5.3.2函数的极值与最大（小）值 第3课时 教案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值 第3课时 利用导数研究函数的最值   一、教学目标 1.了解函数的最大（小）值的概念，理解函数的极值与最值之间的区别与联系； 2.能利用导数求给定闭区间上某些不超过三次的多项式函数的最大值、最小值； 3.理解从特殊到一般的数学思想及归纳的数学方法，培养善于观察、思考，勇于创新的科学素养.   二、教学重难点 重点：在给定闭区间上求函数的最值 难点：函数的最值与极值的区别与联系；含有参数的函数最值的求解.   三、教学过程 （一）复习导入 师生活动：教师提出问题，让学生回顾上一节课学习的内容，请几名同学回答，根据学生的回答情况点评、指导. 思考1：利用导数怎样判断函数的极值？ 答： 左侧 右侧 左侧 右侧 增↗ 极大值 ↘减 ↘减 极小值 增↗ 思考2：利用导数求函数的极值的步骤是什么？ 答：求函数的极值的具体步骤为： (1)确定函数的定义域； (2)求及方程的根； (3)方程的根将函数的定义域划分成若干个区间，把、、的变化情况列成表格； (4)判断得结论，如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在 附近的左侧，右侧，那么是极小值，如果左右不改变符号，那么不是极值. 思考3：什么是函数的最（大）小值？ 答：函数的最（大）小值是指在给定区间上最大（小）的函数值. 如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域内的最大值； 如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域内的最大值. 理解最大值和最小值的定义时要注意： ①任意性，即对于定义域内任意的，都有（或）成立； ②存在性，即在定义域内存在，使（或）成立. 思考4：函数的最值与函数的极值有什么关系？如何求函数的最值？ 这是我们这节课要研究的问题. 设计意图：温故知新，在复习的基础上提出问题，激发学生对运用导数进一步研究函数极值问题的兴趣，为学习新知识作铺垫. （二）探究新知 任务一：函数的极值与最值之间的关系 探究1：函数的极值与最值之间的区别 师生活动：教师引导学生观察图象，提出问题，学生通过观察与比较发现规律，教师总结归纳. 思考1：下图是函数， 的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 答：由图象可知，，，是函数的极小值，，，是函数的极大值. 思考2：函数在区间上有最小值和最大值吗？如果有，最小值和最大值分别是什么？ 答：由图象可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是. 思考3：你能说出函数的极值与最值之间有什么区别吗？ 答：(1)函数的极值是函数在定义域的局部区间上函数值的比较，具有相对性； 函数的最值是函数在整个定义域上函数值的比较，具有整体性； (2)函数的极值可以有多个（也可能不存在），但最值最多只能有一个（也可能不存在）； (3)函数的极值只能在区间内取得，而最值还可以在区间端点处取得，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点. 探究2：函数的极值与最值之间的联系 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，那么如何在一个区间上求函数的最大(小)值呢？ 思考：在下图中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 师生活动：教师出示下面的函数图象，学生观察思考，教师引导学生得出结论. 答：函数的最大值为，最小值为； 函数的最大值为，最小值为 总结：(1)一般地，如果在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值； 说明：①如果在某一区间上函数的图象是一条连续不断地曲线，则称函数在这个区间上连续； ②给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，如函数在内连续，但没有最大值与最小值； ③函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件. (2)函数的极值与最值之间的关系： ①如果连续函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最大（小）值点； ②对于在闭区间上连续可导的函数，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 做一做：判断正误(正确的画“√ ”，错误的画“×”). (1)函数在区间上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得. ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. ( ) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值. ( ) (4)若函数在区间上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点. ( ) 解：(1) 函数在闭区间上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得，故错误. (2)√ 若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确. (3) 因为；，故错误 (4)√ 设计意图：通过比较研究函数的最值与极值的区别与联系，帮助学生巩固函数的极值与函数的最值的概念，并加深对这两个概念的理解，为后面学习求函数的最值的知识作铺垫. 任务二：利用导数求函数最值的方法 探究1：求函数在区间上的最大值与最小值. 师生活动：教师提出问题，让学生独立完成，教师请两名学生板演，学生完成后教师点评并给出解答过程. 解：因为，所以. 令，解得，或（舍去）. 在开区间上，当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值为. 又由于 ，， 所以，函数在区间上的最大值是，最小值是. 思考1：你能画出函数在区间上的大致图象，并验证上述结论吗？ 答：函数在区间上的大致图象如下图所示，观察图象，上述结论可得到直观验证. 思考2：根据上面的求解过程，你能归纳出利用导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤吗？ 师生活动：教师引导学生归纳求函数最值的步骤，然后根据学生的作答情况进行点评、指导. 答：一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数在区间内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值, 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 总结： (1)利用导数求函数最值的范畴是在闭区间上连续，在开区间上可导的函数，这是因为：在闭区间上连续，保证函数有最大值和最小值；在开区间上可导才能用导数求解，从而产生了先求出函数在开区间上的极值，再比较这些极值与端点处的函数值的大小，得到函数最值的解法； (2)一般地，求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值与极小值，因此，函数极大值与极小值的判别是解题的关键； (3)特别地，如果为连续函数且在上单调，则其最大值、最小值在端点处取得； (4)特别地，如果连续函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最大（小）值点. 探究2：求函数的最值. 师生活动：学生尝试解答，教师根据学生的作答情况进行点评. 分析：问题所给的函数关系式中含有绝对值，要求该函数的最值，应先将绝对值去掉，把函数表示成分段函数，然后求出函数的导数为0处与不可导点处的函数值及端点值，最后比较所求值的大小得出函数最值. 解：因为函数在区间上是连续函数，所以它存在最大值与最小值. 又 ， 所以，. 由，解得，.可得，. 函数在处不可导，且； 又区间两端点值分别为，. 因此，函数在处取得最小值；在和处取得最大值. 作出函数的图象如下图所示， 总结：(1)函数在闭区间上的最值必在下列各种点之中：导数等于的点、导数不存在的点、区间端点； (2)如果仅仅是求最值，可将上面的步骤简化，因为函数在内的全部极值只能在的点或导数不存在的点取得，所以可以只需要将这些点求出来，然后算出在这些点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到最大值和最小值. 设计意图：通过探究问题，引导学生归纳求函数最值的一般步骤，发展学生的直观想象、数学抽象和数学运算等核心素养. 任务三 利用导数求含参数的函数的最值 探究：已知函数，求在区间上的最小值． 师生活动：教师提出问题，引导学生尝试思考解答，然后点评. 分析：令或，讨论的取值范围，求出在区间上的最小值． 解：的定义域为， ． 当，即时，在上为增函数，； 当，即时，在上为减函数， 在上为增函数， ； 当，即时，在上为减函数，． 综上， 总结：含参函数的最值问题，涉及到方程的根的分布问题，通常需分类讨论. 设计意图：通过对求含参数的函数最值研究，让学生进一步巩固求函数最值的方法，加深对函数最值概念的理解，培养学生的分类讨论、数学运算等核心素养. （三）应用举例 例1：已知函数在上有最小值， (1) 求实数的值； (2) 求在上的最大值. 师生活动：教师出示例题，学生独立完成求解过程，教师点评. 解：(1)，令，得或， 因为，当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，，所以函数的最小值为，即， 得 (2)由(1)知，在上的最大值为. 例2：已知函数，当时，有极大值，且． 求函数的解析式； 在的条件下，讨论函数在上的最大值． 师生活动：教师出示例题，学生尝试独立完成求解过程，教师对学生的完成情况进行点评. 分析：求出函数的导函数，依题意，可求得的值，再结合，即可求解；分、和三种情况结合单调性讨论即可求解． 解：因为，所以，                               因为时，有极大值， 所以，即，即，           当时，， 令，即；令，即或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，符合题目条件；     又，所以，             所以． 由知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，函数在上单调递增， ； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，                       又，                    所以；                        当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，      综上所述，当或时，； 当时，． 设计意图：通过例题的解答，巩固利用导数求函数极值的方法和过程，加深对极值相关概念的理解，发展学生的分类讨论思想、数学运算等核心素养. （四）课堂练习 1.函数，的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：因为， 结合导数符号得在上为减函数，在上为增函数， 所以在时有唯一的极小值，即最小值，  所以函数，的最小值为． 故选A． 2.设函数，若的最小值为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由，得， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为的最小值为，所以， 所以， 因为，， 所以的最大值为． 故选：． 3.函数在区间上的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：对于函数，． 当时，；当时，． 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以，． 故选：． 4.已知函数的最小值为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：，，函数的定义域为， ， 当时，恒成立，在区间上单调递增，无最小值 当时， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 故，解得， 故选D． 设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$