第十九章二次根式培优提升测试卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

第十九章二次根式 培优提升测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； B．满足最简二次根式的两个条件，故B是最简二次根式； C．的被开方数含分母，故C不是最简二次根式； D．的被开方数含能开得尽方的因数，故D不是最简二次根式． 2．若二次根式有意义，则x可以取的数值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数非负，列出不等式求解的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴x可以取的数值是． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 5．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 6．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并 ∴二者是同类二次根式，被开方数相等 列方程得 移项得 化简得 解得 当时， 和是最简二次根式，符合题意． 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 8．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 9．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 10．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 二、填空题 11．的值为________． 【答案】 【详解】解： ． 12．若是两个连续整数，且，则的值为___________ 【答案】9 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算无理数的大小得到连续整数和的值，最后计算即可． 【详解】解：化简二次根式乘积得： ，即 ，是两个连续整数，且 ， ． 13．观察分析，探求规律，然后填空：，___________（在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 14．若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 15．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 【答案】 【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可． 【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 16．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）原式 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【分析】先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约去公因式完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 19．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 20．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ∵，∴， ∴，即， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算：________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子分母同时乘以，计算即可得出结果； （2）先将分母有理化，再计算加减即可得出结果； （3）先求出，从而得出，将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵，，， …， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 21．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式被开方数非负的性质，列不等式组求解出的值； （2）先代入的值求出，再计算的值，最后求该值的平方根． 【详解】（1）解：，有意义， ， 解得． （2）解：由（1）知，则， ， 故其平方根是． 22．有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)猜想的结果； (2)按此规律，若为正整数），则的值为_______． (3)请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 【答案】(1) (2) (3)（，为正整数），证明见解析. 【分析】（1）根据题干数据即可求解； （2）根据题干总结规律可得：，即可求解； （3）利用二次根式的性质证明即可． 【详解】（1）解：由，，得到 （2）解：根据题干总结规律可得，等号右边二次根式根号外的整数等于被开方数的分子，被开方数的分母等于根号外的整数的平方减1， ∵ ∴， 解得：， ∴． （3）解：（，为正整数） 证明：． 23．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 24．【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 【答案】(1)C (2) (3)2025 【分析】（1）将与进行相乘判断关系即可； （2）先化简x和y的值，再根据提取公因式化简求解即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴有理化因子与互为倒数． 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章二次根式 培优提升测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则x可以取的数值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 5．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 6．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 10．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 11．的值为________． 12．若是两个连续整数，且，则的值为___________ 13．观察分析，探求规律，然后填空：，___________（在横线上写出第50个数）． 14．若，，则代数式的值等于____． 15．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 16．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 三、解答题 17．计算 (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 20．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ∵，∴， ∴，即， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算：________． (2)化简：． (3)若，求的值． 21．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 22．有一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)猜想的结果； (2)按此规律，若为正整数），则的值为_______． (3)请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； 23．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 24．【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $