广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题

柳州地区民族高级中学2025-2026学年春季学期期中考试 高二数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 考试范围：《选必二》第五章至《选必三》第八章命题人：林雪梅审题人：覃耐娟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 1.己知函数f(x)=e*cosx,则f'(x)=() A.e*sinx B.-e*sinx C.e*cosx-e*sinx D.e*cosx+e*sinx 2.某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班 级的两位同学均站在一起的排法共有() A.96种 B.48种 C.24种 D.144种 3.若随机变量X的概率分布表如图：则D()=() X 0 1 A.0.5 B.0.42 P 0.4 71 C.0.24 D.0.16 4.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线方程为3x-y-b=0,则a+b的值为() A.-1 B.3 C.4 D.5 5.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布N(80,400),则分数在100-120之间的考生 约有()（参考数据：若X~N(4,o2),则有P(-o<X≤u+σ）=0.6827， P(u-26<X≤u+2σ)=0.9545，P(-3o<X≤u+3σ)=0.9973) A.1359人 B.1569人 C.2719人 D.3409人 6.已知函数f()=成-青(a=R)有三个极值点，则实数a的取值范用是() B.(02 4 D.02 e C.0. e 7.已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取 出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.己知第2次取出的 球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为() B.8 D. 8.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)的导函数为"(x),若(x)<2x,且f(5)=3,则不等式 试卷第1页，共4页 f(2x-1)+4x>4x2-21的解集是（) A.（-0,3)B.(3,+0) C.(0,3) D.33 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中正确的是() A.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，从中选2人，1人做正组长，1人做 副组长，共有64种不同的选法 B.线性回归分析中可以用决定系数2来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好 C.对具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为少=0.3x-,若样本点的中心为(，2.8)，则 实数m的值是-4 D.以模型y=ce去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=y,求得线性回归方程为 二=2x+0.4,则c,k的值分别是e4和2 10.设(2-3x)=a4,+4x+4,x2++42x2，则下列说法正确的有（) A.(2-3x)2的展开式中所有项的系数的和为1 B.4=22 C.a+a,+a++a:=+ D.a+a+a2++42=1 2 山.对于函数∫)-六，下列说法正确的有〈) A.f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,+w)上单调递增 B.f(e)<f(2) C.设g()=/(川-2k+1有3个不同的零点，则k>e 2 D.设g(x)=xe+a,若对x∈[0，+w),x2∈1，+n),使8(x)=f(x,)成立，则a≥e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.（2-x)1-x)的展开式中x2的系数为 一·（用数字作答） 13.某超市有两个人工收银区A,B和一个自助收银区C,通过统计，顾客在A,B,C区进行付款的概率分别 为》在A8,C区款时购买该超市提供的环保胸物袋的摄率分别为号小，若顶客从该超市 购物，购买了环保购物袋的概率为号，则实数1= 14.不等式x3-lnr-1≥0对任意的x∈(0，+o)恒成立，则a的取值范围为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=x3-3x2+2 (1)求f(x)单调区间： (2)求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. 16.(15分)某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动，需依次按顺序完成A（剪纸•窗花)，B(陶艺杯盏)， C(刺绣·团扇)三个手工作品，只有完成当前作品，才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成 员完成A的概率是0.8，完成A可获得200积分；完成B的概率是0.5，完成B可获得600积分；完 成C的概率是0.4，完成C可获得1200积分；各个手工作品能否完成相互独立. (1)求该成员未获得制作手工作品C的资格的概率： (2)设该成员获得的总积分为T，求T的分布列及均值. 17.(15分)下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 3 年销售量y(万台) 3.5 2.5 P (1)计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程； (2)为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别 进行品牌知晓情况的问卷调查.统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表.根据小概率 值=0.05的独立性检验，判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异，. 知晓 不知晓 合计 A地区 80 20 100 B地区 40 60 100 合计 120 80 200 ∑化-x6y-) 附：关于回归方程=x+à，回归系数的计算公式b= -,a=-,其中(，) ∑c- 试卷第3页，共4页 为样本点的中心， n(ad-be 2(x-X0y-列=185，x的计算公式=a+b6+da+cc+d P(x2≥k)=a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18.(17分)2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对 其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下 所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. 个频率/组距 0.012 0.009 8删干 020406080100120使用时长/分钟 (1)求a的值： (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在[40,60)，[80,100)的用户中随机抽取7人，并从中随 机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，5为忠实粉丝的人数，记5=k时对应 的概率为P,则k为多少时P最大？ 1.17分)已知函数()-分+(2a-)x-2hxa∈R. (1)讨论f(x)的单调性： (2)对于xe[1,e],∫(x)≥2，求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页 2025-2026学年春季学期期中考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C ⊙ 0 CD ABC BCD l.C【详解】因为f(x)=e*cosx,所以f(x)=(e）cosx+e'(cos)=e*cosx-e'sinx 2.B【详解】把甲、乙、丙3个班的各两名同学看成一个元素，再对每个班级中的两位同学进行全排列， 共有AA3AA?=6×2×2×2=48种不同的排法. 3.C【详解】m=1-0.4=0.6,E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,.D(X)=(0-0.6×0.4+(1-0.6×0.6=0.24 4.B【详解】因为fx)=alnx+x2,所以f(x)=a+2x,又因为函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线方 程为3x-y-b=0,所以f"(①=a+2=3,所以a=1,则f()=lnx+x2,所以fI)=1,将点A,1)代入 切线方程得3-1-b=0,即b=2,所以a+b=3. 5.A【详解】由成绩X近似服从正态分布N(80,400),得u=80,o=20, 则P000sX≤120=P0u+a≤Xsu+2o)=[Pu-2asX≤u+2a)-PU-asX≤u+a】 号09545-06827)=01359，则1000x01359-139,所以分数在10-120之何的考生约有1359人 6.c【详解】对f)=a心-式求导得f)=ae-2f)有三个极值点→f(y)-0有三个不同实根， ,设s60-号g2eg-2 整理得a= (e)2 e 2x<0时， g(x)<0,g(x)单调递减；0<x<2时，g(x)>0,g(x)单调递增；x>2时， g'(x)<0,g(x)单调递减，因此g(x)的极小值为8(O)=0,极大值为 8(冈)=冬：且当-时)50，→+时g))0,8()恒大于0 要使a= 4 e 有三个不同实根，则0<a<。 7.A【详解】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件A,第1次取2白球为事件B. 器得答答名吕慕u器昌高 5 所以P(BA)=PL)_1 P(A)255 63 8.D【详解】设8(x)=f(x)-x2(x>0),则g'(x)=f'(x)-2x 因为f(x)<2x,所以f'(x)-2x<0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0，+o)上单调递减. 不等式f(2x-1)+4x>4x2-21等价于不等式f(2x-1)-(2x-1)2>-22,即g(2x-1)>-22 因为f(⑤)=3，所以g(5)=f(5)-52=-22,所以8(2x-1)>8(5) 因为8(x)在(0，+m)上单调递减，所以0<2x-1<5,解得；<x<3 9.CD【详解】对A:可以看做从8个人中取2个人的排列： 对B:线性回归分析中可以用决定系数R来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果差； 对C:由题知2.8=0.3-，解得m=4 对D:以模型y=c©去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny, 则z=hy=hc+he“=hc+Mx,由题线性回归方程为=2x+0.4,则nc=0.4,k=2,故c,k的值分 别是e.4和2 10.ABC【详解】对于A,取x=1,得(2-3x)”的展开式中所有项的系数的和为(2-3×1)=1，A正确： 对于B,取x=0,得a,=22,B正确： 答案第1页，共4页 对于C,取x=-1,得a。-4+a2-4+…+a42=52,而a。+a+a2+4+…+a2=1, 因此a+a,+4++4:,1,C正确； 2 对于D,依题意，i∈N,i≤12，当i为偶数时，a>0,当i为奇数时，a<0, 因此4+4+42++42=4-4+4-4++42=52，D错误 Inx-x. 1.BGD【详解】西数/()-点的定义减为Ol)u+),求导得f()r厂-《 xInx-1. 令f'(x)=0,解得nx=l,即x=e,当x∈(0,1)时，lnx<0,故f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(1，e)时，hx∈(0,1)，mx-1<0,故f'(x)<0,f(x)单调递减： 当xe(e,+o)时，lnx>1,hx-1>0,故f(x)>0,f(x)单调递增： 选项A:x=1不在函数定义域内，故f(x)在(0，e)上单调递减表述错误： 选项B:由函数f(y)的单调性可知x∈(l,e)上单调递减，在x∈(e,+o)单调递增， :e>2,且2∈(1，e),f(e)<f(2),故B正确： 选项C:方程g(x)=f(x-2k+1有3个不同的零点，等价于f(x)=2k-1有3个不同的实根： 当xc(0,1)时，f<0,/(川=x,此时f()单调递减，f(单调递增：且x→0时，f(✉→0， x→1时，f(x)→+o: 当xe(L,e)时，f(x)>0且单调递减，f(x=f(x),x→1+时f(x)→+， y=2k-1 X=e时取极小值f(e)==e: y=fx) 当x∈(e,+oo)时，f(x)>0且单调递增，f(x)=f(x),x→+n时f(x)→+∞ 0 要使y=f(x)与y=2k-1有3个交点，直线必须处于y=e与+o之间，且 不能低于极小值e, 需满足2k-1>c,解得k>,故C正确： 选项D:由题意知，g(x)的值域是f(x)在x∈L,+o)上值域的子集， g'(x)=e+xe=e*(1+x)>0在[0，+o)上恒成立，故g(x)在[0，+o)上单调递增， g(x)m=g(0)=0.e°+a=a,即g(c)的值域为[a,+o): 由f(x)单调性可知，∫(x)在x=e处取得极小值，∫(e)=e,且x→+时，f(x)→+o, ∴f(x)的值域为[e,+o),要使[a,+o)二[e,+o),则需满足a≥e,故D正确. 12.16【详解】考虑二项式(1-x)展开式的通项为C(-x)，k=01,2,3,4 当k=2时，该项为6x2;当k=1时，该项为4x; 因此(2-x)1-x)展开式中x2项为2×6.x2-(4x)=12x2+4x2=16.x2,展开式中x2的系数为16. 13.子【详解】由思意可知顾客在4B,C区进行付款的概率分别为P(4)P®)号P(9)=名 3 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件D, 由题意可知P(D4=P(DB)=3P(DC)=m, 则PD-D124+PD1Pr+PD1c)Pe-}号片m号·m号 14；+四【详解】由不等式2-nx-1≥0对任意x∈0，+∞)恒成立，因为x>0,变形得 a≥x+1 《>0桓成立，构证高激)-血中G0, 答案第2页，共4页 -x+032-3mx,令f=0,得-2-3h=0,即x=e, f'(x)=七 ()2 x 当x∈0，e)时，f)>0,f)单调递增：当x∈e号，+o)时，<0，f(单调递减， 21 f)在x=e处取最大值：e=血ei+1-3- ( 号，因此a 3 15.(1)函数f(x)=x3-3x2+2的定义域为R,求导得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), …2分 由f"(x)>0,得x<0或x>2:由f"(x)<0,得0<x<2, 4分 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0,2) 6分 (2)由(1)知，f(x)在[-1,0)，(2,3]上单调递增，在(0,2)上单调递减， .7分 而f(-1)=-2,f2)=-2,f(0)=2,f3)=2, .11分 则f(x)mx=f(0)=f(3)=2,f(x)mm=f(-1)=f(2)=-2, 所以f(x)在区间[-1,3]上的最大值为2，最小值为-2 13分 16.(1)分别用X,Y,Z表示完成A,B,C三个手工作品的事件，则X,Y,Z相互独立 用D表示该成员未获得制作手工作品C的资格， 则P(D)=P()+P(X)=1-0.8+0.8×(1-0.5)=0.63分 (2)T的可能取值为0,200,800,2000， 4分 P(T=0)=P(X)=1-0.8=0.2, 6分 P(T=200)=P(X7）=0.8×1-0.5)=0.4, 8分 P(T=800)=P(z)=0.8×0.5×(1-0.4)=0.24, .10分 P(T=2000)=P(XYZ)=0.8×0.5×0.4=0.16, 12分 则T的分布列为 13分 0 200 800 2000 0.2 0.4 0.24 0.16 E(T)=0×0.2+200×0.4+800×0.24+2000×0.16=0+80+192+320=59215分 17.(1)由表可知，样本中心（低，）为： x=1+2+3+4+5=3,万=2+3.5+2.5+8+9=5 5 .2分 5 -=（-2y+(-02+02+1+2-10 4分 则6-185=185 10 6分 a=y-bx=5-1.85×3=-0.55 .7分 所以，净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程为：9=1.85x-0.55…8分 (2)设零假设H。：A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况没有显著差异.…9分 n(ad-be) 200×(80×60-20×40)2_ 200×40002 -100≈33.333. X=a+bc+d0(a+cb+d10x100x120x80-100x100x120x803 因为33.333>3.841， .14分 所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为H。不成立，即A、B两地区的人群对该品 牌净化器的知晓情况有显著差异 15分 18.(1)由0.002×20+0.004×20+0.009×20+a.20+0.012×20+0.003×20=1,解得a=0.02.2分 (2)由频率分布直方图可知，[40,60)与[80,100)的用户数之比为3：4， 3分 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人， X取0,1,2， …4分 答案第3页，共4页 P(X=0)= 7分 所以X的分布列为 .8分 X 0 1 2 二7 4-7 所以E-0x+12 x77 10分 (3)用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人， 他为忠实粉丝的概率为0.02×20+0.012×20+0.003×20=0.7 …11分 所以5-B(5,0.7),P(5=k)=C0.7(1-0.7)5-t 12分 P(传=k)≥P(传=k+1) P(5=k)≥P(传=k-1)1 .14分 解得：3.2≤k≤4.2，又k∈Z,故k=4时概率最大 .17分 19.1)由x)=m+2a-1-2-+2a-1x-2_-1+2且x>0, .3分 1 当a≤0时，f(x)<0,则f(y)在(0，+0)上单调递减， .4分 当a>0时，0<x<1时f'(x)<0,x>1时f'(e)>0, 所以f)在0》上单调递减，在上上单调造指。 6分 a 综上，a≤0时f()在(0，+n)上单调递减， a>0时f()在0，上单调递减，在)上单调递增： .7分 a (2)由题设xe[1,e],f(x)≥2恒成立， 由(1)知，a≤0时f"(x)<0,即f()在[1，e]上单调递减， 此时fo≥fe)-e+(2a-e-2,只需ge+(2a-e-2≥2. 8分 所以号+2e如≥e+4a径显然不成立： 9分 a>0时，在Q》上举调避减，在o上单调递神。 若a≥l,则f(x)在[1©]上单调递增，此时fs)≥f)=+2a-1, .10分 只号+2a-1223→a号 .11分 若是a<1,则f在1 上单调递减，在(，e)上单调递增， .12分 所以r≥日-号月ea-)片-2片2+2na 2a …13分 a 只需2+2lna- 方≥24aha≥1，而。<a<1且血a<0,是然不清足前提， .14分 若0<a≤。，则f(y)在[e上单调递减，此时fx)≥f(e)=ge2+(2a-1)e-2,…l5分 2 所以e2+(2a-1)e-2≥2→a≥2不满足前提， .16分 2 综上，a25 .6 17分 答案第4页，共4页