值情况吗？ 师生活动：学生尝试作图分析，教师点评完善. 答：当且时，的大致图象如下图所示： 当变化时，，的变化情况如下表所示. ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可知， 在处取得极大值；在处取得极小值. 此时，三次函数的大致图象为： 思考3：当且时，你能借助导函数的大致图象分析三次函数极值情况吗？ 师生活动：类比思考(2)，教师引导学生独立思考、作图分析，教师根据学生的作答情况给予点评并总结. 答：当且时，的大致图象如下图所示： 当变化时，，的变化情况如下表所示. ↘ 极大值 ↗ 极小值 ↘ 由表可知， 在处取得极小值；在处取得极大值. 此时，三次函数的大致图象为： 总结：1.根据与的不同范围，三次函数的极值情况如下： (1)当时，不存在极值. (2)当时，三次函数存在极大值与极小值，具体如下： ①当且时，在处取得极大值；在处取得极小值； ②当且时，在处取得极小值；在处取得极大值. 2.若为三次函数，通过求导得到的函数为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点.根据这些特点，对于求三次函数的极值等问题，一般可通过求导转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决. 设计意图：将经常作为出题背景的三次函数作为研究对象，让学生进一步巩固求函数极值的方法，深入理解三次函数的特征，培养学生的数学结合、分类讨论、数学建模等核心素养. （三）应用举例 例1：已知函数，试讨论的极值点. 师生活动：教师出示例题，学生独立完成求解过程，教师对学生的完成情况进行点评. 分析：利用导数研究函数的极值，可先求导，分、和三种情况研究极值. 解：， 令，则，， 当时，，所以为增函数，故无极值点； 当时，当变化时，及变化如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知的极小值点为，其极大值点； 当时，当变化时，及变化如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知的极小值点为，其极大值点． 综上所述，当时，无极值点； 当时，的极小值点为，极大值点为； 当时，的极小值点为，极大值点为． 设计意图：通过例题的解答，巩固利用导数求函数极值的方法和过程，加深对极值相关概念的理解，发展学生的分类讨论思想、数学运算等核心素养. （四）课堂练习 1.若函数不存在极值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：由，得， 因为函数不存在极值， 所以在上恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选A． 2.已知函数在处取得极大值，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由，得， 因为函数在处取得极大值，所以 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 所以． 故选：． 3.已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是           【答案】  解：由题可知， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故只有极小值点， 若在区间上有定义且有极值点， 则，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 4.已知函数． 讨论的单调性； 当有极小值，且极小值小于时，求的取值范围． 解：的定义域为，． 若，则，所以在上单调递增． 若，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 由知，当时，在无极小值． 当时，在取得极小值为． 因此等价于即， 令，其中，因为． 所以在上单调递增，且． 于是，当时，；当时，． 因此，的取值范围是． 设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$