精品解析：福建莆田中山中学2025-2026学年下学期期中考试数学试卷

莆田中山中学 2025-2026学年度下学期期中考试试卷 一、单选题 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A．被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意， B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意， C．是最简二次根式，符合题意， D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 2. 下列关于变量与关系的图形中，能够表示“是的函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答． 【详解】解：A．对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，不能表示是的函数，故该选项不符合题意， B．对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，不能表示是的函数，故该选项不符合题意， C．对于的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，不能表示是的函数，故该选项不符合题意， D．对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，能表示是的函数，故该选项符合题意． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解；A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 5. 下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 3，4，5 C. 13，14，15 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，不符合题意； B、，故能组成直角三角形，不符合题意； C、，故不能组成直角三角形，符合题意； D、，故能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 6. 在中，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和为，即可计算出的度数． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴，且四边形内角和满足， ∵， ∴， ∴． 7. 关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过原点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意； B、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； C、∵y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误，符合题意； D、∵正比例函数， ∴当时，；故本选项正确，不符合题意； 故选：C 8. 如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）． A. 2.5 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理计算出的长，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是． 9. 估计的值在（    ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，且， ∴． 10. 如图．在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论： ①正方形的面积等于的一半； ②正方形的面积等于的一半； ③． 上述结论中，正确的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可； ②分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可； ③结合①②进行求解即可． 【详解】解：①，正方形网格的面积为：， ， 故①结论错误； ②，正方形网格的面积为：， ， 故②结论正确； ③由①得：，则， 由②得；，则， 正方形，的面积相等， ， 故③结论正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的应用以及二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积． 二、填空题 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、三、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键． 根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， 故只需写出的任意一个数即可， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接与，并分别找出和的中点、，如果测得，那么，两点的距离是______． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查中位线性质．根据题意可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵和的中点、，， ∴， ∴，两点的距离：， 故答案为：200． 14. 如图，在平行四边形中，是的平分线，，则平行四边形的周长是_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．先由角平分线的定义得到，再由可得，由此可得为等腰三角形，根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质即可求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵是的平分线， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又，， ， ， 则平行四边形ABCD的周长为20； 故答案为：20． 15. 已知的三边分别为a、b、c，若且，则的面积为________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意易得，，然后可得是直角三角形，进而问题可求解． 【详解】解：由可变形为， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 16. 如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点C、Q、F在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，如图所示： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴的最小值为线段的长， 即的最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段最短问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质，绝对值，二次根式的除法计算，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在四边形中，相交于点，分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，要证四边形是平行四边形，只需证即可，利用E，F分别是，的中点可以得证． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ． 分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 已知与成正比例，且时． （1）求与之间的函数关系式； （2）请判断点是否在这条直线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在这条直线上，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设，根据时，可求出的值，由此即可得； （2）求出时，的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系式． 【小问2详解】 解：点不在这条直线上，理由如下： 由（1）已得：与之间的函数关系式， 当时，， 所以点不在这条直线上． 20. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 21. 如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，． （1）若，求的度数． （2）若，则人眼观察的池水深度是多少？（即求的长度） 【答案】（1） （2）人眼观察的池水深度是 【解析】 【分析】（1）取的中点C，连接，则，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此，即是等边三角形，所以，再由三角形的内角和定理即可求解； （2）设，则，根据勾股定理有，，即可得到方程，求解即可． 【小问1详解】 解：取的中点C，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 解得， 即． 答：人眼观察的池水深度是． 22. 如图，在矩形中，． （1）在的延长线上求作点，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求矩形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出的垂直平分线，与的延长线交于点即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，得到，因此，得到是等边三角形，从而，设，则，，根据得，求得，因此，，根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点E为所求； ∵是的垂直平分线， ∴． 【小问2详解】 解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵在矩形中，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 23. 已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）． （1）若，求证： ； （2）若，求证：一定是奇数． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到 ，即可解答； （2）先推导出 ，再将 代入，得到 ，根据m为非负整数，得到一定是奇数，即q一定是奇数，即可解答． 【小问1详解】 证明：， 移项可得． ∴ ， ， ， ∵m，n为非负整数， ∴ ， 则 ，即 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ， 将 代入，得 ， ∵m为非负整数， ∴，， ∴， ∵m为非负整数， ∴一定是偶数，偶数加1一定是奇数， ∴一定是奇数，即q一定是奇数． 24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 （1）若，则_____， _____， _____； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】（1），， （2）①作图见解析；② 【解析】 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 25. 生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸． （1）探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸． 实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸． 请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可） （2）拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点． ①求证：是的中点； ②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解②见详解 【解析】 【分析】（1）如图1，先得出，再结合勾股定理得，整理得，得出矩形是标准纸，如图2中，设，，即，由翻折变换的性质可知，结合勾股定理得，故，即可作答． （2）①运用折叠的性质以及三角形内角和性质，得，证明，然后由等角对等边，再证明即可； ②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接．运用证明，整理得，，同法可证，结合勾股定理得，，再整理边的关系得，即可作答． 【小问1详解】 证明：如图1中，由题意，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴ ∴， ∴矩形是标准纸； 如图2中，设，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是标准纸； 【小问2详解】 解：①连接， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H是的中点； ②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法可证 ∴， ∴， 设，， 则，， ∵点H是的中点； ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴P与重合， ∴D，P，E共线． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田中山中学 2025-2026学年度下学期期中考试试卷 一、单选题 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于变量与关系的图形中，能够表示“是的函数”的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 3，4，5 C. 13，14，15 D. 7，24，25 6. 在中，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 7. 关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过原点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 8. 如图，长方形的边的长为2，边的长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）． A. 2.5 B. C. 3 D. 9. 估计的值在（    ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 10. 如图．在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论： ①正方形的面积等于的一半； ②正方形的面积等于的一半； ③． 上述结论中，正确的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、三、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 13. 如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接与，并分别找出和的中点、，如果测得，那么，两点的距离是______． 14. 如图，在平行四边形中，是的平分线，，则平行四边形的周长是_________． 15. 已知的三边分别为a、b、c，若 且，则的面积为________ 16. 如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为_________． 三、解答题 17. 计算： 18. 如图，在四边形中，相交于点，分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 19. 已知与成正比例，且时． （1）求与之间的函数关系式； （2）请判断点是否在这条直线上，并说明理由． 20. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 21. 如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，． （1）若，求的度数． （2）若 ，则人眼观察的池水深度是多少？（即求的长度） 22. 如图，在矩形中，． （1）在的延长线上求作点，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求矩形的面积． 23. 已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）． （1）若，求证： ； （2）若，求证：一定是奇数． 24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 （1）若，则_____， _____， _____； （2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 25. 生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸． （1）探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸． 实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸． 请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可） （2）拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点． ①求证：是的中点； ②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $