数学（天津卷01）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

**基本信息** 以能源大模型电价预测、正四面体球体积等新情境与创新题设计，覆盖函数、几何等核心知识，注重数学眼光观察现实与创新思维考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|9/45|集合、向量、三角函数图像、统计图表|第4题新情境（能源大模型）考查数据分析，第9题创新题（正四面体球体积）体现空间观念| |填空|6/30|复数、二项式定理、概率统计、函数零点|第13题改编题（球交换概率）考查运算能力，第14题热点（解三角形）强化应用意识| |解答|5/75|解三角形、立体几何、椭圆、取整函数数列|第19题创新题（取整函数数列）培养逻辑推理，第20题导数综合提升数学思维深度|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：XX分钟 试卷满分：XX分） 注意修改时间和分值 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 题型、题量请按照当地高考的模式进行 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则（    ） A．1 B． C． D． 3．设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（新情境）将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆 交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 6．（新情境）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且p，q为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，，则下列说法错误的是（    ） A．在上的最大值为 B．若，则 C．存在大于1的实数，使方程有实数根 D．， 7．若函数在区间内没有最值，有下面四个说法：（    ） ①函数的最小正周期可能为 ②的取值范围是； ③当取最大值时，是函数的一条对称轴； ④当取最大值，是函数的一个对称中心． 以上四个说法中，正确的个数是（    ） A．l B．2 C．3 D．4 8．（改编题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） ①当时，的周长为定值； ②当时，三棱锥的体积为定值； ③当时，有且仅有一个点，使得； ④若，则点的轨迹所围成的面积为. A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（    ） A．指标值在区间的产品约有48件 B．指标值的平均数的估计值是200 C．指标值的第60百分位数是200 D．指标值的方差估计值是150 10．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的前10项和为 11．已知椭圆分别为椭圆的左，右焦点，分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若为直角三角形，则这样的点有4个 C．直线与直线的斜率乘积为定值 D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若正数，满足，则的最大值为__________． 13．与曲线和都相切的直线方程为__________. 14．某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的倍．如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知首项为3的数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，． (1)证明：平面平面BCD； (2)若，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥的体积． 17．（15分） 已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，． (1)求双曲线的方程； (2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标； (3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标． 18．（17分） （新情境）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 19．（17分） 已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若存在两个非负零点，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 2．已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（改编题）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（新情境）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 5．（改编题）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 7．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 8．已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（    ）    A． B． C． D． 9．（创新题）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，则，则的值为______． 11．的展开式中常数项为__________． 12．已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 13．（改编题）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 14．（热点）在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________. 15．已知函数，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是____________. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（15分）已知分别为椭圆的左、右顶点，为上轴上方的一点，与的斜率之积为为上一点，为的中点，直线为坐标原点）交于点，为轴上方的点． (1)求的方程； (2)若为的重心，求的坐标； (3)过点作平行于的直线交于点，求的最大值． 19．（15分）（创新题）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 20．（16分）已知，其中． (1)求证：当时，； (2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数； (3)证明：，其中． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】因为，又， 所以或. 2．已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算以及向量共线可得且，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为向量， ， 若与夹角为锐角，等价于，解得且， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（改编题）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 4．（新情境）国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 5．（改编题）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 6．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 【答案】C 【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，，因为，，故，， ， 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 故选：C. 7．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 【答案】D 【分析】利用等差数列的概念和三角函数的性质可知，再依据图像的平移的性质得到函数，选项A：，根据正弦函数的奇偶性可知判断A；选项B：直接代入函数中，看结果是否为最值；选项C：利用正弦函数的单调性可求得单调区间；选项D：求得的导函数后，利用三角恒等变换化简为最简解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的值域． 【详解】解：设的最小正周期为T， 由题意可知：，即， 且则，可得， 所以， 对于选项A：，为奇函数，故A正确； 对于选项B：因为，为最小值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且在内单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于选项D：因为， 且，则，可得 所以，故D错误． 故选：D 8．已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得到，， 由双曲线定义得，， 因为以AB为直径的圆过，所以， 故，得到， 整理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，则，故A正确. 故选：A 9．（创新题）如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 第二部分（非选择题 共105分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．是虚数单位，则，则的值为______． 【答案】 【分析】利用复数的除法法则计算，进而利用复数相等的意义可求得，进而可求的值. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 11．的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【分析】先求出展开式的通项公式，分别令和，求出k值，代入求解，分析计算，即可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 12．已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由抛物线的准线方程为，则可设交点， 因为点在圆上，所以， 又点关于轴的对称点，代入抛物线方程得， 将代入可得：， 因为，所以解得，，    由题意，则可得，， 因为，则在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径，圆方程为， 由直线上存在满足条件的，等价于该直线与圆有公共点， 即圆心到直线的距离不大于半径：， 解得，即的取值范围为. 13．（改编题）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 【答案】 【分析】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析的可能取值，计算每个取值的概率，再计算的值 【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况： 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率； 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率， 则甲箱中恰有3个黄球的概率为， ②由题知的取值可能为4，5，6， 当时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率；当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球， 或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率； 当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率， 所以. 14．（热点）在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为________，的最小值为________. 【答案】 【分析】先向量分解，可以用表示出，再根据向量数量积即可求出；以为原点，为轴建立坐标系，则可求出点，，坐标，分别求出，即可求解. 【详解】由题意知， 而， 所以， 由向量夹角公式可求出，因为所以可求得 又因，所以， 解之可得或（舍）； 以为原点，为轴建立坐标系，则可知点，， ，设点则， 所以， 又因，所以当时最小，最小值为.    故答案为： 15．已知函数，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据函数解析式，分类讨论，在不同的取值范围下，函数零点的个数，从而得到恰好有3个零点时实数的取值范围. 【详解】①当时，要使有意义，故； 方程为，平方得，，解得； 显然，解不等式得； 在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点； ②当时，若，，函数有无穷个零点； 当时，方程，即， 当时，，此时方程无实数解， 当时，解得，令，即，又时，所以； 即在上满足：当时，有1个零点； 当时，有无穷个零点； 当或时，没有零点． 综上，当时，有三个零点． 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若的面积为，且，求的周长. 16．（14分） (1)(2)(3) 【详解】（1）解法1：因为， 由正弦定理得 （3分） 即， 因为，则，故；（5分） 解法2：因为， 由余弦定理得，（3分） 整理得，可得， 由余弦定理可得.（5分） （2）因为，且，则， ， ， . ，（7分） ， . （3）， （10分） 因为由余弦定理得， 于是，（12分） 因为，则，所以， 因此，于是的周长.（14分） 17.（15分） 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17． （15分） (1)证明见解析(2)（i）（ii）存在， 【详解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以，（3分） 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面；（5分） （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面，（7分） 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为，（9分） 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为；（11分） （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设，（12分） 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得，（14分） 解得或（舍去），即.（15分） 18.（15分） 已知分别为椭圆的左、右顶点，为上轴上方的一点，与的斜率之积为为上一点，为的中点，直线为坐标原点）交于点，为轴上方的点． (1)求的方程； (2)若为的重心，求的坐标； (3)过点作平行于的直线交于点，求的最大值． 18． （15分） (1)；(2)；(3)40. 【详解】（1）设点，则，即，而， 由直线的斜率为，得，则，（3分） 由点在上，得，解得， 所以的方程为．（5分） （2）由为的重心，得，由（1）知，则， 于是，即， 由点均在上，得，而，解得， 所以的坐标为. （8分） （3）由是的中点，是的中点，得，直线斜率满足， 由，得直线的斜率满足， 而，则，即，（10分） 直线的方程为，代入，得， 于是，，则， 同理，因此，则，（13分） 从而，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为40.（15分） 19.（15分） （创新题）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 19． （15分） (1)，(2)①；②证明见解析 【详解】（1）由，得，则， 所以；（2分） 由，得，则， 所以．（4分） （2）①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而，（6分） 则当时，，设，， 此时，即，； 当时，，设，， 此时，即，，（8分） 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以．（10分） ②由，得，则为递增数列，且， 当时，，（13分） 则 ， 所以对任意的，都有．（15分） 20.（16分） 已知，其中． (1)求证：当时，； (2)讨论取不同值的时候，函数的零点个数； (3)证明：，其中 20．（16分） 【详解】（1）， 令，则， 而且，所以，（2分） 即在上单调递增，， 所以，即在上单调递增， 所以；（4分） （2）①时，，， 所以在上单调递增，又， 则此时有且仅有1个零点；（5分） ②时，在上小于0，在上大于0， 即在上单调递减，在上单调递增，（7分） 又且，则存在唯一的， 即在和上大于0，在上小于0， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，（9分） 则在上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数有且仅有2个零点； 综上所述，当时，有且仅有1个零点； 当时，有且仅有2个零点；（11分） （3）令，且时，得，再令， 代入化简可得，（13分） 则 ， 则.（16分） / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 8 9 B B D B C 0 A A 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.-2 11.29 12. 2;[2-2,2+2 13. 18.164 35’35 43是 1s.2 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) 2R+586+2g (1)cosC=1 18 【详解】(1)解法1：因为ccosA=(3b-a)cosC, 由正弦定理sgsC得sin CeosA=3sinB-sim)cosC(3分) 3sin B cos C=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin(-B)=sin B, 因为9e0,则sinB>0,故cosC-:(5分) 解法2：因为ccos A=(3b-a)cosC, 由余弦定理得c×+c-口=(6h-ax+b- -,(3分) 2bc 2ab 整理得2ab=30+362-3c,可得a2+-c2-2b, 3 由余流定到两sC.点-号6分 2ab 2因为mC-且Ce0,则nC-1-eosC-2 3 ..a sin4"sinc,a=c=2, 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 2 2 sin 42sin 4= 3, 3 :a<c.Ae0,2 .cos4-7 π m24=2sin4os4=2x5x5.24,7分) 33 9 cos2A=2(cosA)2-1=2× 3 6 =sin2Acos+cos24sin12+5 6 69292-18 (3)S。ABC 2 absinC=V② ab=32,ab=9,(10分) 3 因为由余弦定理得2 abcosC=a2+b2-c2, 于是(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2ab(cosC+1)=24,(12分) 因为a+b=√5c,则(a+b)2-c2=2c2=24,所以c=2√5， 因此a+b=√5c=6,于是ABC的周长a+b+c=6+2V5.(14分) 17.(15分) ()i证明见解析(2))V6 (i存在，82=-3+25 BD 【详解】(1)取PA中点N,连接BN,MW, B 因为M为PD中点，所以MN14D,且MN=4D=1, 又BC=1BC/AD,所以BC11MN,BC=MN,(3分) 所以四边形BCMN为平行四边形，即CM//BN, 又BNc平面PAB,CM平面PAB,所以CM/I平面PAB;(5分) (2)(i)因为PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 以点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系： D立 B 则A(0,0,0,B1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 所以AB=(10,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=(-110), 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,(7分) 所以平面PAB⊥平面ABCD, 又因为平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADC平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0),(9分) PD.i=2b-2c=0 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则 CD.n=-a+b=0 不妨取a=1,则n=(1,l,1),则cos AD,i= V3 2V1+1+131 所以平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为 --6 (11分) 3 3 (ii)存在点Q满足题意， 易知BD=(-1,2,0), 假设存在点Q满足题意，设BQ=入BD=(-入，2,0)(0≤1≤1)，(12分) 所以Q(1-1,2,0,A9=(1-1,22,0), AP.m=2z=0 设平面PAQ的法向量为m=(x,y,z),则 A0m=(1-2)x+2元y=0' 令x=22,则m=(2,入-1,0)， 所以点D到平面PAQ的距离d= Dm_2(-川三=1，化简可得2+61-3=0，（14分) mV(222+(2-1)2 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得元=-3+25或元=-3-25（舍去），即2：-3+2W5.(15分) BD 18.(15分) 02+二=1：（②2,5：（③）40 164 【解】D校点P小则臣+答=.即后-在位-，而《e0,a0, a 由置骏加P的率为子得。产。5亭京则-w.3分 由点2-)在C上，得产+是=1，解得0=16=4， 所C的方程为后苦-1.（5分 2由0为：NMP的里，得X0=20D,由1)知小.则D之， 于是N0=20D=(x。-4,y),即N(4-x,-), 由点P,N均在C上，得 164 x0=2 4-x+5=1 而>0，解得 %=5’ 16 4 所以P的坐标为(2，V3). (8分) (3)由D是AP的中点，O是AB的中点，得ODIIBP,直线MN,BP斜率kMN,kBP满足kMN=kBP, 由EF IIAP,得直线EF,AP的斜率kEF,kAP满足kEF=kAP, 1 价kkP=-,则kkN三-1，即kN三二4k，(10分) 直线F的方程为y=e,代入后+号=，得+416， 16 于是x2= +4号则OFP=2+2=16+16k证、 1+4k2 同理1OM=16+16,因此1OM=64+4, 1+4k3N 1+4w,则oF+oM=20,(13分) 从1而oros+OM=10.则WNEF1=4OF1OM1s40. 2 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当且仅当OF=OM=V10时取等号，所以MNEF的最大值为40.(15分) 19.(15分) (1)a1:=4,a2026=45(2)①cn=n2;②证明见解析 【详解】由<店<4，得=3，则>+ 所以ag=(13)=[N3]+1=4;(2分) 由45<225<}，得0201-45，则226<小20-号 所以a06=(V2026=[V2026]=45.(4分) (2)①依题意，b,=1+a,=1+(1=1+1=2,则G=1, 对于给定的n∈N,存在唯一确定的k∈N,使得k≤√n<k+1,即k2≤n<(k+1)2, 可+=+6分 则当k2≤n≤k2+k时，an=k,设n=k2+m,me{0,1,2,…,k, 此时bn=n+k,即b。=k2+k+m,m∈{0,1,2，…，k; 当k2+k+1≤n<(k+12时，an=k+1,设n=k2+m,me{k+1,k+2,…,2k}, 此时bn=n+k+1,即b。=k2+k+1+m,，m∈{k+1,k+2,…,2k,(8分) 因此b∈{k2+k,k2+k+1,…,k2+2k,k2+2k+2,k2+2k+3,…,k2+3k+1, 恰好跳过k2+2k+1=(k+1)2,即所有正整数中恰好少了(k+1)2, 因为G,=1,所以cn=n2.(10分) 1 ②由c=n2>0,得。>0，则 1+1+1+…+ 为递增数列，且上+L+1-1++49<19 C1 C2 C3 C1 C2 C3 493672 111 -11-1 当m之4时，c。疗m(m-n+02n-1n+i小' (13分) +片片那动居》 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以任的aeN,都有名+智 672·(15分) 20.(16分) 【详解】()(x=r-n+x+1 (n+1)x2 令gx=n.x1-(n+1x+1,则g'(x)=(n+1)nx”-(n+1)=(n+1)nxr"-1, 而neN且x>1,所以g'(x>0,(2分) 即gx在(1，+o）上单调递增，gx)>g(1=0, 所以∫'(x)>0,即f(x)在1，+0）上单调递增， 所以f(x)>f()=0;(4分) 2@=1时.-.r-0 所以f(x)在(0，+0)上单调递增，又f(1=0, 则此时∫(x)有且仅有1个零点；(5分) ②n≥2时，g'(x)在 调上在上大于 即gx在 0.m 上单调递减， 又0=1>g=0且<1，则存车唯的0-0 即gx)在(0，x和1，+0)上大于0，在(x,1上小于0， 所以f(x)在(0，x)上单调递增，在(x,)上单调递减，在(1，+o）上单调递增， 又x→0时，f(x)→0，f(x)>f(1=0,(9分) 则f(x)在(0，x)上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数∫(x)有且仅有2个零点； 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上所述，当n=1时，∫(x)有且仅有1个零点； 当n≥2时，f(x)有且仅有2个零点；(11分) 8》令=2，且>1时，r产-》h,再令x= 机A北商时路兮山-.分 则5ft+2tr>号2-h+a3-h2+a+- 1111 1 -(In(+1)-Il)-(+). 1 则+7+++>n+.16分) 717 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11． ____________________ 12．____________________；____________________ 13．____________________；____________________ 14．____________________；____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 7[A][B][C[D] 2[A[B][C[D] 5A]B][C]D] 8 [A][B][C][D] A 3[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 9[A[B][C[D] 阙 ■ 三、填空题（每小题5分，共30分) 10 12 15 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A 】 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）